1、1专题限时集训(十六) 导数的应用(对应学生用书第 149页)建议 A、B 组各用时：45 分钟A组 高考达标一、选择题1已知 a为函数 f(x) x312 x的极小值点，则 a( )A4 B2 C4 D2D 由题意得 f( x)3 x212，令 f( x)0 得 x2，当 x2时， f( x)0；当20时， f(x) f( x)ln x3 x，所以3f( x) 3，则 f(1)2.所以 y f(x)在点(1，3)处的切线方程为1xy32( x1)，即 y2 x1.7已知函数 f(x) m 2ln x(mR)， g(x) ，若至少存在一个 x01，e，使得(x1x) mxf(x0)0是 f(x
2、)有三个不同零点的必要而不充分条件解 (1)由 f(x) x3 ax2 bx c，得 f( x)3 x22 ax b.因为 f(0) c， f(0) b，所以曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 y bx c. 2分(2)当 a b4 时， f(x) x34 x24 x c，所以 f( x)3 x28 x4.令 f( x)0，得 3x28 x40，解得 x2 或 x .23f(x)与 f( x)在区间(，)上的情况如下：x (，2) 2 ( 2， 23)23 ( 23， )f( x) 0 0 5f(x) c c3227所以，当 c0 且 c 0 时，存在 x1(4，2)， x2
3、 ， x3 ，3227 ( 2， 23) ( 23， 0)使得 f(x1) f(x2) f(x3)0.由 f(x)的单调性知，当且仅当 c 时，函数 f(x) x34 x24 x c有三个不同零(0，3227)点. 8分(3)证明：当 4 a212 b0 时， f( x)3 x22 ax b0， x(，)，此时函数 f(x)在区间(，)上单调递增，所以 f(x)不可能有三个不同零点当 4 a212 b0 时， f( x)3 x22 ax b只有一个零点，记作 x0.当 x(， x0)时， f( x)0， f(x)在区间(， x0)上单调递增；当 x( x0，)时， f( x)0， f(x)在区
4、间( x0，)上单调递增所以 f(x)不可能有三个不同零点. 10分综上所述，若函数 f(x)有三个不同零点，则必有 4 a212 b0.故 a23 b0是 f(x)有三个不同零点的必要条件当 a b4， c0 时， a23 b0， f(x) x34 x24 x x(x2) 2只有两个不同零点，所以 a23 b0不是 f(x)有三个不同零点的充分条件因此 a23 b0是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 15分B组 名校冲刺一、选择题1已知函数 y f(x)对任意的 x 满足 f( x)cos x f(x)sin x0(其中 f( x)是(2， 2)函数 f(x)的导函数)，则下列不
5、等式成立的是( )A. f f B. f f2(3) ( 4) 2(3) (4)C f(0)2 f D f(0) f(3) 2(4)A 令 g(x) ，则f xcos xg( x)f x cos x f x cos x cos2x ，由对任意的 x 满足 f( x)cos x f(x)f x cos x f x sin xcos2x ( 2， 2)sin x0，可得 g( x)0，即函数 g(x)在 上为增函数，(2， 2)6则 g g ，即 ，(3) ( 4)f( 3)cos( 3)f( 4)cos( 4)即 f f .故选 A.2(3) ( 4)2已知函数 f(x) ax2 bxln x(
6、a0， bR)，若对任意 x0， f(x) f(1)，则( )Aln a2 b Bln a2 bCln a2 b Dln a2 bA f( x)2 ax b ，由题意可知 f(1)0，即 2a b1，由选项可知，只需比1x较 ln a2 b与 0的大小，而 b12 a，所以只需判断 ln a24 a的符号构造一个新函数 g(x)24 xln x，则 g( x) 4，令 g( x)0，得 x ，当 x 时，1x 14 14g(x)为增函数，当 x 时， g(x)为减函数，所以对任意 x0 有 g(x) g 1ln 14 (14)40，所以有 g(a)24 aln a2 bln a0ln a2 b
7、，故选 A.3已知函数 f(x)ln x ax2 x有两个不同零点，则实数 a的取值范围是( )A(0,1) B(，1)C. D.( ，1 ee2) (0， 1 ee2)A 令 g(x)ln x， h(x) ax2 x，将问题转化为两个函数图象交点的问题当 a0 时， g(x)和 h(x)的图象只有一个交点，不满足题意；当 a0 时，由 ln x ax2 x0，得 a .x ln xx2令 r(x) ，则x ln xx2r( x) ，(1 1x)x2 ln x x 2xx4 1 x 2ln xx3当 0 x1 时， r( x)0， r(x)是单调增函数，当 x1 时， r( x)0， r(x)
8、是单调减函数，且 0，0 a1.x ln xx2 a的取值范围是(0,1)故选 A.4已知函数 f(x) x(ln x ax)有两个极值点，则实数 a的取值范围是( ) 【导学号：68334150】7A(，0) B.(0，12)C(0,1) D(0，)B f(x) x(ln x ax)， f( x)ln x2 ax1，由题意可知 f( x)在(0，)上有两个不同的零点，令 f( x)0，则 2a ，ln x 1x令 g(x) ，则 g( x) ，ln x 1x ln xx2 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减又当 x0 时， g(x)，当 x时， g(x)0，而 g(x)ma
9、x g(1)1，只需 02 a10 a .12二、填空题5(2017金华十校调研)已知 x(0,2)，若关于 x的不等式 恒成立，则实xex 1k 2x x2数 k的取值范围为_0，e1) 依题意，知 k2 x x20，即 k x22 x对任意 x(0,2)恒成立，从而k0，所以由 可得 k x22 x.令 f(x) x22 x，则 f( x)xex 1k 2x x2 exx exx2( x1)( x1) .ex x 1x2 (exx2 2)令 f( x)0，得 x1，当 x(1,2)时， f( x)0，函数 f(x)在(1,2)上单调递增，当x(0,1)时， f( x)0，函数 f(x)在(
10、0,1)上单调递减，所以 k f(x)min f(1)e1，故实数 k的取值范围是0，e1)6已知函数 g(x)满足 g(x) g(1)e x1 g(0)x x2，且存在实数 x0使得不等式122m1 g(x0)成立，则 m的取值范围为_1，) g( x) g(1)e x1 g(0) x，当 x1 时，g(0)1，由 g(0) g(1)e 01 ，解得 g(1)e，所以 g(x)e x x x2，则 g( x)12e x1 x，当 x0 时， g( x)0，当 x0 时， g( x)0，所以当 x0 时，函数g(x)取得最小值 g(0)1，根据题意将不等式转化为 2m1 g(x)min1，所以
11、 m1.三、解答题87已知函数 f(x)( x1)ln x a(x1)(1)当 a4 时，求曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1，)时， f(x)0，求 a的取值范围解 (1) f(x)的定义域为(0，)当 a4 时， f(x)( x1)ln x4( x1)，f(1)0， f( x)ln x 3， f(1)2.1x故曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 2x y20. 4分(2)当 x(1，)时， f(x)0 等价于 ln x 0.a x 1x 1设 g(x)ln x ，a x 1x 1则 g( x) ， g(1)0. 8分1x 2a x 1 2
12、x2 2 1 a x 1x x 1 2当 a2， x(1，)时， x22(1 a)x1 x22 x10，故 g( x)0， g(x)在(1，)单调递增，因此 g(x)0；当 a2 时，令 g( x)0 得 x1 a1 ， x2 a1 . a 1 2 1 a 1 2 1由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1， x2)时， g( x)0， g(x)在(1， x2)单调递减，因此 g(x)0.综上， a的取值范围是(，2. 15分8设函数 f(x) ax2 aln x， g(x) ，其中 aR，e2.718为自然对数的底1x eex数(1)讨论 f(x)的单调性；(2)证明：当 x1时
13、， g(x)0；(3)确定 a的所有可能取值，使得 f(x)g(x)在区间(1，)内恒成立解 (1)由题意得 f( x)2 ax (x0)1x 2ax2 1x当 a0 时， f( x)0时，由 f( x)0 有 x ，12a当 x 时， f( x)0， f(x)单调递增. 4分(12a， )(2)证明：令 s(x)e x1 x，则 s( x)e x1 1.当 x1时， s( x)0，所以 ex1 x，9从而 g(x) 0. 8分1x 1ex 1(3)由(2)知，当 x1时， g(x)0.当 a0， x1时， f(x) a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有 a0.当 01.12 12a由(1)有 f 0，(12a) (12a)所以此时 f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立. 11分当 a 时，令 h(x) f(x) g(x)(x1)12当 x1时， h( x)2 ax e 1 xx 0.1x 1x2 1x 1x2 1x x3 2x 1x2 x2 2x 1x2因此， h(x)在区间(1，)上单调递增又因为 h(1)0，所以当 x1时， h(x) f(x) g(x)0，即 f(x)g(x)恒成立综上， a . 15分12， )
