1、第五章 连续系统的s域分析,5.1 拉普拉斯变换,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,f (t)=eat (t) a0的傅里叶变换？,将f(t)乘以衰减因子e- t,不存在!,若 ,推广到一般情况,是 +j的函数,可以写成,相应的傅里叶反变换为,令s= +j,拉普拉斯变换,拉普拉斯逆变换,F(s)称为f (t)的象函数， f (t)称为F(s)的原函数。,简记为：,用符号记为：,物理意义：,信号f(t)可分解成复指数信号est的线性组合,s= +j 是复数，称为复频率,其中是振荡频率，控制衰减速度,以为横轴、j为纵轴的平面称为s平面,二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件,关于积分下限的说明：,积分下
2、限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。,单边拉普拉斯变换,单边拉普拉斯变换存在的条件,（1）f(t)在有限区间内可积,（2） f(t)应满足,( 0),0称收敛条件,0称收敛坐标,S平面,右半平面,左半平面,三、常用信号的拉普拉斯变换,（1）指数型函数eat (t),同理：,(2) 阶跃函数 (t),(4)正弦信号,1、线性,若,则,2、尺度变换,若,则,5.2 拉普拉斯变换的性质,3、时移特性,若,则,4、频移特性,若,则,延时信号 是指因果信号 延时t0后的信号。,如： 与,两信号不同，其象函数也不同,5、时域微分特性,若,则,证明 :,重复应用微分性质
3、，求得：,若f(t)=0, t0, 则有f r(0-) = 0，r=0,1,2,.,将时域微分方程转化为s域的代数方程,6、时域积分特性,若f (t)为因果信号，即 f -1(0-)=0， 则有,若,则,7、卷积特性,a、时域卷积特性,b、频域卷积特性,8、s域微分特性,若,则,9、s域积分特性,若,则,10、初值定理和终值定理,若f (t)连续可导，且,初值定理,终值定理,s=0的点应在sF(s)的收敛域内，否则不能用终值定理,例：求图示三角波f(t)的拉氏变换,解:方法一:按定义式积分,方法二:利用线性和时移定理,方法三:利用微分积分定理将f(t)微分二次,根据微分定理:,方法四:利用卷积
4、定理f (t)可以看作是f1(t)自身的卷积.,5.3 拉普拉斯逆变换,计算拉普拉斯逆变换方法：,1. 利用复变函数中的留数定理,2. 采用部分分式展开法,（1）若F(s)为有理假分式( m n ),可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和， 即,P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成。,则,例,（2）F(s)为有理真分式( m n),若 为有理真分式，可直接展开为部分分式后求逆变换。,a 、F(s) 仅有一阶极点/单极点,若A(s)=0仅有n个单根si(i=1, 2, , n)，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为,式中，各部分分式项的系数Ki为,例：,解
5、：,b、 F(s)有r重极点,若A(s)=0在s=s1处有r重根，而其余(n-r)个根sj(j=r+1, ，n)，这些根是单根，其值是实数或复数，,式中：,先求F1(s)的逆变换，因为,由复频移性质，可得,F(s)的单边拉普拉斯逆变换为,解：,例：,c、F(s)有复极点,如果A(s)=0的复根为s1,2= -j，则F(s)可展开为,式中，K2=K*1。 令K1=|K1|e j, 则有,由复频移和线性性质得F(s)的原函数为,知道其中的一个极点s1=-+j及其系数 K1=|K1|e j(与s1对应)，就可得到这一对共轭复极点对应的原函数。,例：,于是得,解：,方法二：,例 已知 ，求F(s)的单
6、边拉氏逆变换。,由线性和常用变换对得到,由时移性质得,例：已知 ，求F(s)的原函数f(t)。,解：,根据复频域微分性质,则F(s)的原函数为,例 已知,求F(s)的单边拉氏逆变换。,解:,因此，根据时域卷积性质得,5.4 复频域分析,一、微分方程的变换解,时域微分方程,时域响应y(t),S域响应Y(s),拉氏变换,拉氏逆变换,解微分方程,解代数方程,S域代数方程,已知 f (t)，y(0-)，y (0-) ，求y(t)。,(1) 经拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程,(2) 求解s域代数方程，求出Yx(s), Yf (s),(3) 拉氏反变换，求出响应的时域表示式,求解步骤：,二阶系统
7、响应的S域求解,y”(t),a1y(t),a0y (t),分别令,Yx(s),Yf (s),例：系统的微分方程为y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t) 激励f(t)=e-t(t)，初始状态y(0-)=3，y(0-)=2，求零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)及全响应y(t)。,解 ：对微分方程取拉氏变换可得,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,二、系统函数,定义：系统零状态响应的拉氏变换式与激励的拉式变换式之比，记为H(s)。,H(s)只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。,H(s)与h(t)的关系？,考虑微分方程,H(s)只与微分方程系数ai、 bi
8、有关。,系统的零状态响应的象函数可表示为：,即：,f(t),yf(t)=f(t)*h(t),F(s),Yf(s)=F(s)H(s),求H(s)的方法：,由系统的冲激响应求解：H(s)=Lh(t),由系统的微分方程写出H(s),由定义式,自学p245 例5.4-5、5.4-6,基本运算器的时域和S域模型 (a) 数乘器； (b) 加法器；(c) 积分器,三、系统的s域框图,X(s),sX(s),s2X(s),例：某线性连续系统如图所示。求系统函数H(s), 写出描述系统输入输出关系的微分方程。,系统函数为,对上式应用时域微分性质， 得到系统微分方程为,四、电路的s域模型,1.电阻,2.电感,3.
9、电容,4.电源的s域模型,5.s域的KCL、KVL,节点：,回路：,例: 图所示RLC系统，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0时电路已达稳态，t=0时开关S由位置1接到位置2。求t0时的完全响应iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态响应iLf(t)。,解 (1) 求初始条件：,五、拉普拉斯变换与傅里叶变换,若f(t)为因果信号，则f(t)的傅里叶变换F(j)和单边拉普拉斯变换F(s)分别为,由于s= +j，因此，若能使 =Res等于零，则F(s)就等于F(j)。但是，能否使 等于零，这取决于F(s)的收敛域。F(s)的收敛域为Res0, 0为实数，称为收敛坐标。 0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。,1. 0 0如果0 0，则F(s)的收敛域包含j轴(虚轴)，F(s)在j轴上收敛。,例如， ，其单边拉普拉斯变换为,的傅里叶变换为,2. 0 0若00，则F(s)的收敛域也不包含j轴，收敛域的边界在右半平面内。 因此， f(t)的傅里叶变换不存在。,例如， f(t)=e2t (t),其单边拉普拉斯变换为F(s)= ，F(s)的收敛域为Res2， f(t)的傅里叶变换不存在。,某反馈系统的框图如右下图所示，已知 ，f (t)为激励，y (t)为响应，k为常数，求系统函数H(s) 。,
