1、121.1 指数与指数幂的运算第一课时 根 式根 式提出问题(1)若 x29,则 x 是 9 的平方根,且 x3;(2)若 x364,则 x 是 64 的立方根,且 x4;(3)若 x481,则 x 是 81 的 4 次方根,且 x3;(4)若 x532,则 x 是32 的 5 次方根,且 x2.问题 1:观察(1)(3),你认为正数的偶次方根都是两个吗?提示:是问题 2:一个数的奇次方根有几个?提示:1 个问题 3:由于 224,小明说,2 是 4 的平方根;小李说,4 的平方根是 2,你认为谁说的正确?提示:小明导入新知根式及相关概念(1)a 的 n 次方根定义:如果 xn a,那么 x
2、叫做 a 的 n 次方根,其中 n1,且 nN *.(2)a 的 n 次方根的表示:n 的奇偶性a 的 n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数 na Rn 为偶数 na 0,)(3)根式:式子 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数na化解疑难根式记号的注意点(1)根式的概念中要求 n1,且 nN *.(2)当 n 为大于 1 的奇数时, a 的 n 次方根表示为 (aR);当 n 为大于 1 的偶数时,na(a0) 表示 a 在实数范围内的一个 n 次方根,另一个是 ,从而 n a.na na (na)2根式的性质提出问题问题 1: 3, 3, 4分别等于多少?(32) (
3、3 2) (42)提示:2,2,2.问题 2: , , , 分别等于多少?3 2 3323 4 2 4 424提示:2,2,2,2.问题 3:等式 a 及( )2 a 恒成立吗?a2 a提示:当 a0 时,两式恒成立;当 a1)na(2) Error!nan(3) 0.n0(4)负数没有偶次方根化解疑难( )n与 的区别na nan(1)当 n 为奇数,且 aR 时,有 ( )n a;nan na(2)当 n 为偶数,且 a0 时,有 ( )n a.nan na根式的概念例 1 (1)下列说法:16 的 4 次方根是 2; 的运算结果是2;当 n 为大于4161 的奇数时, 对任意 aR 都有
4、意义;当 n 为大于 1 的偶数时, 只有当 a0 时才有na na意义其中说法正确的序号为_(2)若 有意义,则实数 a 的取值范围是_3 1a 3解析 (1)16 的 4 次方根应是2; 2,所以正确的应为.416(2)要使 有意义,则 a30,即 a3.3 1a 3 a 的取值范围是 a|a3答案 (1) (2) a|a3类题通法判断关于 n 次方根的结论应关注两点3(1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数;(2)n 为奇数时, a 的正负决定着 n 次方根的符号活学活用已知 m102,则 m 等于( )A. B102 102C. D210 102解析:选 D m102, m 是 2
5、的 10 次方根又10 是偶数,2 的 10 次方根有两个,且互为相反数 m .102利用根式的性质化简求值例 2 化简:(1) (x0, y0 B x0, y0,而误认为 1 而导致解题错误4 1 2 4 4 1 2 4 22对于根式 的化简一定要注意 n 为正奇数还是正偶数,因为 a(aR)成立的nan nan条件是 n 为正奇数,如果 n 为正偶数,那么 | a|.nan活学活用当 a, bR 时,下列各式恒成立的是( )A( )4 a b B( )4 a b4a 4b 4a bC. a b D. a b4a4 4b4 4 a b 4解析:选 B 当且仅当 a b0 时,( )4 a b
6、;4a 4b当且仅当 a0, b0 时, a b;4a4 4b4当且仅当 a b0 时, a b.4 a b 4由于 a, b 符号未知,因此选项 A,C,D 均不一定恒成立选项 B 中,由 可知 a b0,4a b所以( )4 a b.4a b随堂即时演练1化简 的结果是 ( ) 1 2x 2(x12)A12 x B0C2 x1 D(12 x)2解析:选 C |12 x|, x , 1 2x 21212 x3,则 |2 x|_.x2 6x 9解析: |2 x| |2 x| x3|2 x| x3( x2)x2 6x 9 x 3 21.答案:14化简( )2 _.a 1 1 a 2 3 1 a
7、3解析:由根式 有意义可得 a10,即 a1,a 1原式( a1)( a1)(1 a) a1.答案: a15已知 a1, nN *,化简 .n a b n n a b n解: a0,( )2 m. m答案: m7若 x4,则实数 x 的取值范围是_x2 8x 16解析: | x4|,x2 8x 16 x 4 2又 x4,x2 8x 16| x4| x4, x4.答案: x|x48设 f(x) ,若 0 a1,则 f _.x2 4 (a1a)解析: f (a1a) (a 1a)2 4 ,a2 1a2 2 (a 1a)2 |a 1a|由于 0 a1,所以 a ,故 f a.1a (a 1a) 1a
8、8答案: a1a三、解答题9计算: .5 26 7 43 6 42解: 5 26 7 43 6 42eq r(r(3)2 2r(3)r(2)(r(2) 2 , 22 223 3 222 222 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2| |2 |2 |3 2 3 2 2 23 2 3 22 .210写出使下列等式成立的 x 的取值范围:(1) ;3( 1x 3)3 1x 3(2) (5 x) . x 5 x2 25 x 5解:(1)要使 成立,3( 1x 3)3 1x 3只需 x30 即可,即 x3.(2) . x 5 x2 25 x 5 2 x 5要使 (5 x) 成立, x 5 2 x
9、5 x 5只需Error! 即5 x5.11化简:( )2 .a 1 1 a 2 7 a 1 7解:由题意可知 有意义, a1.a 1原式( a1)|1 a|( a1) a1 a1 a13 a3.12设 x ,求 的值18 43 1 x 1 x1 x 1 x解: 1 x 1 x1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 21 x2x1 1 xx .1x 1x 19 x , 84 ,18 43 1x 3原式 8 43 8 43 1 8 212 7 212 6 2 2 2 3 2 6 22 2 .3 6 3 2第二课时 指数幂及运算分数指数幂的意义提出问题问题 1:
10、判断下列运算是否正确提示:正确问题 2:能否把 , , 写成下列形式:4a33b2 4c5提示:能导入新知分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:amn (a0, m, nN *,且 n1)nam(2)规定正数的负分数指数幂的意义是:a-n 1m (a0, m, nN *,且 n1)1nam(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义化解疑难对分数指数幂的理解(1)指数幂 amn不可以理解为 个 a 相乘,它是根式的一种新写法在定义的规定下,mn根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式上不同而已,这种写法更便于指数运算,10所以分数指数幂与根式可以相互转化;(2
11、)通常规定分数指数幂的底数 a0,但要注意在像 中的 a,则需要4 aa0.有理数指数幂的运算性质导入新知有理数指数幂的运算性质(1)aras ar s(a0, r, sQ);(2)(ar)s ar_s(a0, r, sQ);(3)(ab)r arbr(a0, b0, rQ)化解疑难有理数指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来,可以用文字语言叙述为:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的幂,底数不变,指数相乘;积的幂等于幂的积(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循:乘相加,除相减,幂相乘根式与分数指数幂的互化例 1 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ( x)12(x0) B. y13(y0) D x1-3 (x0)4(1x)3 3x(2)用分数指数幂的形式表示下列各式: a2 (a0);a (a0);aa (x0, y0)y2x x3y3y6x3解 (1)选 C x12(x0);x( y2)16 y 3 (y0);4(1x)3