1、双基限时练(十八) 平面向量基本定理一、选择题1设 e1， e2是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是( )A e1 e2与 e1 e2 B2 e13 e2与 4e16 e2C e12 e2与 2e1 e2 D e1 e2与 e2解析 4 e16 e22(2 e13 e2)，2 e13 e2与 4e16 e2共线，即不能作为基底答案 B2在梯形 ABCD 中， AB CD，且 3 ，若 a， b，则 等于( )AB DC AB AD AC A3 a b B a3 bC. a b D a b13 13解析 b a.AC AD DC AD 13AB 13答案 C3设 e
2、1， e2为基底， e1 ke2， 2 e1 e2， 3 e13 e2，若 A， B， D 三点共AB CB CD 线，则 k 的值为( )A. 2 B. 3C. 2 D. 3解析 3 e13 e2(2 e1 e2) e12 e2，又 A， B， D 三点共线，BD CD CB ( e1 ke2) (e12 e2)，即Error! k2.答案 A4在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 2 ， ，则 等于( )AD DB CD 13CA CB A. B.23 13C D13 23解析 2 ， ，AD DB AD 23AB 故 ( ) ， .CD CA 23AB CA 23CB CA
3、23CB 13CA 23答案 A5已知 e1， e2是平面 内不共线向量，下列说法错误的是( ) e1 e2( ， R)可表示平面 内的所有向量；若实数 ， ，使 e1 e20，则 0；对于平面 内任一向量 a，使 a e1 e2的实数 ， 有无数对；若 1e1 1e2与 2e1 2e2共线，则有且只有一个实数 ，使 2e1 2e2 ( 1e1 1e2)A BC D解析 正确，错误答案 B6如图，过 ABC 的重心作一直线分别交 AB， AC 于点 D， E，若 x， ， y (xy0)，则 的值为( )AD AB AE AC 1x 1yA. 4 B. 3C. 2 D. 1解析 欲求 的值，可
4、依据题设建立关于 x， y 的等式(方程思想)1x 1y因为 D、 G、 E 三点共线，所以 ，DE DG 又 x ， y ， .故可得 y xAD AB AE AC AG 23AF 2312 AB AC 13AB 13AC AC AB ，整理得(13AB 13AC xAB ) x ， y ，消去 得 3，故选 B.(13 x) 13 1x 1y答案 B7.如图，| | |1，| | ， AOB60， ，设 x y ，则 x， yOA OB OC 3 OB OC OC OA OB 的值分别为( )A x2， y1B x2， y1C x2， y1D x2， y1解析 过 C 作 CD OB 交
5、AO 的延长线于 D，连接 BC，由| |1，| OC| ， OB OC，OB 3知 COD30， BC OD，又 2 ，故 x2， y1，答案为 B.OC OD OB OA OB 答案 B二、填空题8在矩形 ABCD 中，若 6 e1， 4 e2， O 为对角线 AC 与 BD 的交点，则BC DC _.OC 解析 在矩形 ABCD 中 6 e1， 4 e2，又 2 6 e14 e2，AD BC AB DC AC OC AB AD 3 e12 e2.OC 答案 3 e12 e29设 G 为 ABC 的重心， O 为坐标原点， a， b， c，试用 a， b， c 表示OA OB OC _.O
6、G 解析 ( )OG OC CG OC 13CA CB ( )OC 13OA OC OB OC (a b c)13答案 (a b c)1310已知 a， b 是两个不共线的向量，若它们起点相同， a， b， t(a b)三向量的终点12在一直线上，则实数 t_.解析 如图， a， b， t(a b)三向量的终点在一直线上12存在实数 使 t(a b) b 得( t )a b.12 (a 12b) (12 12 t)又 a， b 不共线， t 0 且 t0，解得 t .12 12 13答案 13三、解答题11已知三向量 a e13 e22 e3， b4 e16 e22 e3， c3 e112 e
7、211 e3.问 a 能否表示成 a 1b 2c 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由解析 a 若能表示成 a 1b 2c 的形式，则有 e13 e22 e3(4 13 2)e1(6 112 2)e2(2 111 2)e3.令4 13 21，6 112 23，可得 1 ， 2 ，而此时恰好能保证110 152 111 22，所以 a b c.110 1512梯形 ABCD 中， AB CD， M， N 分别是 DA， BC 的中点，且 k，设DCAB e1， e2，试以 e1， e2为基底表示向量 ， ， .AD AB DC BC MN 解 e2，且 k， k ke2.AB DCAB D
8、C AB 0，AB BC CD DA BC AB CD DA AB DC AD e1( k1) e2.又 0，MN NB BA AM 且 ， ，NB 12BC AM 12AD MN AM BA NB e2.12AD AB 12BC k 1213已知，在 ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在 AC 上且 AN2 NC， AM 交 BN 于 P 点，求 AP 与 AM 的比值解 设 a， b，BM CN 则 a3 b， 2 a b.AM AC CM BN A， P， M 和 B， P， N 分别共线，存在实数 ， 使 a3 b， 2 a b.AP AM BP BN 故 ( 2 )a(3 )b.BA BP AP 又 2 a3 b，BA BC CA 由平面向量基本定理得Error!解得Error! AP 与 AM 的比为 4:5.
