1、113.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性提出问题观察下列函数图象：问题 1：从图象上看，自变量 x 增大时，函数 f(x)的值如何变化？提示：甲图中，函数 f(x)的值随 x 增大而增大乙图中，函数 f(x)的值随 x 增大而减小丙图中，在 y 轴左侧，函数 f(x)的值随 x 的增大而减小；在 y 轴右侧，函数 f(x)的值随 x 的增大而增大问题 2：甲、乙图中，若 x1f(x2)问题 3：丙图中，若 x10， x1 x20.212 f(x1) f(x2)0， x2 x10， x x 0.212 f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)函数 f(x) 在(0，)上是
2、减函数1x2类题通法利用定义证明函数单调性的步骤活学活用求证：函数 f(x) 在其定义域上是减函数x证明： f(x) 的定义域为0，)x设 0 x1 x2，则 x1 x20，且 f(x2) f(x1)( )( )x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2x1 x2 .x1 x2x1 x2 x1 x20， 0，x1 x2 f(x2) f(x1)0，即 f(x2) f(x1) f(x) 在它的定义域0，)上是减函数.x由函数的单调性求参数的取值范围例 3 (1)已知 y f(x)在定义域(1,1)上是减函数，且 f(1 a)2a1，即 a0.因为函数 f(x)ax6 x22 ax 的图象开口向
3、下，对称轴为直线 x a，且函数 f(x)在区间1,2上为减函数，所以 a1.故满足题意的 a 的取值范围是(0,14.研 究 函 数 的 单 调 性 易 忽 视 定 义 域典例 已知 f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且 f(x2)x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域成功破障函数 y 的单调递增区间为_x 1解析： x10， x1，函数 y 的单调递增区间为1，)x 1答案：1，)随堂即时演练71下列函数中，满足“对任意 x1， x2(0，)，都有 0”的是( )f x1 f x2x1 x2A f(x) 2xB f(x)3 x1C f(x) x24 x3 D f(x) x1x解析：选
4、 C 0f(x)在(0，)上为增函数，而 f(x) 及 f(x)f x1 f x2x1 x2 2x3 x1 在(0，)上均为减函数，故 A，B 错误； f(x) x 在(0,1)上递减，在1x1，)上递增，故 D 错误； f(x) x24 x3 x24 x41( x2) 21，所以 f(x)在2，)上递增，故只有 C 正确2函数 f(x)| x|， g(x) x(2 x)的递增区间依次是( )A(，0，(，1 B(，0，(1，)C0，)，(，1 D0，)，1，)解析：选 C 分别作出 f(x) 与 g(x)的图象(图略)得： f(x)在0，)上递增， g(x)在(，1上递增，选 C.3已知函数
5、 f(x)是(0，)上的减函数，则 f(a2 a1)与 f 的大小关系是(34)_解析： a2 a1 2 0，(a12) 34 34又 f(x)是(0，)上的减函数， f(a2 a1) f .(34)答案： f(a2 a1) f(34)4已知函数 f(x) x22(1 a)x2 在(，4上是减函数，则实数 a 的取值范围为_解析： f(x) x22(1 a)x2 x(1 a)22(1 a)2， f(x)的单调递减区间是(，1 a又函数 f(x)在(，4上是减函数，1 a4，即 a3.所求实数 a 的取值范围是(，38答案：(，35求证：函数 y 在区间(1，)上为单调减函数1x 1证明：任取
6、x1， x2(1，)，且 x1x11， x110， x210， x2 x10， 0，x2 x1 x1 1 x2 1 y1y2，函数 y 在区间(1，)上为单调减函数1x 1课时达标检测一、选择题1若函数 f(x)在区间( a， b)上是增函数，在区间( b， c)上也是增函数，则函数 f(x)在区间( a， b)( b， c)上( )A必是增函数 B必是减函数C是增函数或减函数 D无法确定单调性解析：选 D 函数在区间( a， b)( b， c)上无法确定单调性如 y 在(0，)上1x是增函数，在(，0)上也是增函数，但在(，0)(0，)上并不具有单调性2设( a， b)，( c， d)都是
7、f(x)的单调增区间，且 x1( a， b)， x2( c， d)， x1f(x2)C f(x1) f(x2) D不能确定解析：选 D 根据单调函数的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变量，才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小，而本题中的 x1， x2不在同一单调区间，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定，选 D.3设 f(x)(2 a1) x b 在 R 上是减函数，则有( )A a B a12 12C a D a3 时， f(x)2，则当3f(0)33 a；当 x0 时，函数 f(x) x2 a 为二次函数，也为减函数，且有 f(x) f(0) a.要使函
8、数 f(x)在 R 上为减函数，则有 a33 a，解得 a .所以 a 的取值范围是34.( ，3410已知函数 f(x) .1x2 1(1)设 f(x)的定义域为 A，求集合 A；(2)判断函数 f(x)在(1，)上的单调性，并用定义加以证明解：(1)由 x210，得 x1，所以函数 f(x) 的定义域为1x2 1A xR| x1(2)函数 f(x) 在(1，)上单调递减1x2 1证明：任取 x1， x2(1，)，设 x10， y y2 y1 ，1x2 1 1x21 1 x1 x2 x1 x2 x21 1 x2 1 x11， x21， x 10， x 10， x1 x20.21 2又 x1x2，所以 x1 x20，故 y0.因此，函数 f(x) 在(1，)上单调递减1x2 111讨论函数 f(x) x (a0)的单调性ax解： f(x) x (a0)ax定义域为 x|xR，且 x0，可分开证明，设 x1 x20，则 f(x1) f(x2) x1 x2ax1 ax2
