1、3.4 基本不等式:(第 2课时)学习目标1.进一步掌握基本不等式(a0,b0).2.会用基本不等式解决简单最大(小)值问题.3.会应用基本不等式解决一些简单的实际问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题 1:用篱笆围成一个面积为 100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少?问题 2:用长为 4a的篱笆围成一个矩形菜园 ABCD,怎样设计矩形菜园的长和宽,才能使所围成的菜园面积最大?二、信息交流,揭示规律师生交流 1:解答这两道题使用的是什么数学工具?你是怎样想到的?这个式子使用时应该注意什么问题?你是直接使用的基本不等式吗?我们前面学习了函数、数列等知
2、识时,也用来解决过实际问题,用基本不等式解决实际问题的步骤是什么呢?三、运用规律,解决问题【例题】用长为 4a的篱笆围成一个“日”字形菜地,一块种萝卜,另一块种茄子,如何设计才能使总面积最大?师生交流 2:“日”字形菜地的总面积的表达式是什么?可以设几个变量?师生交流 3:为什么写不下去了呢?那是不是不能用基本不等式求最值了呢?那怎么求最值呢?等号右边为什么不是定值呢?有没有办法解决这个问题呢?师生交流 4:应用基本不等式求最值时,应满足什么条件?具体情形是怎样的?不满足定值时可采取什么办法?除取定值外,还必须满足什么条件?四、变式训练,深化提高变式训练 1:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,
3、其容积为 4800m3,深为 3m.如果池底每平方米的造价为 150元,池壁每平方米的造价为 120元,怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少?师生交流 5:这个水池总造价的表达式是什么?水深为 3m,容积为 4800m3,池底面积为多少?池壁面积怎样用数学表达式表达?变式训练 2:已知函数 f(x)=x+.(1)当 x0,2a-x0,所以矩形的面积为 S=x(2a-x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2.由此知当 x=a时,S 最大为 a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为 a2.方法二:由方法一得出 S=x(2a-x),因为=a,所以 Sa 2,当且仅当 x=2a-x,即 x=
4、a时,S max=a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为 a2.方法三:由方法一得出 S=x(2a-x)=a 2.下同方法二.方法四:设矩形的长为 x,宽为 y(x0,y0),则 2x+2y=4a,即 x+y=2a.面积 S=xy=a 2,当且仅当 x=y,又 x+y=2a,即 x=y=a时,等号成立,S max=a2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为 a2.师生交流 1:;基本不等式;因为问题中涉及两个变量,这两个变量表达的条件和结论符合基本不等式的特征;等号成立的条件;问题 2用到的是基本不等式的变形公式和 ab;设出两个变量,用变量表示条件和目标函数,求最值,作答)三、运用规律,解决
5、问题师生交流 2:面积=总长宽;两个或一个.学生探究尝试:学生甲:设 AB=x,则 AD=,00,y0,则 2x+3y=4a,所以菜园的总面积 S=xy=(2x)(3y)a 2.当且仅当 2x=3y时,等号成立.又 2x+3y=4a,所以 x=a,y=.此时 AB=x,AD=.答:当长为 a,宽为 a时菜园总面积最大.师生交流 4:必须有定值.和 a+b为定值时,积 ab有最大值;积 ab为定值时,和 a+b有最小值.配凑法.取等号的条件:当且仅当 a=b时,.四、变式训练,深化提高师生交流 5:总造价=池底单价池底面积+池壁单价池壁面积;1600m2;池壁面积=2池底长高+2池底宽高.变式训练 1:解:设底面的长为 x m,宽为 y m,水池的总造价为 z元,根据题意,得z=150+120(23x+23y)=+720(x+y),由容积为 4800m3,可得 3xy=4800.因此 xy=1600.由基本不等式与不等式的性质,可得+720(x+y)+7202,即 z+7202,z.当且仅当 x=y=40时,等号成立.答:将水池的地面设计成边长为 40m的正方形时总造价最低,最低总造价是元.变式训练 2:(1)-1 (2)五、反思小结,观点提炼1.审题建模解模检验(审题最重要).2.一正、二定、三相等,缺一不可.3.两种类型,求最大值和求最小值.
