1、第一讲 函数、极限,1 函 数,1函数的定义,因变量,自变量,数集D 叫作这个函数的定义域,函数值全体组成的数集,称为函数的值域 ,记作,记作,2函数的一些几何特性,(1) 有界函数:,注：1 有界性和函数定义区间有关,2 函数可单边有界，即可以有上界或下界,(2) 单调函数:,注： 函数y=c既是单调增加函数，也是单调减少函数。但它不是严格单调函数。,(3) 函数的奇偶性:,注： 定义区间一定是对称区间。,(4) 周期函数:,注：1 周期函数的定义域既无上界也无下界,思考：,是周期函数吗？,答：不是.,2 并非任何一个周期函数都有最小正周期.,答：常量函数,每一个正数都是其周期.,解（1）,
2、的周期,的周期,是 周期函数,的周期 ，,的周期,（2）,所以 g (x) 不是周期函数,解,（1）如果 g(x) 为偶函数，即,（2）如果 g(x) 为奇函数，即, f (g(x) 恒为偶函数,3反函数、复合函数,（1）反函数,注 1 y = f(x) 与 的图象关于y = x 对称,2 若 y=f (x) 在 D上严格单调 ,则在 f (D) 上 y=f(x),存在严格单调 (具有相同单调性)的反函数。,（2）复合函数,设函数 y=f (u) , uU ; u=g(x) , x X ,变量 u 称为中间变量,4分段函数，初等函数，积分上限函数,（1）分段函数,（2）初等函数,（3）变上限积
3、分函数,说明：,用方程、极限、导数、无穷级数也可表示函数,（4）原函数,若F(x)为连续函数f(x)的原函数，可以用变上限函数表示,解,当 x 0 时，,反函数,当 x 0 时，,反函数,反函数,2 极 限,1极限的定义,则称常数 A 为函数 f(x) 当 时的极限，,总有,存在常数 A, 当 时，,记作,设函数 f(x) 在点 的某去心邻域内有定义。如果,注： 类似可以给出其他情形时极限的定义，包括数列的极限。,当 时 , 有,当 时, 有,当 时, 有,右极限:,左极限:,极限存在的充要条件,解,选 ( D ),2极限的性质,(1) 极限的唯一性,若 , 则极限唯一。,(2) 极限的有界性
4、,函数极限:,数列极限:,(3) 极限的局部保号性,注: 性质(3),(4) 常用于证明题；但结论反过来不成立,(4) 极限的局部保序性,(5) 极限的几个等价关系,(证明题、计算极限）,1),（常被用来讨论分段函数在分段点处的极限）,2),3),(6) 极限的四则运算法则,如果 ， 则有,1）,2）,3）,解,原式,解得,此时,解,由,解,所以,例8,证明,不存在 .,证 取两个趋于 0 的数列,及,有,所以,不存在 .,二者不相等,(7) 极限存在的判定准则,(a) 单调有界准则：,(b) 夹逼定理：,单调有界数列必有极限.,如果数列,满足,注： 函数极限有类似的夹逼定理,例9,设, 且,
5、求,分析,易知,xn的单调性如何？, 0,？,关键：,证,1有界性,易知,2单调性,得,即,解,设 ，则,解,即,而,所以,例11 求极限,(8) 重要极限,1),2),解,解,为使极限 存在,即,此时,3 无穷小与无穷大,1无穷小与无穷大,(1) 无穷小(量):,(2) 无穷大(量):,无穷小量和无穷大量一定与自变量的某个变化过程相联系的 ；,注:,2 0是无穷小量；,4 若 则,( 无穷大的倒数是无穷小 ),3 无穷大是无界量，但无界函数未必是无穷大；,1) 有限个无穷小的和是无穷小,2) 常数与无穷小的乘积是无穷小,3) 有限个无穷小的乘积是无穷小,2无穷小的运算性质,3无穷大的运算性质
6、,(a) 若 则,(b) 若 (可为) , 则,解,(A) 反例 ，而,(B) 反例,(C) 反例,(D) 正确,令 ，则,所以选 (D),设,记为,4无穷小的阶,若 且 存在 ，则,5利用等价无穷小代换求极限,注： 不能滥用等价无穷小代换. 在用等价无穷小代换,时，要用与分子或分母整体等价的无穷小代换.,对于代数和中各无穷小, 一般不能分别代换.即遇无穷小 “+”, “”时, 一般不能代换；,a,b 遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价无穷小,进行代换.,6常用等价无穷小,7洛比塔法则,说明:,(2) 若 不存在 , 对原极限无明确结论 .,解,原式,解,原式,解,所以选 (B),解,（关于 x 是1 阶的）,（关于 x 是 2 阶的）,（关于 x 是 3 阶的）,（关于 x 是 2 阶的）,同理有,关于 x 是 低阶的,解,(1) 原式,(2) 原式,所以,例20,例21,解,例22,解,由 ，则,由 ，得 x 满足,解得,定义域：,解,所以,解,从定义式可知 ，且,设 ，则对 k = n+1,由,由归纳法可知数列 单调增有上界，所以收敛,设 , 在递推式两边取极限得,解得,所以,
