1、1了解间接证明的一种基本方法反证法 2了解反证法的思考过程、特点 3理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系1体会反证法的思考过程、特点，培养逆向思维能 力(重点) 2利用反证法证明(难点、重点) 3反证法的假设(易错点),4 反证法,【课标要求】,【核心扫描】,在证明数学问题时，先假定 成立，在这个 前提下若推出的结果与 、 、 矛盾，或 与命题中的 相矛盾，或与 相矛盾，从 而断定 不可能成立，由此断定. . 成立，这种证明方法叫作反证法,自学导引,1反证法的定义,命题结论的反面,定义,公理,定理,已知条件,假定,命题结论的反面,命题的结论,分析反证法证明命题“若
2、p则q”时，可能会出现几 种情况？ 提示 可能会出现以下三种情况： (1)导出非p为真，即p假，也就是与原命题的条件矛盾； (2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； (3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾,想一想：,通过导出矛盾，归结为谬误而使命题得证因此，这种反 证法也叫归谬法在反证法的应用中，其难点是如何引出矛盾，用反证法证 明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面： (1)假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即 与原命题的条件矛盾 (2)假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由 “非q为真”推出了“q为真”，形成了自相矛盾,名师点睛,1反证法
3、的特征,2反证法矛盾构设的几种情况,(3)假设结论q不成立，经过推理论证得到了一个恒假命 题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某 个概念结论显然矛盾反证法主要适用于以下几种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出 结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而 从反面进行证明，只需研究一种或很少的几种情形,3反证法的应用,4反证法的证题步骤,设a，b，c，dR，且adbc1， 求证：a2b2c2d2abcd1.由条件不能正面证明结论，采用反证法假设结 论不成立，将已知条件代入整理可得出与已知条件矛盾,题型一 “否定”型命题,【例1
4、】,思路探索,假设a2b2c2d2abcd1，因为adbc 1，所以a2b2c2d2abcdbcad0， 即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20， 所以ab0，cd0，ad0，bc0， 所以abcd0，这与已知条件adbc1矛盾 故假设不成立，所以a2b2c2d2abcd1.本题为“否定”型命题，显然从正面证明需 要证明的情况太多，不但过程繁琐而且容易遗漏，故可以 考虑采用反证法一般当题目中含有“不可能”、“都 不”等否定性词语时，宜采用反证法证明,规律方法,证明,用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条 直线b与已知直线a平行由平行直线的定义可知过直线外一点至少可以 作一条已知直
5、线的平行线而“只有一条”可通过假设过 点A有两条直线与直线a平行，由平行公理推出与假设矛 盾 证明 由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A至 少有一条直线与直线a平行假设过点A还有一条直线b 与已知直线a平行，即bbA，ba.因为ba，由平 行公理知bb.这与假设bbA矛盾，所以假设错 误，原命题成立,题型二 “唯一”型命题,【例2】,思路探索,用反证法证明问题时要注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈 现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可 能，反证都是不完全的； (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作 为条件，且必须根据这一条
6、件进行推证，否则，仅否定结 论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法； (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显 的,规律方法,已知两条相交直线a，b，求证：直线a，b有且只有 一个交点 证明 假设结论不成立，即有两种可能： 无交点；至少有两个交点 (1)若直线a，b无交点，那么ab或a，b是异面直线，与已 知矛盾； (2)若直线a，b至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛 盾 综上所述，两条相交直线a，b有且只有一个交点,【训练2】,(12分)已知a，b，c是互不相等
7、的实数，求证：由yax 22bxc，ybx22cxa，和ycx22axb确定的三条 拋物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式 时，适合用反证法,题型三 “至多”、“至少”型命题,【例3】,审题指导,【解题流程】,规范解答 假设题设中的函数确定的三条拋物线都不 与x轴有两个不同的交点 (2分) 由yax22bxc， ybx22cxa， ycx22axb， 得1(2b)24ac0， 且2(2c)24ab0， 且3(2a)24bc0. (5分),同向不等式求和得： 4b24c24a24ac4ab4bc0 (7分) 2a22b22c22ab2bc2ac0 (8分
8、) (ab)2(bc)2(ac)20 (9分) abc (10分) 这与题设a，b，c互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证 (12分),常见的“结论词”与“反设词”,【题后反思】,已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至 少有一个数大于25. 证明 假设a1，a2，a3，a4都不大于25，即a125，a22 5，a325，a425，则a1a2a3a425252525 100.这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设不成立 所以，a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.,【训练3】,已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证 明：关于x的方程x22x5p20无实根,误区警示 用反证法证明时，忽略步骤致错,【示例】,利用反证法进行证明时，首先要对所要证明的结 论进行否定性的假设，并以此为条件进行推理，得到矛 盾，从而证明原命题成立即反证法必须严格按照“否定 推理否定”的步骤进行,(1)应用反证法证题时必须先否定结论 (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作 为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结 论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法,
