1、3.1.1 两角差的余弦公式学习目标：1了解两角差的余弦公式的推导过程2理解用向量法导出公式的主要步骤3熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算学习重点：通过探索得到两角差的余弦公式学习难点：通过简单运用，初步理解公式的结构及其功能一知识导学：两角差的余弦公式C()：cos()_，其中 、 为任意角.二探究与发现【探究点一】两角差余弦公式的探索问题 1 有人认为 cos()cos cos ，你认为正确吗，试举两例加以说明问题 2 请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想cos 45cos 45sin 45sin 45_；cos 60cos 30si
2、n 60sin 30_；cos 30cos 120sin 30sin 120_；cos 150cos 210sin 150sin 210_.猜想：cos cos sin sin _；即：_.【探究点二】两角差余弦公式的证明如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以 Ox 为始边作角 与 ，设它们的终边分别与单位圆相交于点 P，Q，请回答下列问题：(1)P 点坐标是 _ ，向量 _，| |_.OP OP Q 点坐标是_ ，向量 _，| |_.OQ OQ (2)当 为钝角， 为锐角时， 和向量 与 的夹角 ， 之间的关系是：OP OQ OP OQ _ ；当 为锐角， 为钝角时， 和向量 与 的夹角 ，
3、之间的关系是： OP OQ OP OQ _ ；当 ， 均为任意角时， 和 ， 的关系是：OP OQ _.(3)向量 与 的数量积 | | |cos ， OP OQ OP OQ OP OQ OP OQ _ ；另一方面， 与 的数量积用点坐标形式表示：OP OQ (cos ，sin )(cos ，sin )_ 从而，对任OP OQ 意角 ， 均有 cos( )cos cos sin sin .【探究点三】 两角差余弦公式的应用根据两角差的余弦公式 cos()cos cos sin sin 解答下列问题，体验公式的正向、逆向应用的灵活选择问题 1 写出下列式子的化简结果：(1)cos 80cos 2
4、0sin 80sin 20_；(2)sin sin()cos cos()_ ；(3)sin 57cos 63cos 57sin 63_.问题 2 利用公式 cos()cos cos sin sin ，证明下列诱导公式：(1)cos(x)cos x；(2)cos sin x.(32 x)【典型例题】例 1 求下列三角函数式的值(1)sin ； (2)cos 15cos 105sin 15sin 105；12(3)cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)跟踪训练 1 求 cos 105sin 195的值例 2 已知 ， 均为锐角，sin ，cos() ，求 cos 的值817 21
5、29跟踪训练 2 设 cos ，sin ，其中( 2) 19 ( 2 ) 23 ， ，求 cos .( 2， ) (0， 2) 2例 3 已知 cos ，cos() ，且 、 ，求 的值17 1114 (0， 2)跟踪训练 3 已知 cos() ，cos() ，且1213 1213 ， ，( 2， ) (32， 2 )求角 的值三、巩固训练：1设 ，若 sin ，则 cos 等于 ( )(0， 2) 35 2 ( 4)A. B. C. D.75 15 75 152cos 15sin 15_.3已知 sin sin ，cos cos ，求 cos()的值35 454已知锐角 、 满足 cos ，tan() ，求 cos .45 13四、课堂小结;1给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角” ，使“目标角”换成“已知角” 注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2 “给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找区间)；确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
