1、第 4 讲 平面向量应用举例A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1(2012西安模拟 )已知 a(1 ，sin 2x)，b(2，sin 2x)，其中 x(0，)若|ab|a| b|，则 tan x 的值等于 ( )A1 B1 C. D.322解析 由|ab |a|b| 知，a b.所以 sin 2x2sin 2x，即 2sin xcos x2sin 2x，而 x (0，) ，所以 sin xcos x，即 x ，故 tan x1.4答案 A2(2013九江模拟 )若|a| 2sin 15，|b| 4cos 15，a 与 b 的夹角为 3
2、0，则 ab的值是 ( )A. B. C2 D.32 3 3 12解析 ab| a|b|cos 308sin 15cos 15 4 sin 30 .32 32 3答案 B3.(2012哈尔滨模拟 )函数 ytan x 的部分图象如图所示，4 2则( ) ( )OA OB AB A4 B6C1 D2解析 由条件可得 B(3,1)，A (2,0)，( ) ( )( ) 2 21046.OA OB AB OA OB OB OA OB OA 答案 B4在ABC 中，BAC60，AB2，AC1，E，F 为边 BC 的三等分点，则 ( AE AF )A. B. C. D.53 54 109 158解析 法
3、一 依题意，不妨设 E ， 2 ，BE 12 C BF FC 则有 ( )，即 ；AE AB 12AC AE AE 23AB 13AC 2( )，即 .AF AB AC AF AF 13AB 23AC 所以 AE AF (23AB 13AC )(13AB 23AC ) (2 )( 2 )19 AB AC AB AC (2 22 25 )19 AB AC AB AC (22221 2521cos 60) ，选 A.19 53法二 由BAC60 ，AB2，AC1 可得ACB90，如图建立直角坐标系，则 A(0,1)，E ，F( 233，0)，( 33，0) (1)( 1)AE AF ( 233，
4、1)( 33， 1) ( 233)( 33) 1 ，选 A.23 53答案 A二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5(2013上饶适应性测试)在平行四边形 ABCD 中，已知AB2，AD1，BAD60 ，E 为 CD 的中点，则 _.AE BD 解析 ( )( )( ) 2 AE BD (AD 12DC ) BA BC AD 12DC AD DC AD 12DC 21 12cos 60 4 .AD 12DC 12 12 32答案 326(2013东北三校一模 )设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(3b c)cos Aacos C，S ABC ，则 _.2 BA
5、AC 解析 依题意得(3sin Bsin C)cos Asin Acos C，即 3sin Bcos Asin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B 0，于是有 cos A ，sin A ，13 1 cos2A 223又 SABC bcsin A bc ，所以12 12 223 2bc3， bccos(A)bccos A3 1.BA AC 13答案 1三、解答题(共 25 分)7(12 分)(2012 北京海淀模拟 )在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 k(k R)AB AC BA BC (1)判断ABC 的形状；(2)若 c ，求 k 的值2解 (1
6、) cbcos A， cacos B，AB AC BA BC 又 ，bccos Aac cos B，AB AC BA BC sin Bcos A sin Acos B，即 sin Acos Bsin Bcos A0，sin(A B)0，AB，AB，即ABC 为等腰三角形(2)由(1)知， bccos Abc k，AB AC b2 c2 a22bc c22c ，k 1.28(13 分) 已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )， .(2，32)(1)若| | |，求角 的值；AC BC (2)若 1，求 的值AC BC 2sin2 sin 21 tan
7、 解 (1) (cos 3，sin )， (cos ，sin 3)，AC BC 2(cos 3) 2sin 2106cos ，AC 2cos 2(sin 3) 2 106sin ，BC 由| | |，可得 2 2，AC BC AC BC 即 106cos 106sin ，得 sin cos .又 ， .(2，32) 54(2)由 1，AC BC 得(cos 3)cos sin (sin 3) 1，sin cos .23又 2sin cos .2sin2 sin 21 tan 2sin2 2sin cos 1 sin cos 由式两边分别平方，得 12sin cos ，492sin cos .5
8、9 .2sin2 sin 21 tan 59B 级 能力突破( 时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B ，C 所对应的三角形的边长，若4a 2b 3c 0，则 cos B BC CA AB ( )A B. 1124 1124C. D2936 2936解析 由 4a 2b 3c 0，得BC CA AB 4a 3c 2b 2b( )2b 2b ，BC AB CA BA BC AB BC 所以 4a3c 2b.由余弦定理得 cos B .a2 c2 b22acb24 49b2 b22b223b 1124答案 A2(20
9、13汉中三模 )ABC 的外接圆圆心为 O，半径为 2， 0，OA AB AC 且| | |，则 在 方向上的投影为 ( OA AB CA CB )A1 B2 C. D33解析 如图，由题意可设 D 为 BC 的中点，由 0，得 2 0，即OA AB AC OA AD 2 ，A，O，D 共线且| |2| |，AO AD AO AD 又 O 为ABC 的外心，AO 为 BC 的中垂线，| | | |2，| |1，AC AB OA AD | | ， 在 方向上的投影为 .CD 3 CA CB 3答案 C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3已知向量 a(x 1,2)，b(4，y)，若 ab，
10、则 9x3 y的最小值为_解析 若 ab，则 4(x 1)2y0，即 2xy2.9x 3y 32x3 y2 2 6.32x y 32当且仅当 x ，y 1 时取得最小值12答案 64(2013山西大学附中月考)已知|a| 2|b|0，且关于 x 的函数 f(x) x3 |a|x2abx 在 R 上有极值，则 a 与 b 的夹角范围为_13 12解析 由题意得：f(x ) x2| a|xab 必有可变号零点，即|a| 24ab0，即 4|b|28| b|2cosa，b0，即1cosa，b .所以12a与 b的夹角范围为 .(3，答案 (3，三、解答题(共 25 分)5(12 分) 在 ABC 中
11、，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m(2sin B， )，n 且 mn.3 (cos 2B，2cos2B2 1)(1)求锐角 B 的大小；(2)如果 b2 ，求 SABC 的最大值解 (1)m n，2sin B cos 2B，(2cos2B2 1) 3sin 2 B cos 2B，即 tan 2B .3 3又 B 为锐角，2B(0 ，)，2B ，B .23 3(2)B ，b2，由余弦定理 cos B ，3 a2 c2 b22ac得 a2c 2ac40.又 a2c 22ac，代入上式，得 ac4(当且仅当 ac 2 时等号成立)SABC acsin B ac (当且仅当 ac2
12、 时等号成立)，即 SABC 的最12 34 3大值为 .36(13 分)(2012 南通模拟 )已知向量 m ，(3sin x4，1)n .(cos x4，cos2 x4)(1)若 mn1，求 cos 的值；(23 x)(2)记 f(x)mn ，在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足(2ac)cos B bcos C，求函数 f(A)的取值范围解 (1)mn sin cos cos 2 3x4 x4 x4 sin sin ，32 x2 1 cos x22 (x2 6) 12mn 1，sin .(x2 6) 12cos 12sin 2 ，(x 3) (x2 6) 12c
13、os cos .(23 x) (x 3) 12(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(B C )ABC，sin(B C)sin A0.cos B ， 0B，B ，0A .12 3 23 ，sin .6 A2 6 2 (A2 6) (12，1)又f(x) sin ，f(A)sin .(x2 6) 12 (A2 6) 12故函数 f(A)的取值范围是 .(1，32)特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
