1、3.1.2 用二分法求方程的近似解“精确度”与“精确到”本节课学习了用二分法求方程的近似解.但在教学中出现了“精确度”这个概念，它与我们以前所学的“精确到”一样吗？在小学和初中我们学习近似数时使用的都是“精确到” ，而本节内容学习近似数时使用的是一个新名词精确度，它们两者在取近似数时，是有差别的.示例如下：例(课本 P89 引例)用二分法求函数 f(x)=ln x+2x-6 在区间(2,3)内的零点.(1)按精确度为 0.01 求近似解；(2)按精确到 0.1 求近似解.分析：本题考查函数零点的概念以及用二分法求函数零点的具体步骤，求零点，关键是确定一个包含此零点的区间，尽可能地根据题中要求找
2、到含有零点的较小区间，再按要求找到函数的近似解.解：(1)因为 f(2)f(3)0，所以函数 f(x)=ln x+2x-6 在区间(2,3)内有零点.又因为 f(x)在区间(2,3)内是增函数，所以函数 f(x)在区间(2,3)内有唯一零点.采用二分法，可列表如下：零点所 在区间 中点的值 中点函数 值的正负区间的长度 (即精确度)(2，3) 2.5 - 1(2.5，3) 2.75 + 0.5(2.5，2.75) 2.625 + 0.25(2.5，2.625) 2.562 5 + 0.125(2.5，2.562 5) 2.531 25 - 0.062 5(2.531 25，2.562 5) 2
3、.546 875 + 0.031 25(2.531 25，2.546 875)2.539 062 5 + 0.015 625(2.531 25，2.539 062 5)2.535 156 25+ 0.007 812 5 0.007 812 50.01, 闭区间2.531 25，2.539 062 5上的任一数值都是所求答案，按照课本要求，这里统一取区间的端点作为零点的近似值，这是因为近似数 x 与真实值 之差的绝对值| |就0 0是近似值 x 的精确度 (即精确度 是近似数 x 与真实值 之间的接近程度)，用数轴上0对应的点描述，近似值 x 在以真实值 为中心、精确度 为半径的邻域中的任一数，
4、所以0零点(真实值 (2.531 25，2.539 062 5)，选闭区间2.531 25，2.539 062 5上的任)0 一数 x(近似值)，均有| |2.539 062 5-2.531 25=0.007 812 5，所以闭区间2.531 025，2.539 062 5上的任一数都是精确度为 0.01 的近似值.(2)零点(真实值 按精确到 0.1 求近似解，要根据零点的第二位小数的值按四舍五入)0得到一位小数的近似值，就是精确到 0.1 的近似值(即精确到是指数据精确到多少位)，答案是唯一的.但是，对零点所在的区间有严格的要求，该区间上的任一数值都按四舍五入得到一位小数后的近似值必须相同
5、.一般地，只考虑该区间上的两个端点的四舍五入的数值相同就可以了.这样，由第(1)问的列表可得，2.531 252.5，2.546 8752.5，则该零点的区间是(2.531 25，2.546 875)，所以所求近似值为 2.5.说明：通过本题的解答过程可以归纳出“精确度”与“精确到”的异同点.相同点：“精确度”与“精确到”是从两个不同方面得到零点的近似值；不同点：“精确度”是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量，按照课本规定，找到的区间的两个端点差的绝对值必须小于题中所给精确度的数值，则该区间就是满足题中条件的零点区间，该闭区间上的任一数值就是零点的近似值，该近似值可以有多个；“精确到”是指一般数据四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，找到的区间两个端点的四舍五入的数值必须相同，则该区间就是零点所在区间，该闭区间的任一近似值等于零点的数值，该近似值只有唯一一个.
