1、多多指教！1电力变压器铁心柱截面的优化设计摘要本文针对电力变压器铁心柱截面的优化设计进行分析并建模。全面考虑制造工艺的要求以及几何约束，建立多组限制条件，构建非线性最优化模型。结合题目借助于 Lingo 软件并运用图解法、最大值法、二分极大值法对问题作出解答。在模型准备中，确定叠片系数为常数。问题一，在不考虑油道的情况下，建立铁心柱最大有效截面积最优化模型，并对给定外接圆直径 650mm 的情况，得出不涉及生产成本时的最优解n=14,最大有效截面积 311117.6 。2问题二，在不考虑油道的情况下，分析非线性最优化模型最优解和直径的关系，使用最大值法找到填充系数最大时的直径，并使用图解法获得
2、外接圆直径公差带可选择范围，线圈内筒直径公差带再据此进行调整。问题三，在考虑油道的情况下，建立有油道的改进模型，提出 n 最大准则和累积面积平滑性准则，通过累积面积先确定油道可选位置，从中选出最佳油道位置，再利用模型求出最佳解，重解问题一得：第一油道的位置位于 1、2 级硅钢片之间，第二油道的位置位于 4、5 级硅钢片之间时，铁心柱取得最大有效截面积 306117.6 , 此时的有效截面利用率为20.937559，并进行检验。重解问题二时提出了二分极大值法，计算便捷。最后，进行灵敏度分析和模型评价。关键字：非线性最优化 公差带 油道 填充系数 目录电力变压器铁心柱截面的优化设计 1摘要 .1目
3、录 .21. 问题重述 .32. 问题分析 .53. 模型假设 .54. 符号说明 55. 模型建立与求解 .64.1 问题一:求解铁心柱的最大有效截面积 .64.1.1 模型建立： .64.1.2 模型说明： .64.1.3 问题一的求解： .74.2 问题二:铁心柱截面公差带的设计 .84.2.1 模型建立： .84.2.2 问题二的求解： .8算法一：最大值法 8算法二：图解法 94.3 问题三:增加油道设计 .104.3.1 模型建立： .104.3.2 模型说明： .114.3.3 准则一： .114.3.4 油道位置的确定： .124.3.5 准则二： .134.3.6 重解问题一
4、： .144.3.7 重解问题一的检验： .144.3.8 重解问题二： .15算法一：图解法 15算法二：二分极大值法 166. 灵敏度分析 165.1 宽度基数限制 N 的变化对模型结果的影响 .165.2 的变化对模型结果的影响 .177. 模型评价 178. 模型推广 .189. 参考文献 1810. 附录： 1810.1 求解 4.1.3 时的 程序: .1810.2 附表 1: 1931. 问题重述电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。现以心式铁心柱为例进行优化设计，力求在提高使用效果的同时降低变压器的成本。
5、电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图 1 所示。截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为 5 的倍数（单位：毫米） 。因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为 26 毫米，硅钢片的宽度最小为 20 毫米。铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关。设计时希望有效截面尽量
6、大，既节省材料又减少能量损耗。显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。但这样制造也工艺复杂，一般情况下铁心柱的级数可参照题中所给表 1 进行选取。问题一：当铁心柱外接圆直径为 650 毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。问题二：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。问题三：铜导线在电流流过时发
7、热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。为了改善铁心内部的散热，铁心柱直径为 380 毫米以上时须设置冷却油道。简单地说，就是在某些相邻阶梯形之间留下 6 毫米厚的水平空隙（如图 2 所示） ，空隙里充满油，变压器工作时油上下循环带走铁心里的热量。具体油道数可按表 2 选取。油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。分别针对问题一和问题二的情况，在增加油道的情况下再给出设计，同时指出油道的位置。2. 问题分析对于题目提出的问题一，在不增加油道的情况下，建立常规非线性规划的数学模型，可以得出结果。对于问题二，在不增加油道的情况下，需要分析非线性最优
8、化模型最优解和直径的关系，找出公差带，这时可以先以问题一中所给外接圆直径 650mm 为例。对于问题三，增加了油道设计，也增加了难度，我们可以先确定油道的位置，然后以填充系数为评价指标，去重解问题一和问题二。3. 模型假设1. 本文只对心式铁心柱的优化设计进行研究。2. 心式铁心柱截面在圆形线圈筒内上下、左右成严格轴对称。3. 假设不同级硅钢片之间的压紧程度相同，各级硅钢片的平整度与表面的绝缘漆膜厚度相同且对叠片系数影响不大。4. 本文只讨论在一般情况下，铁心柱截面级数和冷却油道数按照所给经 验数据进行选择。5. 假设设计时线圈内筒和铁心柱之间间隙给定。6. 硅钢片的宽度数值上严格等于 5 的
9、倍数（单位：mm） 。7. 假设硅钢片下油道的宽度近似等于硅钢片的宽度。4.符号说明第 级硅钢片的宽度 叠片系数每级硅钢片的最小宽度铁心柱有效截面面积铁心柱截面的填充系数 油道的厚度时， 表示半圆内第 -1 级油道与第 级油道之间 当 =2, 的截面面积, 表示一级油道之间的截面面积, 表示半圆1 +1内第 级油道与较短圆弧之间的截面面积第 级硅钢片的厚度 5铁心柱外接圆的直径 第一级硅钢片的最小厚度1硅钢片的最大级次半圆中油道个数第 级油道所在的上硅钢片的级次 油道分割相邻两部分柱截面积的最大容许误差 油道分割相邻两部分柱截面积的最大容许误差百分比 铁心柱截面外接圆的面积 (其他符号在使用时
10、说明)5. 模型建立与求解4.1 问题一:求解铁心柱的最大有效截面积4.1.1 模型建立：铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积乘以叠片系数。在不考虑油道和间隙的情况下，铁心柱的几何截面积为多级梯形硅钢片的几何面积之和，叠片系数在生产实际中一般取为一定值。显然，铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下几何截面愈大，有效截面也愈大。设计时，为达到既节省材料又减少能量损耗的目的，总希望有效截面尽量大，因此，可建立如下的非线性最优化模型：=22+11 . 5 (=1,2,) (1) +1 (=1,2,1) (2) 11 (4) (=1,2,) (5)1+2 =215根据国际电工
11、委员会标准，取硅钢片的叠片系数 =0.971 。因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级硅钢片的最小厚度 26mm, 每级硅钢片的最小宽度1=20mm。借助 进行求解，通过确定硅钢片的级数 n，得到相 Lingo11.0应的解 单位:=(1,2,) 单 位 :,=(1,) 单 位 :,2计算机求解结果如下表所示：表 2.铁心柱截面优化设计n 12 13 14 n 12 13 141 640 640 640 1 113.5782 113.5782 113.578272 620 620 625 2 40.80702 40.80702 32.478773 59
12、0 595 600 3 38.78571 33.24253 35.732144555 565 575 4 32.78895 29.8435 26.554455 520 535 545 5 25.82923 23.89508 25.557816480 500 515 6 24.14607 23.08838 21.177317 435 460 480 7 22.34668 21.95365 20.856518385 415 440 8 20.3636 20.51821 20.07149 330 365 395 9 18.14365 18.78399 18.8886110270 315 350 10
13、 15.63491 15.36493 15.755211 200 255 300 11 13.59801 14.65968 14.4527912115 190 245 12 10.6401 11.85933 12.7154213 - 110 180 13 - 9.506942 11.2604514- - 105 14 - - 8.441656表 3.不同级数下的最大有效截面积n 12 13 14S 309354.3 310325.1 311117.6比较以上数据可以看出，当 =650mm， =0.97 时，级数越多，铁心 柱的最大有效截面积越大。这与实际是相符的，因为在外接圆直径一定的情况下，
14、当级数越多时，铁心柱截面越接近圆形，但同时也增加了制造工艺的复杂程度。对于问题一，只希望有效截面积最大，故选择 14 级是最优的，此时的最优有效截面积为 311117.6 ，各级硅钢片的宽度和厚度2如表 2 所示。4.2 问题二:铁心柱截面公差带的设计4.2.1 模型建立：实际生产中，线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径并不是精确地相等，而是留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带在设计铁心截面时，稍微增加铁心柱的外接圆的直径可以使得铁心柱有更好的截面形状，同时，截面的利用率也获得了一定程度的提高。我们设:铁心柱外接圆直径的公差带为 ,线圈内筒直径的公差带,为 .
15、,此处公差带的设计要求，应尽量取得较大的有效截面利用率，因此，在 4.1.1 建立的模型的基础上，不改变约束条件，修改目标函数为=22+11 建立一个非线性最优化模型，其中 表示铁心柱的有效截面利用率，目标函数表示取得最大有效截面利用率。4.2.2 问题二的求解：算法一：最大值法在实际零件生产中，根据国家标准 GB/T1804-20002 ，孔和轴的常用公差带存在极限偏差等级。在间隙较小的间隙配合中，孔的标准公差应不低于 8 级(14 140 )；轴通常不低于 7 级(10 90 )。 在相应的半径范围内，有效截面利用率 的最大值点不会发生突变，这是由于公差带的范围很小，即铁心柱外接圆直径的的
16、变化范围很小，有效截面利用率 对 D 的偏导 在相应半径附近内存在且连续，因此我们可以选取最大值点对应的 附近 2 等级带作为公0(设为 中心直径 ) 范 围 内的差带 。以给定最初铁心柱外接圆直径 120mm 为例，我02,0+2们不妨取线圈与铁心柱之间的间隙为 0.1mm,通过计算可得中心直径，查附表 1 得轴的 =0.000040mm,孔的0=124.366740 2=0.000063mm,故铁心的外接圆直径的公差带为2,线圈内径的公差带为124.366700,124.366780T124.466677mm,124.466803mm。算法二：图解法当实际中公差带的选择范围较大时，解法一已
17、不再适用，我们可以利用图解法，做出有效截面利用率 的最大值随直径变化的曲线，再通过观察分析从中找出 较大且曲线变化较平稳的变化带，将这个变化带作为公差带取值的有效范围，具体情况依实际而定。以问题一为例，当外接圆直径在 647.6mm 和 655mm 之间变化时，借助计算机可以得到相应的最大有效截面利用率，绘制如图 3 所示：9A B647 648 649 650 651 652 653 654 655 6560.9280.930.9320.9340.9360.938图 3 铁心柱的最大有效截面利用率在直径为 650mm 附近的变化曲线由图 3 可知，AB 之间曲线变化较平稳且有效截面利用率较大
18、，此段的外接圆直径取值也越靠近 650mm，因此可作为铁心柱外接圆直径公差带取值的有效范围。从图 3 中读取 A 点坐标 (651.8mm,0.9374215)，B 点坐标(653.2mm,0.9374632) ，现举例说明如何由图确定公差带，若需要1mm 宽的公差带，我们可以选择中心直径 左右各 0.5mm 的0=652.5直径范围，即此时的铁心柱外接圆直径公差带为 ，652.0,653.0再根据铁心柱外接圆的直径公差带对线圈内筒直径公差带进行调整。4.3 问题三:增加油道设计4.3.1 模型建立：为了改善铁心内部的散热，在实际变压器设计中，当铁心柱直径为380mm 以上时须设置冷却油道。冷却油道就是在某些相邻阶梯形之间留下 6mm 厚的水平空隙,空隙里充满油，变压器工作时油上下循环带走铁心里的热量。油道的位置安排的要求是，应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。在增加油道的情况下，我们将铁心柱截面的填充系数作为一项重要的评价指标，填充系数的定义为有效截面积与外接圆面积的比值，现建立如下的改进模型： =22+11(2)2. =2+2 (1)24+(12+ =2)224 , 1124+(12+1=+)224 ,20);(1)26;() | # 14 : () (+1) );():()=5();():();10.2 附表 1:
