1、正交异性体位移边界条件下的自相似解第 36 卷第 8 期2004 年 8 月哈尔滨工业大学JOURNALOFHARBININSTITUTEOFTECHNOLOGYV0I.36No.8Aug.,2004正交异性体位移边界条件下的自相似解胥红敏,吕念春,程靳(哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨 150001,E-mail:chengjinhit.edu.ca)摘要:在具有任意自相似指数的正交异性体断裂动力学问题解的一般表示基础上 ,给出了裂纹在两种形式位移边界条件下的自相似解,验证了用自相似方法解决位移边界条件问题的可行性.此方法可以迅速将所论问题化为复变函数论中的 RiemannHilbert
2、 问题,比较简单地得到问题的解析解,并且为了验证解析解,给出了具体问题的数值解.关键词:正交异性体;位移边界;断裂动力学;自相似中图分类号:0346.1 文献标识码:A 文章编号:03676234(2004)08102604Self-similarsolutiontodynamicfractureoforthotropicmaterialunderdisplacementboundaryconditionsXUHongmin,LUNianchun,CHENGJin(SchoolofAstronautics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,Chi
3、na,E-mail:chengjinhit.edu.ca)Abstract:Basedongeneralexpressionsofthesolutiontodynamicsfractureproblemsoforthotropicbodieswitharbitraryself-similarindex,self-similarsolutionsaregivenofthecracksundertwokindsofdisplacementboundaryconditions.Itverifiedthefeasibilityofsolvingtheproblemsofdisplacementboun
4、daryconditionswithself-similarmethod.TheproblemsofRiemannHilbertcanbeformulatedveryeasilybythismethodandtheiranalyticalsolutionsareobtainedrathersimply.Andtoverifyanalyticalsolutions.numericalsolutionsaregiven.Keywords:orthotropicbody;displacementboundary;fracturedynamics;self-similarity断裂动力学问题是一个比较
5、困难的领域,人们一直在努力探索其解析解.近年来由于复合材料,层状材料的发展,使这一问题的研究对象由各向同性材料逐渐转移到各向异性材料.尤其是正交各向异性材料,由于其本构方程比较复杂,人们得到的解析解以及提出的新解析方法并不多.文献1,2采用 Atkinsonl3 变换的方法,推导出一套适用于正交异性体平面弹性动力学问题的公式,可以较迅速地将所论问题化为确定单一未知函数的问题,该未知函数只需满足边界以及初始条件即可,不必考虑基本方程(该函数在公式推导过程中已经满足基本方程).在以前的工作中仅给出了应力边界条件下正交异性体断裂动力学问题收稿日期:20030525.作者简介:胥红敏(1976 一),
6、女,博士研究生;程靳(1945 一), 男,教授,博士生导师的解.本文在前人工作的基础上.根据同样的思想给出了裂纹发生位移边界条件下的自相似函数,推导出该条件下的解析解.得到解析形式的动态应力强度因子并给出实例.1 正交异性体弹性动力学方程的自相似解对于正交异性体,使其弹性对称轴和 Cartesian 坐标轴一致,则正交异性体平面问题的运动方程为c,+COx 的+(cl2+c 的)oxoypot1dylccc 的,舄 02_y_v 雾=p 搴 (1)式中:C.,C,C,C 的是正交异性材料的弹性常第 8 期胥红敏,等:正交异性体位移边界条件下的自相似解数,P 是材料密度 ,u,则分别是 ,Y
7、方向的位移.利用 Atkinson3 变换的一种形式,令1=t 一 77+1y;2=t 一*Ix+T2y.构造运动方程(1)的解的形式u=RefA(77)咖()+B(77)()d771:+l=Ref咖()+()d77J(2)式中:77 为复变量,积分是在 77 的实轴上进行的;,是 77 及弹性常数的函数.上式如果满足运动方程,需要有以下关系成立:(Cu77 一 P+C66)(C667/一 P+C22)一(C12+C66)7/2=0A=一(C12+C66)7/T1/(Cu77 一 P+C66T1)B=一(C2+C66)77/(Cu77 一 P+C66)(3)如果式(3)成立 ,运动方程成为恒等
8、式,则和可以为由边界条件确定的任意函数.将式(2)代人正交异性体的本构方程可得.+r=RefA(77)咖()+B(77)()d771J 一l+=RefA(77)咖()+日(77)(:)d77J(4)式中:咖()表示咖 ()对求导,()表示()对求导,而且有A(77)=C1271A+C22T1B(77)=一 C1271B+C22A1(77)=C66AT171C66B1(77)=C66B 一 71C66考虑到式(3)中第一式为 4 次,有 4 个根,为了不使 Ov/Ot;0,只取虚部为正的两个根.现在只要考虑 Y=0 上的边值问题 ,此时有1=2=t 一 7/x=.另一方面,假定在 Y=0 的平面
9、上有任意个荷载和位移区段,这些区段的端点各以不同的常速移动,初始条件为零.这些区段上的荷载和位移可以表示为d)dZ()dd(5)形式的函数组合,其中这里 k,ks,是任意正整数.由于,t 的任意函数都可表示为式(5)的线形组合,因而求解具有式(4)形式的荷载或位移具有原则上的意义.引入线形微分算子及其反演OxmOt“,其中,零导数表示函数本身,负导数表示积分,其绝对值表示积分的重数.明显的,必存在m,n 使作用于式(5)后得到的函数是 ,t 的零次齐次函数,称 m,n 为自相似指数.在 Y=0 上不难得出以下的一般结论:当 Lu,Lv 是齐次时,令u.=u,.=Lv,r0v:LTor:=;(6
10、)当r 是齐次时,令u.啬.啬 1r=击;= 击 .J则总有Ou./Ot=(z/t)?ReA(.(.)+B(.(.)Ov./Ot=(z/t)?Re(.)+(.)r.=(1/t)?ReA(.(.)+B(.(.).=(1/t)?ReA(Z)fl(.)+B(z)fz(z)(8)式中:(.)(.)为.的任意解析函数,它们仅由边界及初始条件确定.如果在 Y:0 上有 r=0,则式(8) 变为:=(1/t)?ReF(.),“=ReW(.),U.=Re(.).(9)称 F(.),W(.)及(.)为自相似函数,其关系为(.)=E(.)/E(.)IF(.1.(1o)W(.):E(z)/E(.)(.)J其中:E(
11、.)=A(.)B(.)一 A(.)B(.),E(.)=A(.)一 B(.),E2(.):A(.)(.)一 A(z)B(.).上标的“表示对.求导.由于 F(.),W(.)及(.)已经满足波动方程,所论正交异性体断裂动力学问题化为确定满足边界条件的单一未知函数 F(.)或 W(.)的问题.一般情况下这是复变函数论中的 RiemannHilbert 问题(简单情况下成为 KeldyshSedov7问题或 Dirchlet 问题), 这一类问题容易用通常的,如 Muskhelishvili9m 方法来解决.有关E(.)/E(.)的取值问题可通过对式(3) 推导给出,在亚音速范围内 E(z)/E(.)
12、总是纯虚值.2 两个问题的解1)假定在 t=0 时刻,在裂纹的中点即坐标?1028?哈尔滨工业大学第 36 卷原点发生的相对位移,并开始出现一微观裂纹,同时裂纹以常速沿轴正,负方向对称扩展,此时的边界条件可以表示为.一 01.(11)=0IIVtJ引入变量.=t/x, 又由式(9), 且考虑到此问题为位移齐次,边界条件转换为ReW(.)=0._1Re(.):o.一综合考虑对称性,无穷远条件,裂纹尖端的奇异性以及以上边界条件,则 W(.)的一个解可以为(.):一!二对 W(.)求导,有一亏?又根据关系 W(.)=E.(z)/E(z)F(z),有下面 F(.)的表达式:器南这个问题属于位移齐次问题
13、,有关系(6),又由式(9),可得到应力 17“,位移,应力强度因子K,(t)的最终表达式一【】lLIIVtVt 一:Re(.):Vo/V2t;2-一x2II(t)=lim.21T(Vt)?-ReF(.)=,.m【】(12)2)假定在 t=0 时刻,在 II=3t(卢V)发生 Vot/x 的渐增位移,并开始出现一微观裂纹,同时裂纹以常速沿轴正,负方向对称扩展,此时的边界条件可以表示为(,o,)=vot2/x.13t1.(13)(,0,t)=0IIgtJ明显的,在此问题中,齐次,这种情况下.式(7)成立,再引入变量 .=t/x,则边界条件又可以表示为ReW(.)=2v0.ReW(.=0.I=卢
14、1.?0IVJ综合考虑对称性,无穷远条件,裂纹尖端的奇异性以及以上边界条件,给出自相似函数 w(z)的形式(.)=Az=i.(14)V一 0其中 A 是由边界条件确定的实常数,由边界条件(13)的第一式 ,得到 A=2v.卢一,代人式(14),并对其求导 ,有)./B-“-V-“V/(_一 0)由关系式(1O), 推导出:E_(z.!,2voV2/B-V-.i,于是,.霹-2_V-2.=2了 voV2-m【怒因为本问题属于应力齐次,考虑到关系式(7),可以得到位移 ,应力,应力强度因子,(t)的最终表达式 :=可2 南-m【()一 im.2Vox3f南-m【丽 E(t/x)】d(15)3 数值
15、分析为了更直观地描述动态应力强度因子,给出具体问题的数值解,因为篇幅限制,在这里仅以第一种边界条件为例.所取参数如下:Cl1=19.24GPa,Cl2=1.23GPa,C22=17.83GPa,C66=1.00GPa,P=0.59.810N/m,V=300m/s.0=0.210 一 in,卢=200m/s代入式(12),可以得到图 1 关系曲线.由图 1 可以看出,在 t=0 时 ,动态应力强度第 8 期胥红敏,等:正交异性体位移边界条件下的自相似解 ?l029?因子的值趋近于无穷大,此时是裂纹的开裂状态,具有明显的奇异性;在 00.02ms 时间间隔内的动态应力强度因子的衰减幅度远大于 0.020.04ms 时间间隔内的衰减幅度,具有明显的衰减特性;而后随着时间的延长衰减的趋势逐渐减慢.同样的,把参数代入式(15)可以得到类似的结果.利用本文的解可以很容易地得到相应的静态问题的解j,这只需令
