1、1高等数学基础（原微积分） 学习指导一、课程介绍高等数学基础（原微积分）是一门必修基础课，它主要讲授微积分学中的最基本内容。本课程的基础概念是函数。学员在学习微积分内容之前应掌握幂函数，指数函数，对数函数及三角函数的基本性质。对反三角函数的有关内容本课程要求不高。微积分的研究对象是函数，主要涉及的是初等函数，极限是微积分研究的根本方法。通过微积分学习，学员应掌握生命科学中定量研究函数单调性、极值、最大值、最小值的一般方法，理解微积分学发展的一般思想方法，掌握曲边梯形面积，旋转体体积等微元法的应用，为计算机基础、统计软件、动力学类等后续课程的学习奠定必要的基础，在未来生命科学的学习工作中逐步提高
2、数学在广泛领域中的应用意识。本课程除了课件、视屏讲座外、课程辅导外还有纸质教材。本年级使用的纸质教材是高等教育出版社第七版高等数学二 （教育部高校学生司推荐-全国各类成人高等复习考试辅导教材 专科起点升本科） 。二、考试内容与试卷结构（2011 年试卷结构一览表）部 分 名 称 题 号 题 量 分 值一 函数概念题 单选题 3 题 12 分二 极限计算题 单选题 4 题 16 分三 函数连续性 单选题 2 题 8 分四 导数计算题 单选题 2 题 8 分五 罗必达法则 单选题 1 题 4 分六 导数应用题 单选题 3 题 12 分七 不定积分计算 单选题 2 题 8 分八 定积分计算 单选题
3、3 题 12 分九 定积分应用 单选题 3 题 12 分十 重要结论题 单选题 2 题 8 分试卷形式试卷总分：100 分考试时间：_90_分钟 （以网络学院公布为准）答题方式：试卷分为试题册、答题卡，所有题型均为客观题,答案涂在答题卡上试卷题型比例： 客观题：100% 单选或多选总成绩构成 网上作业得分*30%+期末成绩*70% 满分 100 分单选题 25 题 每题得分 4 分 共 100 分 每题四个选项 选择最佳选项2三、预备知识（基本初等函数图像见教材 直线抛物线椭圆方程掌握）3225363223111. )81.9.()()64.,4.()(.5logmnn mnmmnmmbaaa
4、aaaacc初 等 数 学 公 式 讲 解（ 个 相 乘 定 义 为例 题例 题 （ ）例 题同 时 ，注 ： 取 实 数 时 ， 公 式 依 然 成 立 。定 义 为 的 次 根 ）设 ， 定 义 ：2loglog832loglllloglog(l.(8,3,.6.()5.7.laaaaaaabccdcdyyxyx也 即 即称 为 真 数 ， 成 为 对 数 。此 公 式 经 常 使 用 ）例 题 即这 是 因 为 ： （ 用 到 结 论 ）（ 使 用 相 当 普 遍 ）理 解 此 式 只 需 说 明 ：由 于 )llog)(3.8.l)l.(2.5ln9l10.si()si(co)s(in
5、)co2aacdab用 到 和 的 结 论 ）这 是 因 为用 到 和 的 结 论 ） 。 （ 换 底 公 式 ）由 222232222.()isin1ectaros()(1)1.6xbbn由4四、学习进度与阶段目标 第一个月（4 周）涉及的课程内容： 课件光盘：第 1 章；视频讲座：第 1 讲；高等数学二： 第一章 小结 微积分辅导与考试大纲 重点学习内容： 第一章 函数 极限 函数的连续性 一般学习建议 分阶段学习由浅入深按进度学 2:1cos; 3l(1); 41ln; 5(1)xfxxax： ： ：作业完成确认答案后再在网上提交 （作业影响总成绩 提交操作需谨慎）第二个月（ 5 周 ）
6、 涉及课程内容：网络课件：第 2 章 视频讲座：第 1 讲后部分 第 2 讲前部分 高等数学二第 1 章及课件光盘相应内容微积分辅导与考试大纲重点学习内容： 第二章 一元函数微分学 导数与微分 罗必达法则 导数应用（本节学习时间建议 2 周）第一节 导数与微分 函数增量 自变量改变量学习阶段目标 掌握基本概念1） 导数与微分 （各有几何意义：切线斜率，切线函数增量）2） 求导基本公式 （导数的极限定义 几乎可由五个等价无穷小推出）3） 四则运算法则 （导数定义，弄清乘法法则的由来即可）104） 复合求导 （难点 例 的两种算法 ）xx2cos)(sin5） 二阶导数 （简单计算 重点要求 意义
7、 凹凸性 加速度）技能掌握要求1） 重点 公式求导法 （初等函数）2） 分段函数在分界点处导数的计算 （导数的极限定义初等函数特定点处）3） 重点 复合求导法（链锁法则）4） 求切线方程等应用复述能力训练 函数的连续性与可导性的关系如何？ （连续与光滑） 初等函数单调性的判定法方法是什么？如何确定其单调区间？ 如何判断驻点是否是极值点？ 阶段目标阶段 2-1-1 弄清导数的极限定义和几何意义后切线方程的求法水到渠成。阶段 2-1-2 导数计算的基本公式及四则运算法则的熟练掌握（熟背会用）阶段 2-1-3 链锁法则（复合函数求导 复合函数微分 凑微分 ）的熟练掌握。思考讨论实践 2-1 闭区间上
8、连续函数的最大（小）值的求解的步骤？ 结合个人专业试举例说明求最大（小）值的应用 掌握后完成作业 2 网上提交 1-10 （作业影响总成绩 提交操作需谨慎）第二节：罗必达法则 求不定式极限（本节学习时间建议 1 周）学习阶段目标 掌握基本概念1） 。不定式 基本形式 “0 2） 。其它形式不定式 可转化基本形式“0,13） 。充分条件：罗必达法则。 （但不必要 见思考讨论实践）技能掌握要求111） 掌握罗必达法则的条件与结论2） 函数之比的极限转化成导数之比的极限复述能力训练 初等函数的连续性光滑性的基础与重要极限的关系如何？ 导函数相同的两个函数是否一定是同一函数？请举例说明阶段目标阶段 2
9、-2-1 会用罗必达法则计算两个基本型的不定式极限（注意条件） 。阶段 2-2-2 用等价无穷小充分化简后再用罗必达法则求不定式极限。阶段 2-2-3 多种方法综合运用，多种形式不定式转化基本形式不定式的计算。 （稍难）思考讨论实践 2-2 求不定式极限-分子分母约去“0”因子法与罗必达法比较哪个简单？ 等价无穷小替换常可大大化简不定式极限的计算但要避免在加减运算中使用。例 （等价无穷小之差是高阶无穷小，未必就是 0）061sinlm30x 罗必达法则的条件是充分的但不必要例题 （此极限根据无穷小的性质得到并非罗必达法则）0sinli20xx掌握后完成作业 2 网上提交 11-20 第三节：导
10、数的应用（本节学习时间建议 2 周） 学习阶段目标掌握基本概念1） 。*拉格郎日中值定理定理 )()(),(,)( abcfafbacbaCxf 2） 。定理推论 1 Cxxxf 0,定理推论 2 )(,0)()(,)( 1212xfffx 定理推论 3 ),( xxbaxCf 3） 。*歌西定理条件结论导出（罗必达法则）12技能掌握要求1） 。导数符号判定函数的单调性2） 。求驻点（导数为 0 的点）会判定是否是极大（小）值点3） 。闭区间上连续函数的最大（小）值的求法*复述能力训练 单调性的判定法 1）导数符号判定法 2）定义判定法（ ）何时用何法？|xy 驻点是否是极值点有哪些判定法？比
11、较它们的优缺点，怎样情形适宜用何法？阶段目标阶段 3-1 掌握确定初等函数的单调区间的方法。知道极值点与单调性的关系。阶段 3-2 掌握利用一阶导数在驻点左右符号变化情况判定驻点是否是极（大小）值点。阶段 3-3 掌握确定初等函数凹凸区间的拐点的方法。思考讨论实践 2-3-3掌握后完成作业 2 网上提交 21-30 微积分作业 2 导数计算与应用A. B.)1tan.(12xx2sec1sec22x2 A. B. si3xo3lnxo3ln3 A. B. )(lx14 A. B. 13 223xx2231xx5。 A. B. )(xexe)1( e)(6 A. B. sin2 2cos 2co
12、sx7 A. B. 5)43(x4)3(x4)3(158 1l,().A:;.ffB则提示： ln3n)(xx139. 则 A. 2 B. -2 提示：极限定义)3(2)1()xxf )(f10设 则 A. B. 0,fx)1(ln提示： 对幂指数函数作特定恒等变换 参见第一章 第一节11 A.1 B.21lim36x12 A.0 B.1/630sinlix13 A.0 B.2exx0li14 A:0.5 B:-0.5 提示：通分分母等价替换罗必达01lim()ln(x15 A.0 B. xe2li16 A. B. 0。 tan)1(lix2提示 ， 。2cositx1silm1x17 A.1
13、 B. 2 提示：等价无穷小之差为高阶无穷小xintali018 A.1 B. 0.5x201li19 A.5/12 B. 0.586lim32x20. .曲线 过（0，1）点的切线方程为（ ）A: B: xye 1yxy21 的单调上升区间为 （ ） :0,);:(,0AB22. 的单调上升区间为 A. ，B.xey,123 则 y=f(x)有（ ） 提示：导数符号判定函数的单调性23()31)(fA:极大值点 x=2，无极小值点；B: 极小值点 x=2，无极大值点。1424. 极大值是（ ） A。24; B。8. 32694yx25 的极值是（ ）A:极大值1;B:极小值1.e26 水平直
14、线与曲线 相切则切点坐标（ ）A:(0,1); B: (0，1) xye27.曲线 的拐点坐标（ ）A:1 B:(1,-1) 321x28. 有水平渐近线的函数是 A。 B xey1321xy29有垂直渐近线的函数是 A。 B xe30曲线 的水平渐近线为（ ）A:y=0; B: y =1;xye31下列成对概念中，关联性最弱的是A函数的单调性-函数导数的符号B函数的变化率-位移函数的速率C函数的连续性-函数的奇偶性32下列成对概念中，关联性最强的是A函数的连续性-函数的可导性B函数在某点取极值-函数在该点导数为 0。C函数的在某点可微-函数在该点可导。33下列判断正确的是A函数的最大值一定是
15、极大值。B函数在某点取极大值则函数在该点的导数一定为 0。C函数的极值点可能是不可导点。第三个月（5 周）涉及的课程内容：网络课件：第 3 章视频讲座：第 2 讲 后部分高等数学二 第 3 章及小结 微积分辅导与考试大纲重点学习内容：第二章 一元函数积分学 不定积分 定积分 定积分应用第一节 不定积分（本节学习时间建议 2 周） 学习阶段目标15掌握基本概念 1） 原函数及性质不定积分概念 （上节定理推论）2） 基本不定积分公式-直接积分 （恒等式分解被积函数 目标可用公式积分）3） 换元法（第一换元法 ） （复合求导运算的逆运算 复合微分逆运算）4） 分部积分法 被积函数适合类型技能掌握要求
16、1） 。不定积分公式的验证法（求导）2） 。基本不定积分公式及推广形式（见教材）3） 。换元法（难点 换元后转化成基本不定积分推广形式）4） 。分部积分法（要求较低）复述能力训练 不定积分基本公式与导数基本公式是否可以建立 1-1 对应关系？缺 何故？xdln 原函数的几何意义连续函数曲线下的变动面积函数是否是该曲线函数的原函数？ 阶段目标阶段 3-1-1 知道导数公式与基本不定积分公式的内在联系，自然能熟记基本公式。阶段 3-1-2 从凑微分到链锁法则的逆运算法则-掌握换元法（第一）阶段 3-1-3 乘积求导法则的逆运算法则-分部积分的熟练掌握。思考讨论实践 多项式函数的原函数是多项式，有理
17、函数的原函数却未必还是有理函数请举例。 奇函数的原函数总是偶函数，但偶函数的原函数却未必总是奇函数请举例说明。掌握后完成作业 3 网上提交 1-13第二节 定积分 定义 几何意义 *性质 牛顿莱布尼兹公式 （学习时间建议 2 周）学习阶段目标掌握基本概念1） 不依赖分割，不依赖取点。iniixba xfdf )(lm)(1)0(2）几何意义：曲边梯形面积的代数和。163）定积分的性质（见教材 P107 页 线性性 可加性 变限积分的微分 积分中值定理）4）牛顿-莱布尼兹公式： baaFbdxfxfFbax )()()(),( 牛顿-莱布尼兹公式-微积分基本定理技能掌握要求1） 掌握用牛-莱公式
18、计算定积分。2） 利用几何意义计算定积分 。3） 换元法分部积分法计算定积分。复述能力训练 对于任意可积函数 等式 ，为什么？)(xfbabadxfdxf)()( 公式有哪些重要应用？babaffdxf )(21)( 为什么奇函数在对称区间-a.a上的积分一定为 0？与上式有关。阶段目标阶段 3-2-1 定积分计算的掌握包括微积分算法与几何算法。阶段 3-2-2 牛-莱公式- 换元法 -掌握口诀：换元换限同步。阶段 3-2-3 熟悉分部积分法的适用范围及导出的常用公式正确应用思考讨论实践 3-2 为什么？一般表达式是什么？dxdxnn2/02/0cossi1） ； 2） ；2/0i 21i/0
19、23） ； 4） ；（几个常用公式）2/01sinxd3sin/0xd掌握后完成作业 3 网上提交 14-20（作业影响总成绩 提交操作需谨慎）第三节 定积分应用 曲边梯形面积 抛物线弓形面积 旋转体体积 微元法（本节学习时间建议 2 周）学习阶段目标17掌握基本概念1） 微元法求具有可加性的弧长面积体积等几何量质量力矩等物理量2） 简单函数曲线所围图形面积总可转化为若干曲边梯形面积的和差3） 曲边梯形绕 X 轴或绕 Y 轴旋转（暂不要求）其旋转体积的计算技能掌握要求1） 利用抛物线弓形面积计算结果（阿基米德）计算定积分 2） 简单曲线所围图形的面积转化为曲边梯形的面积的和差-定积分例 32)
20、(61)(2134)( ababSdxbaxMAXb 例 322 4)()( RdxRR 复述能力训练 与 斜弦抛物线弓形面积转化平弦抛物线弓形面积 kxy2 不作积分求 与 X 轴所谓图形绕 X 轴旋转体积)5(1x阶段目标阶段 3-3-1 正确选用公式将面积体积等量的计算转化为定积分并会简化计算定积分阶段 3-3-2 理解微元法思想理解公式由来从而理解圆形球形面积体积的多种计算法阶段 3-3-3 数学期望与力矩积分 （教材扩充内容）思考讨论实践 3-3 设 试验证阿基米德关于抛物线弓形面积公式的正确性（用牛-莱公式） 。2axy阿基米德公式 抛物线弓形面积等于内接最大三角形面积的 4/3
21、倍。掌握后完成作业 3 网上提交 21-30微积分作业 3 积分学计 算与应用1. A Bdx)(2 Cx231 Cx2312. A B 12183. A. B. dxx)13( Cxxln3Cxxln35. A. B. 2secintacostacos6. A. B. xtao xxi7. + A. B. dsi2d2cs C2sin1i2 C2sin28. A. B. xeex2 2xe9. A. B. )1( )1(10. A. B. xdlnCxln Cxln11. A. B. )1( )1l( l)1l(12. A. B. dxx)3(Cx)3ln()l(2 Cx)ln()3l(13
22、. A. B. )9(12arxt art114. A. B. dx102 31215. A.2 B. 10sin16. A. B. A. 2 B.1dx20117. A. B.02sin提示 方法 1 降幂 （其它恒等式 见预备知识）xx2sin1cos方法 2 用积分公式 ，4i20d2143sin204dx1sin0dx18.定积 分结 果正确的是 A B3sin20xi201919. A. 0 B. 1dx12sin20. A. 0 B. 1/3 12ex提示 奇偶分解21.由直 线 及抛物线 所围成平面区域的面积是 A.1/2 B.1/6y2xy22.由抛物 线 与 及所围成平面区域
23、的面积 A.1/3 B.1/62x23.半径 为 R 高为 H 的圆锥体积 A. B.HR2323124.半径 为 R 的圆球体积是 A. B. 425. 由 与 X 轴围成的图形绕 X 轴旋转体体积是 A. B. ,0sinxy 226.定积 分值 表示 A 圆锥的体积 B 圆台的体积dH20)(27. 定 积分值 表示 A.圆球的体积 B.半球的体积xR2)(28. 定 积分值 表示 A.圆的面积 B.半圆的面积dR)(229. 定 积分值 表示 A.圆的面积 B.半圆的面积x10(30. 定 积分值 表示 A.圆的面积 B.半圆的面积drR0231. 提示：复述 3-2 2 式xx20)
24、(5A.0B.1.C32. d)(bab 3)(1ab6. 3)(ab8. 3)(10.ab提示：（1）牛-莱 （2）作换元 ，再牛-莱（2）阿基米德抛物线弓形面积公式xu2033. 不等于（ ） 提示：复述 3-2 2 式 dx)(baxb42121342 a)(b)ab(ba)(a C. B. A.34. A B C 提示：复述 3-2 2 式dx0sin/提示：6 题： （其它三角恒等式公式见预备知识）1secta22x16 题 1）用积分可加性分段积分去掉绝对值 2）几何意义作此题更为简单。25 题：用 17 题结果；26 题 H0, xRy提示：复述 3-2 2 式: 想想如何用？b
25、abadxffdxf )(21)(补充知识： 统计学中的随机变量的理论总体均数被称为-数学期望记为 E(X)。积分表示为 其中 且满足 称为随机变量的密度函数。badxf)(0)(f 1)(xfba思考题 设 ，验证： 。满足该性质的函数几何)f)(xfbf上有什么特点? 34 题中，a,b 各是多少。第四个月（复习 2 周 机动 2 周）复习节 微积分三章综合 （本节学习时间建议 2 周）学习阶段目标掌握基本概念 极限 微分 导数 积分技能掌握要求 计算公式汇总 技巧总结复述能力训练 微积分应用范围概述 变限函数的微分微（积分）21 微分与积分有何联系？谈谈你对微元法的认识 微元法对微元的求
26、和-积（微分） 参见思考讨论实践题学习建议 集中记时自测百题作业提高实力切忌记答案不思考 熟悉重要结论以加强对微积分应用主线的全面理解 阅读每章小结争取对微积分学有一个整体上的把握 遇到问题在课程辅导教材例题常见问题中寻求答案 建议优秀学员扩大自己阅读面读读 实用技术攻略阶段目标 阶段 1 读懂网上作业，经努力，交流，答疑有能力完成并提交大部分作业。阶段 2 网上作业总复习时自测仍能高分通过，并理解原理。考试大纲重读。阶段 3 融会贯通从应用入手理清基本概念与重要结论的内在联系。网上提交深刻问题。思考讨论实践 初等函数在其定义域内连续 （课件光盘 基本初等函数连续） 闭区间上的连续函数一定有界
27、 （证明 略 知道结论即可 ） 有界变量乘无穷小是无穷小 （夹挤原则理解） 可导函数就是可微函数，反之亦然。 （证明稍复杂 课件有但不要求 ） 函数在其可微点处连续。 （从可微定义理解 课件光盘 ） 函数在其连续点处未必可微。即连续未必可微。 （ 在 x=0 处连续但不可微）|xy 函数的单调性可以通过导函数的符号加以判定。 （微分中值定理 光盘 ） 闭区间上连续函数的最大值点未必是函数的极值点。 （边界点或极值点 ） 函数可微的极值点一定是驻点。 （导数为零的点-驻点） （光盘 ） 微积分的基本定理是牛顿莱布尼兹公式。 （变限求导 ） 球冠的面积公式是 RHs2RdttS)(sin2)()c
28、os2()tRdtS 微元法是微积分应用的核心。 椭圆的面积是 ab 理解闭区间上连续函数的有界性与介值定理（零点定理）的重要意义。 牛顿莱布尼兹公式条件结论及其证明。 （光盘）教学文件说明一览表学习指导 课程辅导 考试大纲 教学大纲22读者对象 学员 学员 考生 教师主要内容 进度阶段目标 教学重点讲解 考试题型结构 教学安排要求技术操作 课程如何学习 面授两次并上传 考试范围要求 针对教师操作针对目标 作业 纲要 考式 整体同学你好！祝贺你学习已经进入本课程的尾声，如果你对微积分计算掌握的还好，只是仍不明白微积分的大意，请不要着急。想想变限积分的微分是什么？牛顿莱布尼兹公式是怎么回事？微积
29、分是怎样把积分问题化成求微分的问题的！变限积分的求导问题实际上就是变动面积函数的求导问题。一切都归于连续函数的最值定理与介值定理。当然，积分不仅仅可以解决一般曲边梯形的面积，体积，旋转体体积，弧长，路程，位移，数学期望等等。其实掌握微元法，一切公式只不过是个小小的应用而已。从球冠的面积公式的推导想想微元法是如何应用到一个你不太熟悉的公式的推导上的。相信你的深入思考会大有收获的。如果你对实战应用能力的提高很有兴趣，我相信你应该有理由认为自己是一名优秀的学员。再次向你表示祝贺！实用技术攻略扩展内容供优秀学生阅读 无截距简单线性模型斜率参数的最小二乘估计： （容易推导）ninixy121/统计线性模
30、型参数估计所依据的原则最常用的是最小二乘法，另有极大似然法等。基于误差为各自独立正态（高斯）分布方差相等假设下，最小二乘估计具有良好性质。最小二乘法原则： 含参数模型的预测值减去观测值的平方和达到最小参数的取值不同残差的平方和就不同以无无截距简单线性模型为例 若要 达到最小，由微积分知仅当 成立21)()(iniixyfninixy121/23结论另外 故 为极小值点。0)(20)(1iiini xyf 02)(1nixf此公式广泛应用于具有正比例关系的两个变量之间比例系数的估计。需要指出的是使用计算器容易解决这类计算问题。当然更为简单的是用统计软件如 SAS 使用 REG 过程分析非常方便，
31、Regression 就是通常人们所说的回归。同学不妨比较计算机和计算器的计算结果，从中体会微积分学在科学计算中默默地发挥着极为重要的作用。 简单线性模型截距参数与斜率参数的最小二乘估计：211 )(/)( xyxniiniii xy（结论可类比无截距情形推导一般用多元微分学） 拉格郎日插值多项式：一次插值多项式（两点决定一条直线） 2121211)( yxyxP二次插值多项式（三点决定一条抛物线）3231323212131212 )()()()( yxxyxyxxP 函数增量近似等于函数微分： 数学软件 Methematica 与 Matlab 等统计软件 SAS 及 SPSS 等。 绘图软件几何画板 超几何画板等。 作图 1-1 在单位圆中标出 ， , 弧度 x。xysinxcosytan 作图 1-2 试给出单位圆中内接正 N 边形的边长及周长的计算公式。 作图 1-3 试给出单位圆中内接正 N 边形的面积的计算公式。 作图 2-1 标准三次抛物线曲线并标有极值点拐点特定区间上的最值点。
