1、第十三章 轴对称本章知识解读方案,重难专题探究,专题一 线段的垂直平分线的性质,线段的垂直平分线的性质，一是用于判定等腰三角形，二是通常与等腰三角形的性质、全等三角形相结合，证明线段或角相等，两线的位置关系，是初中数学中重要的证明依据.,例1 已知：如图13-1，ABAD，BCDC. (1)求证：BEDE. (2)若BD6，AE8，求四边形ABED的面积.,图13-1,分析：由ABAD，BCDC，得AC所在的直线是线段BD的垂直平分线.由线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等知BE=DE.,(1)证明：ABAD，BCDC， A，C是线段BD的垂直平分线上的点.
2、AC所在直线为线段BD的垂直平分线. 点E在AC上，BE=DE.,(2)解：由(1)知AC所在直线为线段BD的垂直平分线，即AEBD， .,专题二 等腰三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定通常与线段垂直平分线的性质、全等三角形结合起来考查，主要以选择题或填空题的形式出现；与其他知识综合时，主要以解答题的形式出现.特别地，对等腰三角形“三线合一”性质的灵活运用，可为我们求解问题提供快捷、准确的解题思路.,例2 如图13-2，在RtABC中，ACB=90，D是AB上一点，BDBC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：CDBE.,图13-2,分析：首先根据“HL”证明RtECBRtEDB，得
3、出EBC=EBD，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明.,证明：EDAB，EDB=90. 在RtECB和RtEDB中， BE=BE, BD=BC, RtECBRtEDB(HL)， EBC=EBD. 又BD=BC， BECD.,专题三 等边三角形的性质与判定,等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形的性质：从边的角度看，每条边都相等；从角的角度看，每个角都等于60.等边三角形的判定：从边的角度看，根据定义判定；从角的角度看，根据有两个角都是60来判定；从边和角结合的角度看，根据有一个角是60的等腰三角形来判定.由等边三角形是特殊的轴对称图形，根据轴对称的性质，可以快捷、准确地判
4、断一些结论，为解决相关问题提供思路.等边三角形的性质也常常与含30角的直角三角形的性质综合运用.,例3 已知：ABC为等边三角形，E为直线AC上一点，D为线段BC上一点，AD=DE. (1)如图13-3(1)，当D为线段BC的中点，E在线段AC的延长线上时，求证：BD+AB=AE.,(1) (2)图13-3,（2）如图13-3(2)，当D为线段BC上任意一点，E在线段AC的延长线上时，(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.,分析：(1)利用ABC是等边三角形得出角、边的关系，利用AD=DE，得出CDE是等腰三角形，得出CD=CE，由线段关系可得出BD+AB=AE.(2)在
5、AB上取BH=BD，连接DH，利用AHDDCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD.,(1)证明：如图13-4(1)， ABC是等边三角形， AB=AC，BAC=B=ACB=60. 点D为线段BC的中点， BD=CD，CAD= BAC=30. AD=DE，E=CAD=30. ACB=E+CDE， CDE=60-30=30， CDE=E，CD=CE， AE=AC+CE=AB+CD=AB+BD.,(2)图13-4,(2)解：成立.证明如下： 如图13-4(2)，在AB上取BH=BD，连接DH. BH=BD，B=60， BDH为等边三角形， AB-BH=BC-BD，即AH=DC.,AD=DE，E=C
6、AD， BAC-CAD=ACB-E，即BAD=CDE. 在AHD和DCE中，AH=CD， HAD=CDE， AD=DE， AHDDCE(SAS)， DH=CE， BD=CE， AE=AC+CE=AB+BD.,专题四 利用点的坐标作轴对称图形 图形是由点组成的，在画它关于某一条直线的轴对称图形时，只要画出图形的关键点的对称点，然后顺次连接对称点，就可以画出原图形关于这条直线的对称图形.中考命题时，这类题目往往与图形的平移或旋转相结合.,例4 在如图13-5的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是(-3，-1).,(1)将ABC沿y轴正方向平移3个单
7、位长度得到 ，画出 ，并写出点B1的坐标； (2)画出 关于y轴对称的 ，并写出点C2的坐标.,图13-5,解：(1)如图13-6， 即为所求，点B1的坐标为(-2，-1). (2)如图13-6， 即为所求，点C2的坐标为(1，1).,图13-6,专题五 含30角的直角三角形的性质的综合运用,含30角的直角三角形的性质揭示了含30角的直角三角形中的边角关系，常常用于求解直角三角形中线段的倍分关系.,例5 如图13-7，在RtABD中，ADB=90，A=60，作DCAB，且DBC=BDC，DC与BC交于点C，CD=4 cm，求AB的长.,图13-7,分析：因为ADB=90，A=60，所以ABD=
8、30.建立线段AB与CD的联系是求解的关键.又因为CD=4 cm，所以需要求出AD与CD的数量关系.又因为DCAB，DBC=BDC，所以可得出DBC=BDC=30.在AB上取一点E，使BE=BC，连接ED，通过全等三角形可证DE=CD，再由等边三角形ADE可求解. 解：在AB上取一点E，使BE=BC，连接ED. A=60，ADB=90，ABD=30. 又DCAB，CDB=ABD=30， DBC=BDC=30.,在BED和BCD中， BE=BC，EBD=CBD，BD=BD， BEDBCD(SAS)， ED=CD=4 cm，BDE=CDB=30， ADE=90-30=60. 又A=60，AED为等
9、边三角形. AE=ED=AD=4 cm. ABD=30，ADB=90， AB=2AD=8 cm.,方法技巧盘点,方法一 分类讨论思想,分类讨论思想是指在解决一个问题时，需要按一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决.分类讨论思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.在求等腰三角形的角的度数，等腰三角形的腰上的高，判断某种条件下等腰三角形是否存在时，因为图形的不确定，所以常常用到分类讨论思想求解问题.,例6 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得MOA为等腰三角形，则满足条件的点
10、M的个数为( ),C,A.4 B.5C.6 D.8 解析：如图13-8，分别以O，A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴的交点即为所求点M.再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M.所以满足条件的点M的个数为6.故选C.,图13-8,方法二 等积法,一般地，等积法是指两个三角形等底等高,则面积相等，反之也可.同样可以推得：两个三角形的高相等,底成倍数关系,面积也成同样的倍数关系.当问题中出现三角形的多条高时，由组成三角形的部分面积的和等于这个三角形的面积，常常用于证明线段的和差关系.在等腰三角形，特别是等边三角形中，利用边的相等，通过等积法，常用于证明高的和差关系.,例7 如图1
11、3-9，已知等边三角形ABC和点P，设点P到ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，ABC中BC边上的高为h. (1)若点P在ABC的一边BC上，如图13-9(1)，此时h3=0，可得结论h1+h2 h.(填“”“”或“=”) (2)若点P在ABC内部，如图13-9(2)；若点P在ABC外部，如图13-9(3)，在这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给予证明；若不成立，写出新的关系式.,=,(1) (2) (3)图13-9,解：(1) .理由如下： 如图13-10(1)，连接AP，则 , ，即.,又ABC是等边三角形，BC=AB=AC， .,(1) (2) (3)图13-1
12、0,(2)当点P在ABC内部时，结论成立.证明如下： 如图13-10(2)，连接PA，PB，PC. , . ABC是等边三角形，AB=AC=BC， . 当点P在ABC外部时，结论不成立.理由如下： 如图13-10(3),连接PB，PC，PA.,由三角形的面积公式, 得 , 即 . AB=BC=AC， .,方法三 转化思想,转化思想是指将未知的、陌生的、复杂的问题，通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题得到顺利解决的数学思想.求解最短路径问题时，通常运用轴对称、平移等把最短路径问题转化为两点间的距离问题来解决.,例8 如图13-11，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距
13、离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500 m，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 _ m.,1000,图13-11 图13-12,解析：如图13-12，作点A关于CD的对称点A，连接AB与CD交于点M，连接AM.则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是AB的长.由于点A到河岸CD的中点的距离为500 m，所以点A到点M的距离为500 m.因为ACl，BDl，所以ACD=BDC=90，所以BDAA,所以A=B=A.又因为AC=BD，所以在ACM和BDM中，ACM=BDM=90,AC=BD,A=B, 所以ACMBDM(ASA),所以AM=BM, 所以
14、AB=1 000 m,即牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,最短距离是1 000 m.,方法四 方程思想,利用方程思想解题的思路是利用未知数表示相关的量(比如角的度数或线段的长度)，根据已知条件构建方程(组).等腰三角形、直角三角形中的角或边长都存在着特殊的数量关系，常常运用方程思想来求解.,例9 如图13-13，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，A=30，B=90，ADC=120，求CD的长,图13-13,分析：已知条件中有A=30，B=90，先延长AD，BC交于点E，构造含30角的直角三角形.根据已知证出EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=4，BC=1和30角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可.,图13-14,解：如图13-14，延长AD，BC交于点E. A=30，B=90， E=60. ADC=120， EDC=60， EDC是等边三角形. 设CD=CE=DE=x. AD=4，BC=1， 2(1+x)=x+4，解得x=2. CD=2. 故CD的长为2.,方法点拨：此题运用了直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半以及方程思想，作辅助线构造直角三角形是解题的重要步骤.,下载“倍速课堂APP”，海量学习资源免费使用,
