1、0第 2 章 符号计算符号计算：解算数学表达式、方程不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式，数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。特点：一，相对于 MATLAB 的数值计算 “引擎”和“函数库”而言，符号计算的“引擎”和“函数库”是独立的。二，在相当一些场合，符号计算解算问题的指令和过程，显得比数值计算更自然、更简明。三，大多数理工科的本科学生在学过高等数学和其他专业基础课以后，比较习惯符号计算的解题理念和模式。MathWorks 自从 2008 年 10 开始，在 Matlab 的新版本(Matlab2008a，即 7.6 之后)中使用MuPAD 内核替换原来的 Maple 符号
2、计算内核！版本对本章学习的影响2.1 符号对象和符号表达式MATLAB 依靠基本符号对象（包括数字、参数、变量 ）、运算符及一些预定义函数来构造和衍生符号表达式和符号方程。2.1.1 符号对象的创建和衍生一 生成符号对象的基本规则 任何基本符号对象都必须借助专门的符号函数指令 sym 或 syms 定义。 任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。二 符号数字符号（类）数字的定义：sym(Num) 创建一个符号数字 Numsc=sym(Num) 创建一个符号常数 sc，该常数值准确等于 Num说明：Num 代表一个具体的数字Num 必须处于（英文状态下的）单引号内，构成字符串（关于
3、字符串参见附录A.1）。 Num 为整数、有理数、预定义常数（pi ） 如果定义十进制小数，可能会造成符号精度误差format long a=sym(sin(0.3);b=sym(sin(3e-1);1c=sym(sin(3/10);a=b vpa(b-a,40) 【例 2.1-1】符号（类）数字与数值（类）数字之间的差异。a=pi+sqrt(5) % 创建方式sa=sym(pi+sqrt(5)Ca=class(a) % 类别判断Csa=class(sa)vpa(sa-a)三 基本符号变量表达式 e-axsinbx 中的 a,b 称为参数，x 为变量。定义格式：syms Para 定义符号参数
4、 ParaPara=sym(Para) syms Para Flag 定义具有 Flag 指定属性的符号参数 ParaPara=sym(Para, Flag) syms Para1 Para2 ParaN 定义 Para1 Para2 ParaN 为符号参数syms Para1 Para2 ParaN Flag 定义 Para1 Para2 ParaN 为具有 Flag 指定属性的符号参数 符号参数名不要用处于“字母表中小写字母 x 及其两侧的英文字母”开头。 Flag 表示参数属性，可具体取以下词条：positive 表示那些符号参数取正实数；real 表示那些符号参数限定为实时；unrea
5、l 和 clear 作用相同，撤销定义，恢复复数域默认值是复数域符号变量sym 指令只能对单变量作用，syms 不能对数值、常数相关的定义。syms x a bint(1/(x),a,b) Var=sym(x,positive);Upp=sym(a,real);Low=sym(b,real);Intergral=int(1/(x),a,b) Var=sym(x,positive);Upp=sym(a,positive);Low=sym(b,positive);2Intergral=int(1/(x),a,b) 四 符号变量e-axsinbx 中的 x 称为变量，符号变量的定义同符号参数。确定自
6、由符号变量的规则： 在专门指定变量名的符号运算中，解题一定围绕指定变量名进行。 自动识别符号变量时，字母的优先次序为 x,y,w,z,v 等。自动识别表达式中自由、独立的符号变量的指令： symvar(EXPR) 确认表达式 EXPR 中所有自由符号变量symvar(EXPR, N) 确认表达式 EXPR 中距离 x 最近的 N 个自由符号变量原来版本是findsym(EXPR) 确认表达式 EXPR 中所有自由符号变量findsym(EXPR, N) 确认表达式 EXPR 中距离 x 最近的 N 个自由符号变量【例 2.1-2】用符号计算研究方程 的解。02wvzu（1）不指定变量情况sym
7、s u v w z % 定义符号参数/变量f=sym(3);%f 是符号常数Eq=sin(f)*u*z2+v*z+w;result_1=solve(Eq)symvar(Eq) %symvar(Eq,100) （2）指定变量情况result_2=solve(Eq,z) 【例 2.1-3】对独立自由符号变量的自动辨认。（1）syms a b x X Y % 定义符号参数/ 变量k=sym(3); % 符号常数z=sym(c*sqrt(delta)+y*sin(theta1); % 直接定义符号表达式EXPR=a*z*X+(b*x2+k)*Y; % 构成衍生符号表达式（2）symvar(EXPR)（
8、3）symvar(EXPR,1) （4）symvar(EXPR,2),findsym(EXPR,9) 【例 2.1-4】symvar 确定自由变量是对整个矩阵进行的。syms a b t u v x yA=a+b*x,sin(t)+u;x*exp(-t),log(y)+vsymvar(A,5) 32.1.2 符号计算中的算符 与数值计算中的算符在形状、名称和使用方法上几乎完全相同。 仅注意：在符号对象的关系运算符中，只有算符“=”，“=”比较结果为“真”时，用 1 表示; 否则用 0 表示。a=sym(4)b=sym(5)a=baclass(f1) （3）符号常数置换f2=subs(f,a,x
9、,2,sym(pi/3) % a 被双精度数字置换， x 被符号数字置换class(f2) （4）双精度数值置换f3=subs(f,a,x,2,pi/3) %class(f3) （5）数值数组置换之一f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %class(f4) （6）数值数组置换之二f5=subs(f,a,x,0:6,0:pi/6:pi) %class(f5) f6=subs(f,a,x,0:7,0:pi/6:pi) %class(f6) 2.3 符号微积分2.3.1 极限和导数的符号计算大学本科高等数学中的大多数微积分问题，都能用符号计算解决，手工笔算演绎的烦劳都可
10、以由计算机完成。limit(f,v,a) 求极限 )(limvfalimit(f,v,a,right) 求极限 vlimit(f,v,a,left) 求极限 li()vaf【例 2.3-1】试求 。kxx1limsyms x kLim_f=limit(1-1/x)(k*x),x,inf) diff(f,v,n) 求 (n 缺省时，默认 n=1)ndvf12【例 2.3-2】求 求 ， ， 。xttaflncos3df2tfdxfsyms a t x;f=a,t3;t*cos(x), log(x);df=diff(f) %f 对 x 的导数dfdt2=diff(f,t,2) %f 对 x 的二阶
11、导数dfdxdt=diff(diff(f,x),t) %二阶混合导数【例 2.3-3】求 的 Jacobian（雅可比）矩阵 。)sin(co),(21212xexxf 23121xfxfsyms x1 x2;f=x1*exp(x2);x2;cos(x1)*sin(x2);v=x1 x2;fjac=jacobian(f,v) 【例 2.3-4】 ，求 ， 。xfsin)()0(xffx（1）clearsyms xsyms d positivef_p=sin(x); %df_p=limit(subs(f_p,x,x+d)-f_p)/d,d,0) % df_p0=limit(subs(f_p,x,
12、d)-subs(f_p,x,0)/d,d,0) % （2）f_n=sin(-x);df_n=limit(f_n-subs(f_n,x,x-d)/d,d,0) % df_n0=limit(subs(f_n,x,0)-subs(f_n,x,-d)/d,d,0) % （3）f=sin(abs(x);dfdx=diff(f,x) % （4）xn=-3/2*pi:pi/50:0;xp=0:pi/50:3/2*pi;xnp=xn,xp(2:end);hold onplot(xnp,subs(f,x,xnp),k,LineWidth,2.5) % plot(xn,subs(df_n,x,xn),-r,Lin
13、eWidth,2.5)plot(xp,subs(df_p,x,xp),:r,LineWidth,2.5)legend(char(f),char(df_n),char(df_p),Location,NorthEast)% grid onxlabel(x)hold off 【例 2.3-6】求 f(x)=xex 在 x=0 处 8 阶 Maclaurin 级数syms xr=taylor(x*exp(x),9,x,0) % 忽略 9 阶以及以上小量展开pretty(r) % 13R = evalin(symengine,series(x*exp(x),x=0,8) % pretty(R) 2.3.
14、2 序列/级数的符号求和symsum(f,v,a,b) 求 f 在变量 v 取遍a, b中所有整数时的和。a,b 缺省时默认求和区间0, v-1。【例 2.3-8】求 ， 。103,ttk12)1(,(kksyms k t;f1=t k3;f2=1/(2*k-1)2,(-1)k/k;s1=simple(symsum(f1) % f1 的自变量被确认为 ts2=simple(symsum(f2,1,inf) % f1 的自变量被确认为 k2.3.3 符号积分int(f,v) 求 f 对变量 v 的不定积分int(f,v,a,b) 求 f 对变量 v 的定积分【例 2.3-9】求 。dx1clea
15、rsyms xf=sqrt(1+x)/x)/xs=int(f)s1=simple(simple(s) 【例 2.3-10】求 。dxxbasin12syms a b x;f=a*x,b*x2;1/x,sin(x);disp(The integral of f is);pretty(int(f) 【例 2.3-11】求积分 。2 1 22)(xydzyxsyms x y zF2=int(int(int(x2+y2+z2,z,sqrt(x*y),x2*y),y,sqrt(x),x2),x,1,2)VF2=vpa(F2) %积分结果用 32 位数字表示【例 2.3-12】求阿基米德（Archimed
16、es）螺线 在 到 间的曲线长)0(,ar度函数，并求出 时的曲线长度。2,1a（1）syms a r theta phi positivex=r*cos(theta);x=subs(x,r,a*theta);y=r*sin(theta);y=subs(y,r,a*theta);dLdth=sqrt(diff(x,theta)2+diff(y,theta)2);L=simple(int(dLdth,theta,0,phi) 14（2）L_2pi=subs(L,a,phi,sym(1,2*pi)L_2pi_vpa=vpa(L_2pi) （3）L1=subs(L,a,sym(1);ezplot(L
17、1*cos(phi),L1*sin(phi),0,2*pi)grid onhold onx1=subs(x,a,sym(1);y1=subs(y,a,sym(1);h1=ezplot(x1,y1,0,2*pi);set(h1,Color,r,LineWidth,5)title( )legend(螺线长度 -幅角曲线, 阿基米德螺线)hold off 2.4 微分方程的符号解法2.4.1 符号解法和数值解法的互补作用优点：从数值计算角度，与初值问题求解相比，微分方程边值问题的求解显得复杂和困难。对于运用数学工具去解决实际问题的科研人员来说，此时，不妨通过符号计算指令进行求解尝试。对于符号计算来说
18、，不论是初值问题，还是边值问题，其求解微分方程的指令形式相同，且相当简单。缺点：符号计算可能花费较长的时间，可能得不到简单的解析解，也可能得不到封闭形式的解，甚至可能无法求解.求解微分方程的符号法和数值法有很好的互补作用。2.4.2 求微分方程符号解的一般指令求解符号微分方程最常用的指令格式为如下两种:S=dsolve( eql ,eq2 , ,eqn . cond1,. cond2 , , condn , v )S=dsolve( eql , eq2 , eqn . condl , cond2, ， condn , v)【说明】 输入最包括三部分:微分方程、初始条件、指定独立变量。其中微分方
19、程是必不可少的输入内容。 若不对独立变量加以专门的定义 则默认小写英文字母t 为独立变量.微分方程的记述规定:当y 是“因变量“时， 用“Dny“表示“y 的n 阶导数“。 在t 为默认独立变量时，Dy 表示dy/dt;Dny 表示 dny/dtn。 对初始条件或边界条件的规定:应写成y(a) = b ， Dy (c)=d 等。a，b , c， d 可以是变量使用符以外的其他字符。当初始条件少于微分方程数时. 在所得解中将出现任意常数符Cl ， C2 ， 解中任意常数符的数目等于所缺少的初始条件数。2.4.3 微分方程符号解示例【例2.4-1】求dx/dt=y,dy/dt=-x 的解。clea
20、r all % 15S=dsolve(Dx=y,Dy=-x)disp( )disp(微分方程的解,blanks(2),x,blanks(22),y)disp(S.x,S.y)S = y: 1x1 symx: 1x1 sym微分方程的解 x y C2*cos(t) + C1*sin(t), C1*cos(t) - C2*sin(t)【例2.4-2】图示微分方程y=zy 一(y ) 2的通解和奇解的关系。clear all % y=dsolve(Dy)2-x*Dy+y=0,x) % clf,hold on %hy1=ezplot(y(1),-6,6,-4,8,1); % set(hy1,Color
21、,r,LineWidth,5)Sv=symvar(y(2);for k=-2:0.5:2 % y2=subs(y(2),Sv(1),k); %ezplot(y2,-6,6,-4,8,1)end % hold off %box onlegend(奇解 ,通解,Location,Best)ylabel(y)title(fontsize14微分方程, (y )2 xy + y = 0 ,的解) 2.5 符号矩阵分析和代数方程解2.5.1 符号矩阵分析指令含义colspaoe(A) 矩阵的列空间基det(A) 行列式diag(A) 取对角元构成向量，或根据向量构成对角阵V，D=eig(A) 特征值分解
22、，使 AV = VDexpm(A) 矩阵指数 eAinv(A) 矩阵逆 A-1V，J=jordan(A) 准确阵 A 的 Jordan 分解.使 AV = VJnull(A) 零空间的基poly(A) 矩阵的特征多项式rank(A) 矩阵秩rref(A) A 的行阶梯形式 tril(A) A 的下三角形式triu(A) A 的上三角形式16【例 2.5-1】求矩阵 A =a11 a12; a21 a22的行列式、逆和特征根。（1）syms a11 a12 a21 a22A=a11,a12;a21,a22DA=det(A)IA=inv(A) %求逆A = a11, a12 a21, a22DA
23、=a11*a22 - a12*a21IA = a22/(a11*a22 - a12*a21), -a12/(a11*a22 - a12*a21) -a21/(a11*a22 - a12*a21), a11/(a11*a22 - a12*a21) 2）借助公因子表达EA=subexpr(eig(A),D) 2.5.2 线性方程组的符号解矩阵计算是求解线性方程组最简便有效的方法。在 MATLAB 中， 不管数据对象是数值还是符号，实现矩阵运算的指令形式几乎完全相同。 【例 2.5-2】求 d + n/2+ p/2= q ， n + d + q- p =10，q+d-n/4= p ， q+ p-n
24、-8d=1 线性方程组的解。(1)矩阵除法A=sym(1 1/2 1/2 -1;1 1 -1 1;1 -1/4 -1 1;-8 -1 1 1);b=sym(0;10;0;1);X1=Ab % 利用系数矩阵运算 (2) 采用 solve 指令的一般代敷方程解法eq1=sym(d+n/2+p/2-q); % eq2=sym(d+n-p+q-10); %eq3=sym(d-n/4-p+q); %eq4=sym(-8*d-n+p+q-1); %S=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,d,n,p,q); % disp( d, n, p, q)disp(S.d,S.n,S.p,S.q) 这里所讲的
25、一般代数方程包括线性( Linear ) 、非线性(Nonlinear) 和超越方程(Transcedental equation) 等，求解指令是 solve 。当方程组不存在符号解时，若又无其他自囱参数，则 so l ve 将给出数值解。该指令最清晰的使用梢式如下:S=solve( eql , eq2 ,eqn , v1, v2 , vn ) 求方程组关于指定变量的解S=solve(expl , exp2, expn, vl , 2 , , vn) 求方程组关于指定变量的解【例2.6-4】求方程组uy 2+vz+W=0，y+z+w=0 关于y，z的解。S=solve(u*y2+v*z+w=
26、0,y+z+w=0,y,z) % disp(S.y),disp(S.y),disp(S.z),disp(S.z)% 172.6 符号计算结果的可视化符号计算结果的可视化有两条途径：1 利用计算获得的符号表达式直接绘图；2 根据获得的符号表达式或符号数值结果，进而转换得到数值数据，再利用MATLAB 的数值绘图指令绘制所需的图形。2.6.1 利用计算获得的符号表达式直接绘图1. 单独立变量符号函数的可视化ezplot( Fx , xmin, xmax , ymin, ymax )在指定 x 和 y 范围内，绘制 y = J(x)描写的平面曲线ezplot( Fxy, xmin , xmax ,
27、ymin .ymaxJ)在指定 x 和 y 范围内，绘制 J(x,y)=0 描写的平面曲线ezplot( xt , yt , tmin. tmax)在指定 t 范围内，绘制 x=x(t) ,y= y(t ) 描写的平面曲线ezplot3(xt, yt , zt , tmin, tmax )在指定 t 范围内，绘制 x(t) , y(t),z(t) 描写的三维空间曲线 平面曲线指令 ezplot 的第一 和第二输入量可以有三种形式：Fx；Fxy；xt，yt 。它们表示的数学含义分别是:y= f( x) ;f(x .y) = 0; x= x (t) ,y= y(t) 。 空间曲线指令 ezpl o
28、t3 的前三个输入量 xt ， yt , zt ， 都采用参数表达形式。注意:空间曲线也只有一个独立变量。 函数类型：符号函数、字符表达函数、函数 M 文件句柄、匿名函数句柄。 ezplot 会自动把被绘函数和自变量分别标写为图名和横轴名。但用户也可以根据需要，使用 title ， xlab el 指令重写图名和横轴名。 ezplot 指令不能制定所绘曲线的线型和色彩，也不允许同时绘制多条曲线；但采取一些辅助措施，仍可实现色彩控制和重绘。 text , gtext , grid , zoom , ginput 等指令可用于 ezplot 绘制的图形。【例 2.6-1】绘制 和它的积分 在0,4
29、 间的图形。23costyet0()tsydsyms t taoy=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t) %s=subs(int(y,t,0,tao),tao,t) %subplot(2,1,1) %ezplot(y,0,4*pi),ylim(-0.2,0.7)grid on %subplot(2,1,2) %ezplot(s,0,4*pi)grid ontitle(s = int y(t)dt) %2 . 双独立变量符号函敢的可视化ezsurf( Fxyz, dom_f) 在指定矩形域上画二元前数 F(x , y , z) =0 曲面ezsurf(Fxyz,dom_f
30、 , circ ) 在圆形域上画二元函数 F(x , y , z) =0 曲面ezsurf( x, y, z, dom_st , ngrid) 在指定矩形域上画 x=x(s,t) ,y= y(s ,t)， z = z(s,t) 曲面ezsurf ( x, y, z, dom_st , circ) 在指定园形域上面 x=x(s , t) ,y = y(s,t),z= z(s,t)曲面 曲面指令 ezsurf 的第一(和第二、三) 输入量可以有两种形式: Fxyz; x , y , z。它们分别表示的数学含义是：F(x ， y ， z ) = 0； x = x(s ,t)，y = y(s ,t)
31、，z = z(s ,t)。但不管何种表达方18式，这些输入量描写的曲面一定有两个独立变量。 函数输入盘 Fxyz; x , y , z 的程序表现可以是：符号函数、字符表达函数、函数 M 文件句柄、匿名函数句柄。 dom_f 取二元数组a ，b时，变量范围是 a x b， a y b;dom_f 取四元数组a ,b ,c, d 时， 自变量范围是 a x b ， c y d。 dom_st 取二元数组a ， b 时，自变量范围是 a s b ， a t b( 假设参量是 S ， t ) ;dom_st 取四元敛组a ， b ， c ， d 时，自变量范围是 a s b ， c t d(假设参量
32、是 s ， t ) 。 ngrid 是用来指定绘图“ 格点“数的。格点愈多，曲面表现愈细腻。默认时， ngrid=60 。【例 2.6-2】使用球坐标参量画部分球壳clfx=cos(s)*cos(t); %y=cos(s)*sin(t); %z=sin(s); %ezsurf(x,y,z,0,pi/2,0,3*pi/2,100) %view(17,40) %shading interpcolormap(spring) %light(position,0,0,-10,style,local) % light(position,-1,-0.5,2,style,local)material(0.5,
33、0.5,0.5,10,0.3) % 2.6.2 符号计算结果的数值化绘图先把符号计算结果数值化，然后再利用 MATLAB 丰富的绘图指令实现可视化，也是比较常用的一种方法。【例 2.6-3】符号法求函数 y = f(x)=l-2/(1+ex)的积分，用 plot 指令绘制函数及其积分函数的曲线； 对反函数积分的两种算法进行可视化比较。(1) 函数 y = f(x)=l-2/(1+ex)的积分clearsyms x y real %fx=1-2/(1+exp(x); %disp(f(x)=)pretty(fx)disp( )fxint=simple(int(fx,x,0,x) % （2）从符号结
34、果获得数值绘图数据xk=0:0.1:2; %fxk=subs(fx,x,xk); %fxintk=subs(fxint,x,xk); %plot(xk,fxk,g:,xk,fxintk,r,LineWidth,2.5)title(函数及其积分函数)xlabel(x)legend(f(x),intx_0 f(x) dx,Location,best) （3）求反函数 x=g(y)gy=simple(subs(finverse(fx),x,y)%gyint=simple(int(gy,y,0,y) % 192.7 符号计算资源深入利用科技工作者常常希望能通过符号计算途径写出适于数值计算的 M 码，
35、甚至产生出适于Simulink 环绕的模块。MATLAB 专门设计了指令 matlabFunction，使符号表达式向 M 码转换效率更高。1.转换指令 matIabFunctionHmf = matlabFunctioD (f,paraml,value1 ,)最通用的转换格式，“param-value 输入量对“最多可以有三对，但每对都可以省缺;输出量Hmf 也可以省缺。注意:第一输入量 f 是必不可少的。 第一输入量 f 必须是符号类表达式或代表符号表达式的符号变量。该表达式可能的来源是:由基本符号变量构成的“衍生“符号表达式;由 sym 指令作用于字符串表达式形成的符号表达式;被赋以符号
36、表达式的符号变量;由 evalin 或 feval 运行 MuPAD 函数后获得的符号表达式。 第二输入量 paraml 和第三输入量 value1 构成所谓的 “param-value 输入对“。param 必须是字符串，它们可以是三个关键词中的一个; 而 value 的书写必须与所取关键词相应。 Hmf 将是生成的 M 函数文件或匿名函数的“ 函数句柄“。假如 matlabFunction 调用时，不向 Hmf 赋值，则生成的函数句柄用缺省名 ans。 当然， ans 是临时的，一旦其后再次运行别的“M 码表达式指令“， ans 就将被改写. matlabFunction 函数的工作机制是
37、 :先借助 char 把“符号表达式“ 变为“字符串“，再由vectorize 把 “字符串“变为“符合数组运算规则“的 M 码表达式。syms x yr = sqrt(x2 + y2);ht = matlabFunction(sin(r)/r) syms x y zr = x2 + y2 + z2;f = matlabFunction(log(r)+r(-1/2),file,myfile); myfile 的内容function out1 = myfile(x,y,z)%MYFILE% OUT1 = MYFILE(X,Y,Z)% This function was generated by
38、the Symbolic Math Toolbox version 5.4.% 09-Sep-2013 t2 = x.2;t3 = y.2;t4 = z.2;t5 = t2+t3+t4;out1 = log(t5)+1.0./sqrt(t5);myfile(2,4,7) 2、借助 mfun 调用 MuPAD 特殊函数20fx= mfun(Fname, parl , , par4 ) 调用特殊函数进行数值计算 Fname 必须是 mfunlist 查得的特殊函数名的字符串 . par1, par4 必须是数值; 每个参数含义、参数的具体数目和次序必须与mfunlist 列表一致 . 计算所得结果
39、 fx 是 16 位数字精度的数值。3、直接调用 MuPAD 的函数非 mfunlist 列表 MuPAD 函数的调用y=evalin(symengine, MuPAD_Expression ) 调用 MuPAD 引擎实现 MuPAD 表达式计算evalin 是 MATLAB 的跨空间演算指令。它是立足于 MATLAB 内存空间调动 MuPAD 引擎在 Mu PAD 内存空间中，y = feva1(symengine,MuPAD_Function ,xl,. ,xn) 调用 MuPAD 引擎实现 MuPAD 函数计算feval 是 MATLAB 的函数演算指令。在本指令格式中，它是立足于 MA
40、TLAB 内存空间调动 MuPAD 引擎在 MuPAD 内存空间中， 用 MuPAD 程序语言对 MuPAD_Function 所代表的函数进行解算。复习1 说出以下三条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度”对象，还是“符号”对象？3/7+0.1, sym(3/7+0.1), vpa(sym(3/7+0.1) 答案ans =0.5286ans =37/70ans =0.528571428571428571428571428571432 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认为是独立自由变量。sym(sin(w*t) , sym(a*exp(-X) ) , sym(z*
41、exp(j*theta)答案3 求符号矩阵 的行列式值和逆，所得结果应采用“子表达式置32311aA21换”简洁化。答案syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ssubdet(A),B=A-1,RS,ssub=subexpr(B,ssub) 4 对函数 ，当 为正实数时，求 。（实际上，这0)(kakfka0)(kkzf就是根据定义求 Z 变换问题。）答案syms a positivesyms z kf=ak;symsum(f*z(-k),k,0,inf) 5 对于 ，求 。（提示：理论结果为 ）0x1202kkxxln答案syms x positiv
42、esyms z kf=2/(2*k+1)*(x-1)/(x+1)(2*k+1);symsum(f,k,0,inf) 6 （1）通过符号计算求 的导数 。（2）然后根据此结果，求ttysin)(dty和 。0tdy2t答案syms t y=abs(sin(t);dydt=diff(y)d0=limit(dydt,t,0,left)dpi_2=limit(dydt,pi/2) 7 求出 的具有 64 位有效数字的积分值。dxexsin7.15答案syms xy=int(exp(-abs(x)*abs(sin(x),x,-5*pi,1.7*pi)22vpa(y,64) 8 计算二重积分 。212)(xdyx答案syms x y F2=int(int(x2+y2,y,1,x2),x,1,2)VF2=vpa(F2)
