1、 无穷级数 ,2012考研数学培训,一、常数项级数敛散性的判别, 级数,主要内容,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,三、求收敛域与级数的和,四、函数的幂级数展开,五、傅里叶级数,考研数学级数,考研数学级数,第一部分,主要知识回顾,考研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,1、基本概念、性质与重要级数,（1）、基本概念,考研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,1、基本概念、性质与重要级数,（1）、基本概念,（2）、基本性质,绝对收敛与条件收敛,结论: 级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变.,考研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,1、基本概念、性质与重要级数,（2）、基本性质,结论:
2、收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,性质5 级数收敛的必要条件,考研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,1、基本概念、性质与重要级数,（2）、基本性质,考研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,1、基本概念、性质与重要级数,（3）、重要级数,调和级数，发散,交错级数，条件收敛,考研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,1、基本概念、性质与重要级数,（3）、重要级数,考研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,2、级数敛散性的判别,（1）、正项级数,比较审敛法 一般形式,考研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,2、级数敛散性的判别,（1）、正项级数,考
3、研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,比较审敛法的极限形式:,2、级数敛散性的判别,（1）、正项级数,一、常数项级数敛散性的判别,2、级数敛散性的判别,（1）、正项级数,考研数学级数,一、常数项级数敛散性的判别,2、级数敛散性的判别,（1）、正项级数,考研数学级数,定义：正、负项相间的级数称为交错级数。,一、常数项级数敛散性的判别,2、级数敛散性的判别,（2）、交错级数,考研数学级数,考研数学多元函数微分学,一、常数项级数敛散性的判别,发散,必要条件,或,或,或,或,是否为几何级数,是否为p级数,是否为 正项级数,是否为 变号级数,否,用比较法、比值法、根值法判别,是否满足 莱布尼兹定理,用
4、定义、级数的性质等其他方法判别敛散性,为正项级数,流程图,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,1、幂级数的收敛特性,（1）、概念,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,1、幂级数的收敛特性,（1）、概念,幂级数:,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,1、幂级数的收敛特性,（2）、幂级数收敛性质与收敛半径,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,0,推论,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,1、幂级数的收敛特性,（2）、幂级数收敛性质与收敛半径,推论中的正数R称为幂级数的收敛半径.,规定,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,1、
5、幂级数的收敛特性,（2）、幂级数收敛性质与收敛半径,.和函数的运算性质:,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,1、幂级数的收敛特性,（2）、幂级数收敛性质与收敛半径,(收敛半径不变),(收敛半径不变，但收敛域会可能会改变),.和函数的运算性质:,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,1、幂级数的收敛特性,（2）、幂级数收敛性质与收敛半径,(收敛半径不变),(收敛半径不变，但收敛域会可能会改变),考研数学级数,三、求收敛域与级数的和,具体步骤如下：,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,对于缺项级数的收敛域通常有两种方法：,A、换元法,B、直接当做一般常数项
6、级数来处理，通常使用正项级数的比值法、根值法，再利用阿贝尔定理判别出收敛半径。,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,注：对于某些幂级数，可以采用间接做法。,考研数学级数,二、幂级数的收敛特性与和函数的性质,考研数学级数,40,考研数学级数,四、函数的幂级数展开,1、泰勒级数与麦克劳林级数,考研数学级数,四、函数的幂级数展开,2、幂级数展开的条件,3、函数展开成幂级数的展开方法, 利用泰勒公式,考研数学级数,四、函数的幂级数展开,3、函数展开成幂级数的展开方法,间接展开法,常用函数的幂级数展开式如下：,考研数学级数,四、函数的幂级数展开,当m = 1时,常用函数的幂级数展开式如下：
7、,考研数学级数,四、函数的幂级数展开,3、函数展开成幂级数的展开方法,考研数学级数,五、傅里叶级数,傅里叶级数,傅里叶系数,考研数学级数,五、傅里叶级数,考研数学级数,第二部分,考题选讲,考研数学级数,一、级数敛散性的判别,考题选讲,一、级数敛散性的判别,考研数学级数,选C,一、级数敛散性的判别,考研数学级数,收敛,一、级数敛散性的判别,考研数学级数,选B,一、级数敛散性的判别,考研数学级数,选B,一、级数敛散性的判别,考研数学级数,选D,一、级数敛散性的判别,考研数学级数,选D,一、级数敛散性的判别,考研数学级数,选C,一、级数敛散性的判别,考研数学级数,选C,一、级数敛散性的判别,考研数学
8、级数,选A,考研数学级数,二、幂级数的收敛性与级数的和,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,使用 阿贝尔定理,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,法二：转化为相应的幂级数，先找到幂级数的和函数,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,就是 特解,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,二、幂级数的收敛性与级数的和,考研数学级数,考研数学级数,三、幂级数的展开,考题选讲,三、幂级数的展开,考研数学级数,【分析】,三、幂级数的展开,考研数学级数,【分析】,三、幂级数的展开,考研数学级数,【分析】 直接展开arctanx有困难，但是(arctanx) 教容易，可以先展开其导数，再逐项积分，即可求解问题。要求记住常见函数的幂级数。,考研数学级数,四、傅里叶级数,考题选讲,四、傅里叶级数,考研数学级数,【分析】 属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算。,1,祝大家 考研成功!,
