1、第十篇 计数原理第 1 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理A 级 基础演练 (时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 ( )A6 种 B12 种 C24 种 D30 种解析 分步完成首先甲、乙两人从 4 门课程中同选 1 门，有 4 种方法，其次甲从剩下的 3 门课程中任选 1 门，有 3 种方法，最后乙从剩下的 2 门课程中任选 1 门，有 2 种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法共有 43224(种) ，故选 C.答案 C2(2013琼海模拟
2、)某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜，7 种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭则每天不同午餐的搭配方法总数是( )A210 B420 C56 D22解析 由分类加法计数原理：两类配餐方法和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法总数为：C C C C 210.24 27 14 27答案 A3(2013西安模拟 )某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社” 、 “舞者轮滑俱乐部” 、“篮球之家” 、 “围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学
3、至少参加一个社团且只能参加一个社团且同学甲不参加“围棋苑” ，则不同的参加方法的种数为 ( )A72 B108 C180 D216解析 设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑” ，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙) 参加“围棋苑” ，有 C 种方法，然后从14甲与丙、丁、戊共 4 人中选 2 人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有 C A 种方法， 故共有 C C A 种参加方法；24 3 14 24 3(2)从乙、丙、丁、戊中选 2 人(如乙、丙) 参加“围棋苑” ，有 C 种方法，甲24与丁、戊分配到其他三个社团中有 A 种方法
4、，这时共有 C A 种参加方法；3 24 3综合(1)(2)，共有 C C A C A 180 种参加方法14 24 3 24 3答案 C4如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 ( )A60 B48 C36 D24解析 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6636 个，另含 4 个顶点的 6 个面(非表面) 构成的“平行线面组”有 6212 个，共 361248 个，故选 B.答案 B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5(2013抚州模拟 )从集合0,1,2,3,
5、5,7,11中任取 3 个元素分别作为直线方程AxBy C 0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有 _条(用数字表示)解析 因为直线过原点，所以 C0，从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数中任取 2 个作为A、B，两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为 A 30.26答案 306数字 1,2,3，9 这九个数字填写在如图的 9 个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字 4 固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有_种解析 必有 1、4、9 在主对角线上，2、3 只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5 只有两种填法对于 5 的每一种填
6、法，6、7、8 只有 3 种不同的填法，由分步计数原理知共有 22312 种填法答案 12三、解答题(共 25 分)7(12 分) 如图所示三组平行线分别有 m、n、k 条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解 (1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成 mnk 个三角形(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成 C C C C C C 个平行四边形2m2n 2n2k 2k 2m8(13 分) 设集合 M3，2，1,0,1,2，P(a ，b) 是坐标平面上的点，a，bM .
7、(1)P 可以表示多少个平面上的不同的点？(2)P 可以表示多少个第二象限内的点？(3)P 可以表示多少个不在直线 yx 上的点？解 (1)分两步，第一步确定横坐标有 6 种，第二步确定纵坐标有 6 种，经检验 36 个点均不相同，由分步乘法计数原理得 N6636(个)(2)分两步，第一步确定横坐标有 3 种，第二步确定纵坐标有 2 种，根据分步乘法计数原理得 N326 个(3)分两步，第一步确定横坐标有 6 种，第二步确定纵坐标有 5 种，根据分步乘法计数原理得 N6530 个B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1从 6 人中选 4
8、人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 ( )A300 种 B240 种 C144 种 D96 种解析 甲、乙两人不去巴黎游览情况较多，采用排除法，符合条件的选择方案有 C A C A 240.46 4 12 35答案 B2(2012安徽 )6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为 ( )A1 或 3 B1 或 4 C2 或 3 D2 或 4解析
9、 利用排列、组合知识求解设 6 位同学分别用 a，b，c，d，e ，f 表示若任意两位同学之间都进行交换共进行 C 15(次)交换，现共进行 13 次26交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由 3 人构成的 2次交换，如 ab 和 ac 之间的交换没有发生，则收到 4 份纪念品的有 b，c两人(2)由 4 人构成的 2 次交换，如 ab 和 ce 之间的交换没有发生，则收到 4份纪念品的有 a，b，c ， e 四人故选 D.答案 D二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3(2013新余期中 )如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数” ，那么在由 1
10、,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中， “好数”共有_个解析 当相同的数字不是 1 时，有 C 个；当相同的数字是 1 时，共有 C C13 13个，由分类加法计数原理得共有“好数”C C C 12 个13 13 13 13答案 124将 1,2,3 填入 33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有_种解析 由于 33 方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起如图中的，当 全为 1 时，有 2 种(即第一行第 2 列为 2 或 3，当第二列填 2 时，第三列只能填 3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定)，当全为 2 或
11、3 时，分别有 2 种，所以共有 6 种；当 分别为 1,2,3 时，也共有 6 种共 12 种答案 12三、解答题(共 25 分)5(12 分) 如图，用四种不同颜色给图中的A，B ，C，D，E，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有多少种？解 先涂 A、D、E 三个点，共有 43224 种涂法，然后再按 B、C、F 的顺序涂色，分为两类：一类是 B 与 E 或 D 同色，共有2(2112) 8 种涂法；另一类是 B 与 E 或 D 不同色，共有1(1112) 3 种涂法所以涂色方法共有 24(83)264(种)6(13 分) 从 1,2
12、,3，9 这 9 个数字中任取 2 个不同的数分别作为一个对数的底数和真数一共可以得到多少个不同的对数值？其中比 1 大的有几个？解 在 2,3，9 这 8 个数中任取 2 个数组成对数，有 A 个，在这些对数28值中，log 24log 39，log 42log 93，log 23log 49，log 32log 94，重复计数 4个；又 1 不能作为对数的底数，1 作为真数时，不论底数为何值，其对数值均为 0.所以，可以得到 A 4153 个不同的对数值28要求对数值比 1 大，分类完成；底数为 2 时，真数从 3,4，5，9 中任取一个，有 7 种选法；底数为 3 时，真数从 4，5，9 中任取一个，有 6 种选法依次类推，当底数为 8 时，真数只能取 9，故有765432128(个)但其中 log24log 39，log 23log 49，所以，比 1 大的对数值有 28226(个).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
