1、第 30 课 圆的有关性质知识点圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质大纲要求1 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；2 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；3 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的 2 倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直
2、线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；4 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的 2 倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；5 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题；6 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦在“过圆心”“垂直于另一条弦”“平分这另一条弦”“平分这另一条弦所对的劣弧”“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当为条件时要
3、对另一条弦增加它不是直径的限制） ，条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的 10 条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有 4 组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。考查重点与常见题型1 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（ ）(A)相等
4、的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦 (C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴2 论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。此种结论的证明重点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。考点训练：1在ABC 中，C=90，AB3cm，BC2cm,以点 A 为圆心，以 2.5cm 为半径作圆，则点C 和A 的位置关系是（ ）(A)C 在A 上 (B)C 在A 外 (C)C 在A 内 (D)C 在A 位置不能确定。2一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距
5、离为 5cm,则圆的半径为( )(A)16cm 或 6cm, (B)3cm 或 8cm (C)3cm （D）8cm3.如图，弦 AC，BD 相交于 E，且 AB，BC，CD 的弧长相等，AED30，则AED 的度数是（ ）(A)150 (B) 105 (C) 120 （D） 1404.在ABC 中，C=90，O 是 BC 上的一点，以 OB 为半径作O 交于 AB 于 D，交 BC 于 E，A=30BD=6，则O 的直径是( )(A)12 (B) 9 (C) 6 （D)35AB 是O 直径，AB=4，F 是 OB 中点，弦 CDAB 于 F，则 CD=_6ABC 内接于O，ODBC，BOD36
6、，则A7圆内接ABC 中，ABAC，圆心到 BC 的距离为 3cm，圆的半径为 7cm，则腰长AB8四边形 ABCD 内接于圆，AB，BC，CD，DA 的弧长之比为 5：8：3：2 则ABC9如图，O 中两条不平行弦 AB 和 CD 的中点 M，N.且 ABCD， 求证：AMNCNM10如图，四边形 ABCD 内接于O，ADC90，B 是弧 AC 的中点，AD20，CD15,求BD 的长。解题指导。1如图，O 1的圆心在O 的圆周上，O 和O 1交于 A，B，AC 切O 1于 A，连结 CB，BD是O 的直径，D40求：A O 1B、ACB 和CAD 的度数。2如图，AB 是O 直径，EDAB
7、 于 D，交O 于 G，EA 交O 于 C，CB 交 ED 于 F，求证：DG2DEDF3如图，O 是ABC 外接圆，ADBC 于 D，交O 于 N，AE 平分BAC 交O 于 E，求证：AE 平分OAD4已知，如图 O 为圆心，AOB120，弓形高 ND2cm，矩形 EFGH 的两顶点 E，F 在弦AB 上，H，G 在弦 AB 上，且 EF4HE，求 HE 的长。独立训练：1三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（ ）（A） 锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）等腰三角形2边长为 2 的等边三角形的外接圆的半径是（ ）（A） （B） （C）2 （D）3 33，圆内接四边形
8、ABCD 中，四个角的度数比可顺次为（ ）（A）4：3：2：1 （B）4：3：1：2 （C）4：2：3：1（D）4：1： 3：24AB 是O 的弦，AOB80则弦 AB 所对的圆周角是（ ）(A)40 (B) 140或 40 (C) 20 （D）20或 1605AB 是O 的弦，C 为O 上的一点，弧 AC，CB 的长比是 1：2，弦 BC12cm,则O 半径为cm6O 直径为 8，弦 AB4 ，则AOB。27圆的半径为 2cm，圆内一条弦长为 2 cm，则弦的中点与弦所对弧的中点间的距离为3，这条的弦心距为8已知O 中，半径 OD直径 AB，F 是 OD 中点，弦 BC 过 F 点，若O 半径为 R 则弦 BC 长9如图，ABC 内接于O，且 BC 是O 的直径，ADBC 于 D，F 是弧 BC 中点，且 AF 交 BC于 E，AB6，AC8，求 CD，DE，及 EF 的长。10如图，弦 EF直径 MN 于 H，弦 MC 延长线交 EF 的反向延长线于 A，求证：MAMCMBMDD CBAFAO NEH
