1、第 2 讲 空间图形的基本关系与公理A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析 若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点答案 A2若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 ( )A平行 B异面C相交 D平行、异面或相交解析 经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选 D.答案 D3以下
2、四个命题中，正确命题的个数是 ( )不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A、B、C、D 共面，点 A、B、C、E 共面，则 A、B 、C、D、E 共面；若直线 a、b 共面，直线 a、c 共面，则直线 b、c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3解析 正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若 A、B 、C 共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上答案 B4在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，O 是 BD1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论错误的是
3、( )AA 1、 M、 O 三点共线 BM、O 、A 1、A 四点共面CA、O、C、M 四点共面 DB、B 1、O、M 四点共面解析 因为 O 是 BD1的中点由正方体的性质知，点 O 在直线 A1C 上，O也是 A1C 的中点，又直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则 A1、M、O 三点共线，A 正确；又直线与直线外一点确定一个平面，所以 B、C 正确答案 D二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5已知 a，b 为不垂直的异面直线， 是一个平面，则 a，b 在 上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是_(写出所
4、有正确结论的编号)解析 只有当 ab 时，a，b 在 上的射影才可能是同一条直线，故错，其余都有可能答案 6.如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别为棱 C1D1、C 1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与 DD1 是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析 直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故错误答案 三、解答题(共 25 分)7(12 分) 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形
5、，BAD FAB90 ，BC 綉AD， BE 綉 FA，G、H 分别为 FA、FD 的12 12中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綉 AD.12又 BC 綉 AD，GH 綉 BC，四边形 BCHG 为平行四边形12(2)解 由 BE 綉 AF，G 为 FA 中点知，BE 綉 FG，12四边形 BEFG 为平行四边形，EF BG.由(1)知 BG 綉 CH，EFCH ，EF 与 CH 共面又 DFH ，C ， D， F， E 四点共面8(13 分) 在长方体 ABCDA 1B1C1
6、D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图所示，其中 P 点不在对角线B1D1)上(1)过 P 点在空间作一直线 l，使 l直线 BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m，使 m 与直线 BD 成 角，其中 ，这样的直线有几条，应该如何作图？(0，2解 (1)连接 B1D1，BD，在平面 A1C1 内过 P 作直线 l，使 lB 1D1，则 l 即为所求作的直线，如图(a)B 1D1BD ， lB 1D1， l直线 BD.图(a)(2)BDB 1D1，直线 m 与直线 BD 也成 角，即直线 m 为所求作的直线，如图(b)由图知 m 与 BD 是异面直线，
7、且 m 与 BD 所成的角 .(0，2当 时，这样的直线 m 有且只有一条，当 时，这样的直线 m 有两2 2条图(b)B 级 能力突破( 时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1(2013咸阳模拟 )一个正方体的展开图如图所示，A、B 、C、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( ) AABCD BAB 与 CD 相交CABCD DAB 与 CD 所成的角为 60解析 如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项 A、B、C不正确正确选项为 D.图(b)中，DE AB，
8、CDE 为 AB 与 CD 所成的角，CDE 为等边三角形， CDE60.答案 D2.如图所示，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1底面ABC，ABBC AA 1，ABC90 ，点 E、F 分别是棱 AB、BB 1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是 ( )A45 B60C90 D120解析 如图，连接 AB1，易知 AB1EF，连接 B1C交 BC1于点 G，取 AC 的中点 H，连接 GH，则GHAB1EF.设 ABBCAA 1a，连接 HB，在GHB 中，易知 GHHB GB a，故两直线所成的角即为 HGB60.22答案 B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3
9、.如图所示，在三棱锥 ABCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH为菱形，当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 是正方形解析 易知 EHBDFG，且 EH BDFG，同理 EFACHG，且12EF ACHG ，显然四边形 EFGH 为平行四边形要使平行四边形 EFGH12为菱形需满足 EFEH ，即 ACBD ；要使四边形 EFGH 为正方形需满足EFEH 且 EFEH ，即 ACBD 且 ACBD.答案 ACBD ACBD 且 ACBD4在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1，C
10、C 1 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有_条解析 法一 在 EF 上任意取一点 M，直线 A1D1与 M 确定一个平面，这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N，当 M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点 N，而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点如图所示法二 在 A1D1上任取一点 P，过点 P 与直线 EF 作一个平面 ，因 CD 与平面 不平行，所以它们相交，设它们交于点 Q，连接 PQ，则 PQ 与 EF 必然相交，即 PQ 为所求直线由点 P 的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1， EF，CD 都相交答案 无数三、解
11、答题(共 25 分)5(12 分) 如图，在四面体 ABCD 中作截面PQR，若 PQ、CB 的延长线交于 M，RQ、DB的延长线交于 N，RP、DC 的延长线交于 K，求证：M 、N、K 三点共线证明 M PQ ，直线 PQ平面PQR，MBC，直线 BC 面 BCD，M 是平面 PQR 与平面 BCD 的一个公共点，即 M 在面 PQR 与面 BCD 的交线 l 上同理可证：N、K 也在 l 上 M、N、K 三点共线6(13 分) 在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成角为 60.(
12、1)求四棱锥的体积；(2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值解 (1)在四棱锥 PABCD 中，PO 面 ABCD，PBO 是 PB 与面 ABCD 所成的角，即PBO60，在 RtPOB 中，BO ABsin 301，又 PO OB， POBOtan 60 ，3底面菱形的面积 S 菱形 ABCD2 .3四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD 2 2.13 3 3(2)取 AB 的中点 F，连接 EF，DF，E 为 PB 中点， EF PA，DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或其补角)在 RtAOB 中，AOABcos 30 OP ，3在 RtPOA 中，PA ，EF .662在正三角形 ABD 和正三角形 PDB 中，DFDE ，3cos DEF .DE2 EF2 DF22DEEF 32 ( 62)2 3223626432 24即异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 .24特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
