1、114.1 曲边梯形面积与定积分(一)明目标、知重点 1.了解“以直代曲” 、 “以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功1曲边梯形的面积(1)曲边梯形：曲线与平行于 y 轴的直线和 x 轴所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法把区间 a， b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图所示)(3)求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限2曲边三角形或曲边梯形的面积： S (xi)
2、 x，克服弹簧的拉力的变力所做limn n 1i 0f的功： W (xi) x.limn n 1i 0f情境导学任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算如图所示的平面图形，是由直线x a， x b(a b)， y0 和曲线 y f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？2探究点一 求曲边梯形的面积思考 1 如何计算下列两图形的面积？答 直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解思考 2 如图，为求由抛物线 y x2与直线 x1， y0 所围成的平面图形的面积 S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么
3、区别？答 已知图形是由直线 x1， y0 和曲线 y x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段思考 3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答 (如图)可以通过把区间0,1分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好3求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成思考 4 在“近似代替”中，如果认为函
4、数 f(x) x2在区间 ， (i1,2， n)上i 1n in的值近似地等于右端点 处的函数值 f( )，用这种方法能求出 S 的值吗？若能求出，这个in in值也是 吗？取任意 i ， 处的函数值 f( i)作为近似值，情况又怎样？其原理13 i 1n in是什么？答 都能求出 S .我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲” ，在极限状态13下，小曲边梯形可以看做小矩形例 1 求由直线 x0， x1， y0 和曲线 y x2所围成的图形的面积解 (1)分割将区间0,1等分为 n 个小区间：0， ， ， ， ， ， ， ， ，1，1n 1n 2n 2n 3n i 1n in n 1
5、n每个小区间的长度为 x .in i 1n 1n过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1， S2， Sn.(2)近似代替在区间 ， (i1,2， n)上，以 的函数值 2作为高，小区间的长度i 1n in i 1n (i 1n ) x 作为底边的小矩形的面积作为第 i 个小曲边梯形的面积，即1n Si( )2 .i 1n 1n(3)求和曲边梯形的面积近似值为S Si ( )2ni 1ni 1i 1n 1n0 ( )2 ( )2 ( )21n 1n 1n 2n 1n n 1n 1n4 122 2( n1) 21n3 (1 )(1 )13 1n 12n(
6、4)取极限曲边梯形的面积为S (1 )(1 ) .limn 13 1n 12n 13反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割近似代替求和取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确跟踪训练 1 求由抛物线 y x2与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积解 y x2为偶函数，图象关于 y 轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线y x2(x0)与直线 x0， y4 所围图形面积 S 阴影 的 2 倍，下面求 S 阴影由Error!，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线 x0， x2， y0 和曲线 y x2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区
7、间0,2 n 等分，则 x ， 取 i .2n 2 i 1n(2)近似代替求和Sn 2ni 12 i 1n 2n 122 23 2( n1) 28n3 (1 )(1 )83 1n 12n(3)取极限S Sn (1 )(1 ) .limn lim n 83 1n 12n 83所求平面图形的面积为 S 阴影 24 .83 16352 S 阴影 ，323即抛物线 y x2与直线 y4 所围成的图形面积为 .323探究点二 求变力做功思考 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？答 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为
8、匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限例 2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 e m 处，求克服弹力所做的功解 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即 F(x) kx(N)，其中 k 为比例系数将0， en 等分，记 x ，分点依次为enx00， x1 ， x2 ， xn1 ， xn e.en 2en n 1 en当 n 很大时，在分段 xi， xi1 所用的力约为 kxi，所做的功 Wi kxi x kxi .en则从 0 到 e 所做的总功 W 近似地等于Wi xi x n 1i 0n 1i 0kn 1i 0k ien en 0
9、12( n1)ke2n2 .ke2n2 n n 12 ke22(1 1n)弹簧从平衡位置拉长到 e 处所做的功为：W Wi .limn n 1i 0 ke22答 克服弹力所做的功为 J.ke22反思与感悟 以“不变代变”的方法，把变力做功问题转化为求常力做功问题跟踪训练 2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻 t 的速度为 v(t)3 t22(单位：km/h)，那么该汽车在 0 t2(单位：h)这段时间内行驶的路程 S(单位：km)是多少？6解 (1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入 n1 个分点，将它分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为， (i1,2， n)，其长度为 t .每个
10、时间段上行驶2 i 1n 2in 2in 2 i 1n 2n的路程记为 Si(i1,2， n)，则显然有 S Si.ni 1(2)近似代替取 i (i1,2， n)于是2in Si S i v( ) t3( )222in 2in 2n (i1,2， n)24i2n3 4n(3)求和Sn S i ( ) (122 2 n2)4ni 1ni 124i2n3 4n 24n3 424n3 n n 1 2n 168(1 )(1 )4.1n 12n从而得到 S 的近似值 S Sn.(4)取极限S Sn 8(1 )(1 )48412.limn lim n 1n 12n所以这段时间内行驶的路程为 12 km.
11、1把区间1,3 n 等分，所得 n 个小区间的长度均为( )A. B. C. D.1n 2n 3n 12n答案 B解析 区间1,3的长度为 2，故 n 等分后，每个小区间的长度均为 .2n2函数 f(x) x2在区间 上( )i 1n ， inA f(x)的值变化很小B f(x)的值变化很大7C f(x)的值不变化D当 n 很大时， f(x)的值变化很小答案 D解析 当 n 很大，即 x 很小时，在区间 ， 上，可以认为 f(x) x2的值变化很小，i 1n in近似地等于一个常数3在“近似代替”中，函数 f(x)在区间 xi， xi1 上的近似值等于( )A只能是左端点的函数值 f(xi)B
12、只能是右端点的函数值 f(xi1 )C可以是该区间内任一点的函数值 f( i)( i xi， xi1 )D以上答案均正确答案 C4求由曲线 y x2与直线 x1， x2， y0 所围成的平面图形面积时，把区间 5 等分，12则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_答案 1.02解析 将区间 5 等分所得的小区间为1， ， ， ， ， ， ， ， ，2，65 65 75 75 85 85 95 95于是所求平面图形的面积近似等于(1 ) 1.02.110 3625 4925 6425 8125 110 25525呈重点、现规律求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：(1)分割： n 等分区间 a， b；(2)近似代替：取点 i xi1 ， xi；(3)求和： ( i) ；n 1i 0f b an(4)取极限： s ( i) .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，limn n 1i 0f b an为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)
