1、第二章测试(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(51050 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在 ABC 中，若 sinAsinB，则 A 与 B 的大小关系是( )A AB B AsinB 知 ab，由三角形大边对大角知 AB.答案 A2在 ABC 中， A、 B 均为锐角，sin A ，cos B ，则 cosC 的值为( )45 1213A. B.1665 3665C D1665 1665解析 由 sinA ， A 为锐角，cos A ，由 cosB ，sin B ，cos Ccos( A B)45 35 1213 513cos AcosBsin As
2、inB .1665答案 C3在 ABC 中， a ， b ， A30，则 B 等于( )5 15A30 B60C120 D60或 120解析 由正弦定理 ，sin B .asinA bsinB 32又 ba， B60或 B120.答案 D4在 ABC 中，sin 2Asin 2Csin 2Bsin AsinB，则 C 为( )A60 B45C120 D30解析 由正弦定理得 a2 b2 c2 ab，整理得 ，cos C .a2 b2 c22ab 12 12又 C 为三角形内角， C60.答案 A5在 ABC 中， B60， b2 ac，则 ABC 一定是( )A锐角三角形 B钝角三角形C等腰三
3、角形 D等边三角形解析 由余弦定理， b2 a2 c22 accosB a2 c2 ac ac，即( a c)20， a c.又 B60， ABC 为等边三角形答案 D6在 ABC 中， A60， a ，则 ( )3a b csinA sinB sinCA2 B.12C. D.332解析 由正弦定理可知 2.a b csinA sinB sinC asinA 332答案 A7三角形某两边之差为 2，且夹角的余弦值为 ，面积为 14，那么这个三角形的这两35边长分别是( )A3 和 5 B4 和 6C6 和 8 D5 和 7解析 设这两边为 x， x2.由题意可得 S x(x2)sin x(x2
4、) 14，12 12 45得 x5，或 x7(舍)，故选 D.答案 D8在 ABC 中，已知 sinC2sin( B C)cosB，那么 ABC 一定是( )A等腰直角三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等边三角形解析 由题可知，sin Csin AcosBcos AsinB2sin AcosB，sin( A B)0， A B. ABC 为等腰三角形答案 B9在 ABC 中， b8， c8 ， S ABC16 ，则 A( )3 3A30 B60C30或 150 D60或 120解析 S ABC bcsinA16 ，12 3即 32 sinA16 ，sin A .3 312又 A 为三角形的内角
5、， A30，或 A150.答案 C10甲船在岛 A 的正南 B 处，以 4 km/h 的速度向正北航行， AB10 km，同时乙船自岛 A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A. min B. h1507 157C21.5 min D2.15 h解析 如图所示，过 t 小时，甲船到达 D 点，CD 10 4t 2 6t 2 2 10 4t 6tcos120 .28t2 20t 100当 t 时，甲、乙两船相距最近，20228 514 t 60 min.514 1507答案 A二、填空题(5525 分)11在 ABC 中， AC
6、 ， BC2， B60，则 A_；6AB_.解析 ，2sinA 6sin60sin A .又 BCsinB，判断 ABC 的形状解 cos AsinB，sin( A)sinB. 2 A ， A .(0， 2) 2 (0， 2) B ，(0， 2)且 ysin x 在 上为单调增函数，(0， 2) AB， A B ，知 CA.32 45cos A .35cos Bcos( A C)sin AsinCcos AcosC .43 31019(13 分)已知角 A、 B、 C 为 ABC 的内角，其对边分别为 a、 b、 c，若向量 m， n ， a2 ，且 mn ， ABC 的面积 S ，求 b c
7、( cosA2， sinA2) (cosA2， sinA2) 3 12 3的值解 m ， n ，且 mn ，cos 2 sin 2 .( cosA2， sinA2) (cosA2， sinA2) 12 A A 12即 cosA .又 0A， A .12 23 S bcsinA bcsin bc ，12 12 23 34 3 bc4.由余弦定理，得 a2 b2 c22 bccosA b2 c2 bc12，( b c)216，故 b c4.20(13 分)在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，设 S 为 ABC 的面积，满足 S (a2 b2 c2)34(1)求角 C
8、 的大小；(2)求 sinAsin B 的最大值解 (1)由题意得 absinC 2abcosC，12 34tan C .又 C 为 ABC 的内角，3 C . 3(2) C ， 3sin Asin Bsin Asin (23 A)sin A cosA sinA32 12 sin .3 (A 6) 3当 A ，即 ABC 为等边三角形时取等号 3sin Asin B 的最大值为 .321(13 分)已知向量 m(cos ，1)， n( sin ，cos 2 )记 f(x) mn，在 ABCx4 3 x4 x4中，角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，且满足(2 a c)cosB bcosC，求函数 f(A)的取值范围解 (2 a c)cosB bcosC，由正弦定理得(2sinAsin C)cosBsin BcosC.2sin AcosBsin CcosBsin BcosC.2sin AcosBsin( B C) A B C，sin( B C)sin A，且 sinA0.cos B ，则 B ，0 A .12 3 23 ， sin 1. 6A2 6 2 12 (A2 6)又 f(x) mnsin ，(x2 6) 12 f(A)sin .(A2 6) 12故函数 f(A)的取值范围是 .(1，32)
