1、第 4 讲 函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程 f(x)0 的解就是函数 yf(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标，函数 yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y0 通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函
2、数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3(1) 函
3、数和方程是密切相关的，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为方程 f(x)0，也可以把函数式 yf(x)看做二元方程 yf(x)0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程 f(x)0，就是求函数 yf(x)的零点。(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数 yf(x)，当 y0 时，就转化为不等式 f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。(4) 函数 f(x) （nN *）与二项式定理
4、是密切相关的，利用这个函数nbax)(用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、例题解析运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。例 1 已知 ， （a、b、cR ） ，则有（ ）15(A) (B) (C) (D) 42c42acb42acb42解析 法一：依题设有 a5b c0 是实系数一元二次方程 的一个实根；52x 0 故选(
5、B)cb42c4法二：去分母，移项，两边平方得：10ac25ac20ac215a 故选(B)cb4点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为 b2 是 a、c 的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。练习 1 已知关于 的方程 （2 m 8）x + 16 = 0 的两个实根 、 满足 x2 1x21x ，则实数 m 的取值范围 _。232x答案： ；17|22 已知函数 的图象如下，则（ ）3()fxabcxd（A） (B),0b0,1(C) (D)(1)(2)答案：A. 3 求使不等式 对大于 1 的任意 x、y 恒成立的 a 的取值范围
6、。)lg(xyalyx2lg：构造函数或方程解决有关问题：例 2 已知 ，t ，8，对于 f(t)值域内的所有实数 m，不等式tf2lo)(恒成立，求 x 的取值范围。xmx4 x21y0解析t ，8，f(t) ，3221原题转化为： 0 恒成立，为 m 的一次函数（这里思维的转化很重要）)()(xm当 x2 时，不等式不成立。x2。令 g(m) ，m ，32)()(1问题转化为 g(m)在 m ，3上恒对于 0，则： ；10)3(2g解得：x2 或 x0， 0 02d4113Sda5216781 d374（2） nddnnaSn )25(2)(1 d0， 是关于 n 的二次函数，对称轴方程为
7、：x 12 d3 6 当 n6 时， 最大。74d513nS三、强化练习1 展开式中 的系数为_.8()x5x2已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 ( )22)()0mn14mnA 1 B C D 3412383.设双曲线的焦点 在轴上，两条渐近线为 ，则该双曲线的离心率 （ ）xyxeA 5 B C D 552544已知锐角三角形 ABC 中， 。31sin(),sin()AB.求证 ；tan2t.设 ，求 AB 边上的高。35甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品14的概率为 ，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 。12 29.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率。6设 ， ，曲线 在点 处切线的倾斜角的取值范0a2()fxabc()yfx0(,)Pfx围为 ，则点到曲线 对称轴距离的取值范围是（ ）,4()yfx1.0,2A1.0,2Ba.0,2bCa1.0,2bDa7.设双曲线 C： 与直线 相交于两个不同的点 A、B。2()xya:1lxy.求双曲线 C 的离心率 的取值范围；e.设直线 与 轴的交点为 P，且 ，求 的值。l 52ABa
