1、第 3 讲 平面向量的数量积A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1若向量 a(3，m) ，b (2，1) ，ab0，则实数 m 的值为 ( )A B. C2 D632 32解析 由 ab32m(1)0，解得 m6.答案 D2(2013江西六所重点中学联考)已知|a| 6，|b|3，ab12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( )A4 B4 C2 D 2解析 设 a与 b的夹角为 ，ab 为向量 b的模与向量 a在向量 b方向上的投影的乘积，而 cos ，ab|a|b| 23|a|cos 6 4.( 23)答案 A3(2011广东
2、 )若向量 a，b，c 满足 ab，且 ac ，则 c(a2b) ( )A4 B3 C2 D0解析 由 ab及 ac，得 bc，则 c(a2b)ca2c b0.答案 D4(2012天津 )已知ABC 为等边三角形，AB2.设点 P，Q 满足 ，AP AB (1 ) ， R.若 ，则 等于 ( AQ AC BQ CP 32)A. B.12 1 22C. D.1 102 3222解析 以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C (1， )，由 ，得 P(2，0)，由 (1) ，得3 AP AB AQ AC Q(1， (1)，所以 (1， (1 )(21，
3、)3 BQ CP 3 3(1)(2 1) (1 ) ，解得 .3 332 12答案 A二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5(2012北京 )已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE 的值为_； 的最大值为_CB DE DC 解析 以 ， 为基向量，设 (0 1)，则 AB AD AE AB DE AE AD AB ， ，所以 ( )( )AD CB AD DE CB AB AD AD 2 011.又 ，所AB AD AD DC AB 以 ( ) 2 1 0 1，即 的最DE DC AB AD AB AB AD AB DE DC 大值为 1.答案 1 1
4、6(2012渭南 )如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC2，2点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 ，则 的值是AB AF 2 AE BF _解析 以 A 点为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立直角坐标系 xOy，则 ( ，0)， ( ，1)，AB 2 AE 2设 F(t,2)，则 ( t,2)AF t ，t1，AB AF 2 2所以 ( ，1)(1 ，2) .AE BF 2 2 2答案 2三、解答题(共 25 分)7(12 分) 设向量 a，b 满足|a| |b| 1 及|3 a2b| .7(1)求 a，b 夹角的大小；(2)求|3ab|的值解
5、(1)设 a 与 b 夹角为 ，(3a2b) 27，即 9|a|24| b|212ab7，而|a| b|1，ab ，|a|b|cos ，即 cos ，12 12 12又 0，a，b 的夹角为 .3(2)(3ab) 29|a| 26a b| b|293113，|3ab| .138(13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，2)，B (2,3)，C(2，1)(1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足 ( t ) 0，求 t 的值AB OC OC 解 (1)由题设知 (3,5)， (1,1)，则AB AC (2,6)， (4,4)AB AC
6、 AB AC 所以| |2 ，| |4 .AB AC 10 AB AC 2故所求的两条对角线长分别为 4 ，2 .2 10(2)由题设知 ( 2， 1)， t (32t,5t )OC AB OC 由( t ) 0，AB OC OC 得(3 2t,5t)(2，1)0，从而 5t11，所以 t .115B 级 能力突破( 时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1(2013鄂州模拟 )在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 (2,2)，OA (4,1) ，在 x 轴上取一点 P，使 有最小值，则 P 点的坐标是 ( OB AP BP )A( 3,0) B(
7、2,0) C(3,0) D(4,0)解析 设 P 点坐标为( x,0)，则 (x2 ，2) ， (x4，1) AP BP (x2)(x 4)( 2)(1)AP BP x 26x10(x3) 21.当 x3 时， 有最小值 1.AP BP 此时点 P 坐标为(3,0)，故选 C.答案 C2(2012广东 )对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 .若平面向量a，b 满足|a|b|0，a 与 b 的夹角 ，且 ab 和 ba 都在集合Error!(0，4)中，则 ab ( )A. B1 C. D.12 32 52解析 由定义 可得 ba ，由| a|b|0 ，及2 aba2 |a|b|cos |a|
8、2 |b|cos |a| 得 0 1，从而 ，即|a| 2|b|cos .ab (0，4) |b|cos |a| |b|cos |a| 12 abb2 2cos 2，因为 ，所以 cos 1，所以|a|b|cos |b|2 |a|cos |b| (0，4) 22cos21，所以 12cos22.结合选项知答案为 C.12答案 C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3已知向量 a，b，c 满足 abc 0，(ab)c，ab，若|a| 1，则|a|2|b| 2| c|2 的值是_解析 由已知 acbc0，ab0，| a|1，又 abc 0，a( abc) 0，即 a2ac0，则 acb c1
9、，由 abc 0，(abc) 20，即 a2b 2c 22ab2bc2ca0，a2b 2c 24c a4，即|a| 2|b| 2|c| 24.答案 44(2012安徽 )若平面向量 a，b 满足|2 ab| 3，则 ab 的最小值是_解析 由|2ab|3 可知，4a 2b 24ab9，所以 4a2b 294ab，而4a2b 2|2a| 2|b| 22|2a |b|4ab，所以 ab ，当且仅当 2ab 时98取等号答案 98三、解答题(共 25 分)5(12 分) 设两向量 e1，e 2 满足| e1|2，|e 2|1，e 1，e 2 的夹角为 60，若向量2te17e 2 与向量 e1te
10、2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围解 由已知得 e 4，e 1，e 1e221cos 601.21 2(2te 17e 2)(e1te 2)2te (2t 27)e 1e27te 2t 215t7.21 2欲使夹角为钝角，需 2t215t70，得7t .12设 2te17e 2(e 1te 2)(0)，Error!2t 27.t ，此时 .142 14即 t 时，向量 2te17e 2 与 e1te 2 的夹角为 .142当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 .( 7， 142) ( 142， 12)6(13 分)(2012 渭南模拟 )在ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为a
11、，b，c，已知 m ，n ，且满足|mn | .(cos 3A2，sin 3A2) (cos A2，sin A2) 3(1)求角 A 的大小；(2)若| | | | |，试判断ABC 的形状AC AB 3BC 解 (1)由|mn | ，得 m2n 22mn3，3即 112 3，(cos 3A2cos A2 sin 3A2sin A2)cos A . 0A，A .12 3(2)| | | | |，sin Bsin C sin A，AC AB 3BC 3sin Bsin ，(23 B) 3 32即 sin B cos B ，sin .32 12 32 (B 6) 320B ， B ，23 6 656B 或 ，故 B 或 .6 3 23 6 2当 B 时，C ；当 B 时，C .6 2 2 6故ABC 是直角三角形.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
