1、第三十四课时函数模型及其应用（2）【学习导航】 知识网络 学习要求 1能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题，2提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.自学评价1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息 （就是人们常说的“利滚利” ） 设本金为 ，每期利率为 ，存期为 ，则本金与利息和 prx(1)xypr2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金设本金为 ，每期利率为 ，存pr期为 ，则本金与利息和 ()3在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为 ，平均增N长率为 ，则对于时间 的总产值 ，可以用公式 表示pxy
2、1xy【精典范例】例 1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 ,经过OT一定时间 后的温度是 ,则tT,1()(2thaoaT其中 表示环境温度, 称为半衰期.aTh现有一杯用 热水冲的速容咖啡,放在 的房间中,如果咖啡降到 需要8c 4c 40c,那么降温到 时,需要多长时间?20min35【解】由题意知 ,即 ,解之,得 ,故 201402()h201()h1,048tT当 时,代入上式, 得35T,10352()(2t即 ， 两边取对数,10()264t用计算器求得 .t待定系数法服务函数模型（指、对数）实际问题（增长率）函数模型的结果听课随笔因此,约需要
3、 ,可降温到25.4min35c点评: 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例 2：现有某种细胞 个，其中有占总数 的细胞每小时分裂一次，即由 个细胞分裂成10121个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 个？（参考数0据： ）.lg3.47,l23分析：现有细胞 个，先考虑经过 、 、 、13个小时后的细胞总数，4【解】 小时后，细胞总数为1；0202小时后，细胞总数为；39114小时后，细胞总数为；927000248小时后，细胞总
4、数为;1711826可见，细胞总数 与时间 （小时）之间的函数关系为： ，yx 3102xyN由 ，得 ，两边取以 10 为底的对数，得 ，103102x83102 lg8 ， ，8lg 45.lg.470.31 . 45x答：经过 小时，细胞总数超过 个.610点评:本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数 与时间 之间的函数关系式；解类似yx这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解xab这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法” ，是高中数学中非常重要的一种方法例 3：某公司拟投资 万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率 ，按
5、单利10 10%计算， 年后收回本金和利息；另一种是年利率 ，按每年复利一次计算， 年后收回本59%5金和利息哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资 年可多得利息多少元？参考数据：5，1.09.864,.9.7分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣【解】本金 万元，年利率 ，按单利计算， 年后收回的本息和是10万元，(%5)本金 万元，年利率 ，按每年复利一次计算， 年后收回的本息和是10 5万元，510(9%)13.86因此，按年利率 的复利一次计算要比按年利率 的单利计算更有利， 年后多得利10%5息 万元3.86点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业
6、务是一种类似复利计息的储蓄追踪训练一1某工厂的一种产品的年产量第二年比第一 年增加 ，第21%三年比第二年增加 ，求这两年的平均增4 长率 解：设该产品第一年的年产量为 ，两年的a平均增长率为 ，x则 21%4ax解得 .32在银行进行整存整取的定期储蓄，当到 期时，银行会将本息和进行自动转存，某人 年 月 日20531在银行存入元的一年定期，年利为 ，若他10. 暂时不取这笔钱，当到 年 月 日时，该笔存款的本息和1 为多少元？（精确到 元）.答案： 元.5(.)7683. 已知镭经过 年剩留原来质量的0 ，计算95.76%经过多少年剩留原来质量的一半？分析：设原来的质量为 ，由题意可知1经
7、过 乘 年剩留 ，10.9经过 乘 年剩留 ，22576经过 乘 年剩留 ，x0.x依题意有 1.9【解】设经过 乘 年后剩留原来质量的 一半，依题意，有 ，0.5762x两边取对数，得 lg.9l解得 .1x（年）.答：约经过 年剩留原来质量的一半.60【选修延伸】一、函数与图像 高考热点 1.（1998 全国文 11，理 10）向高 为 的水瓶中注H水，注满为止.如果注水量 V 与水深 的函数h关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）听课随笔【解】答案 B分析：如上图所示，取水深 时，注水量 ，即水深至一半时，实际注水2Hh02V量大于水瓶总水量之半. 中 ， 、 中 ，故排除 、 、
8、，选 .A0VCD ACDB思维点拔：（1）解答应用题的基本步骤：设：合理、恰当的设出变量；写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；答：将数学问题的解还原到生活实际问题，给出最终的答案.（2）在用数学方法解决实际问题时的能力要求有：阅读理解能力；抽象概括能力；数学语言的运用能力；分析、解决数学问题的能力.（3）分析图表是数学应用的一个重要方面，特别要能够结合图表分析函数，应 好 好 体 会 追踪训练二1我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+ 损耗费该市规
9、定：（1）若每户每月用水量不超过最低限量 立方米时，只付基本费 元和每月的定额损耗费 元；（2）若每户每月用m9a水量超过 立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付 元的超额费；n（3）每户每月的损耗费不超过 元5（）求每户月水费 （元）与月用水量 （立方米）的函数关系；yx（）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求 的值,mna（）由题意，每月用水量为 （立方米） ，支付费用 （元） ，则xy（） ， ，由表9,005,axmyan其 中 05a914a知，一、二月份的水费均大于 元，故用水量 立方米， 立方米都大于最低限量 立方144m米，将 和 分别代入 的解析式，得 ，4x5y189()26mn由 得 ，从而 ，8n23a又三月份用水量为 立方米，. 听课随笔若 ，将 代入2.5m2.5x9yxmna得 ，即 这与矛盾，1098a81, ，即三月份用水量 立方米没有超过最低限量 .此时有 ， ，代入得 ，3综上：一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且3,1n点评：本例中 对 三 月 份 的 用 水 量 是 否 超 过 最 低 限 量 的 分 析 采 用 了 假 设 检 验 的 思 想【师生互动】学生质疑教师释疑
