1、第四讲 振动和波,1能综合运用运动学、动力学以及动量和能量等知识，分析机械振动和机械波的运动特点及规律。要注意机械振动和机械波的共性，即质点位移、速度、加速度变化的周期性，更重要的是注意它们的区别：振动是单个质点的运动，波动是大量质点振动的集体表现。,2在高考中考查的重点是简谐运动及简谐波的计算和图象，常以选择题出现，每年必考，特别是波长、频率、波速的关系。,一、简谐运动,1、特征,x=Asint,F回= - kx,运动学特征：,动力学特征：,v=vmcost,2、特点,端 点：,平衡位置：,x、F回、a、Ep最大,v、Ek为0,x、F回、a、Ep为0,v、Ek最大,周期性：,对称性：,x、F
2、回、a、 v、t有对称性,一、简谐运动,3、两种典型的简谐运动,（1）弹簧振子,运动轨迹是直线，回复力就是合外力，在平衡位置回复力为0，合外力为0。,（2）单摆,运动轨迹是曲线，回复力是合外力沿切线 方向的分力，在平衡位置回复力为0，合外 力不为0。,最大摆角小于100,T与m及A无关等时性,1、如图所示，边长为L的正方体木块浮于水面上，浸入水中的部分为正方体的一半，现将木块向下按下一小段距离后松手，不考虑空气阻力和水的阻力。试判断物体以后的运动是否为简谐运动？,平衡位置：,例与练,析与解,设按下去x(xl/2)释放时：,且方向向上，与位移方向相反简谐运动,小结：该类问题找回复力是前提，确定平
3、衡位置是关键，根据简谐运动的定义判断是出发点。,2、如图所示，一个三角形物块固定在水平桌面上，其光滑斜面的倾角为30。物体A的质量为mA0.5，物体B的质量为mB1.0（A、B均可视为质点），物体A、B并列在斜面上且压着一劲度系数为k125N/m的轻弹簧，弹簧的下端固定，上端拴在A物体上，物体A、B处于静止状态。（g取10m/s2） （1）求此时弹簧的压缩量是多大？ （2）将物体B迅速移开，试证明物体A在斜面上作简谐运动。 （3）将物体B迅速移开，物体A将作周期为0.4s的简谐振动，若以沿斜面向上的方向为正方向，请你在所给的坐标系中作出物体A相对平衡位置的位移随时间的变化曲线图，并在图中标明振
4、幅的大小。,例与练,析与解,（1）对A、B受力分析：,（2）移去B后A在平衡位置：,当A有沿斜面向下位移x时：,且方向沿斜面向上，与位移方向相反简谐运动,3、如图表示质点沿X轴方向做简谐运动的图象，下述正确的有（ ） A、振动图象是从平衡位置开始计时的 B、2s末质点的速度最大，加速度最大 C、3s末质点的速度最大，且方向为轴的正方向 D、5s末质点的位移为0，速度也为0,例与练,析与解,振子在端点速度和动能为0,位移、回复力、加速度和势能最大。,振子在平衡位置速度和动能最大,位移、回复力、加速度和势能为0。,4、卡车在行驶时，货物随车厢底板上下振动而不脱离底板，设货物作简谐运动以竖直向上为正
5、方向，其振动图象如图所示，则在图象上a、b、c、d四点中货物对车底板压力最小的是（ ） 、a点 、b点 、c点 、d点,例与练,析与解,对货物受力分析，如图所示：,G,N,货物做简谐运动的回复力是G与N的合力。,货物在最高点回复力最大， 且向下，则N最小。,5、弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，D点为BC的中点，E点为OC的中点，BC= 4cm，振子从B点开始运动，经过1s第一次到达C，则下列说法中正确的是 （ ） A、振子运动的振幅为4cm，周期为1s B、振子从D运动到E点的时间一定为0.5s C、振子从E运动到C再到E点的时间一定为0.5s D、振子从E运动到C再到E点的时间一
6、定大于0.5s,例与练,B,C,O,D,E,析与解,振子的运动周期为从B到C单程时间的2倍，即T=2s,振子在平衡位置附近速度大，在端点附近速度小,因此振子从E到C的单位程时间一定大于T/8,且等从C到E的单位程时间,6、如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后： （ ） A振子的振幅将增大 B振子的振幅将不变 C振子的振幅将减小 D电场强度不知道,不能确定振子振幅的变化,例与练,析与解,弹簧振子在加电场前，平衡位置在弹簧原长处，设振幅为A0,当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电
7、场，此位置仍为振动左端点，而且振子的运动仍是简谐运动，只是振动的平衡位置改在弹簧原长的右边，且此时弹簧伸长量x0= qE/k，则振子振动的振幅A=A0+x0，所以振子的振幅增大，正确答案为A,小结：弹簧振子在做简谐振动时，在平衡位置合力为零，当振子又受其它恒定外力作用时，平衡位置有可能随之而变，振子的运动相对于平衡位置对称,O,A,9.3cm,(思考题)水平弹簧振子质量为m=1kg，k=100N/m，振子与水平面之间的动摩擦因数为=0.1，将弹簧从原长位置拉长x=9.3cm后放手，物体将作阻尼振动， 已知在光滑水平面上的弹簧振子的周期为 求： 该弹簧振子作阻尼振动的周期 它经过多少时间停止运动
8、？,例与练,经过2.5T到F停止运动,所以：T=0.2s t=2.5T=1.57s,析与解,振子在运动中所受摩擦力f=mg=1N,振子重新平衡时弹簧形变量为x=f/k=1cm,7、用一个质量不均匀的摆球做测定重力加速度的实验。第一次悬线长为L1，测得振动周期为T1；第二次改变悬线长度为L2，并且测得此时单摆的振动周期为T2，试计算重力加速度值。,例与练,析与解,8、已知悬挂在地面附近的摆长为L的单摆的振动周期为T，地球半径为R，万有引力常量为G，求地球的平均密度。,例与练,析与解,9、有一个单摆，在地面上一定时间内振动了N次，将它移到某高山顶，在相同时间内振动了(N-1)次，则由此可粗略推算出
9、此山的高度约为地球半径的（ ）A、 B、 C、 D、,例与练,析与解,10、如图所示，一个半径为R的大球面镜固定在水平面，其最低点是O点将一只小球a从镜面上离O点不远处无初速释放，同时将另一只小球b从O点正上方某一位置由静止释放为使在b球第一次落到镜面上时两球就发生碰撞，那么b球开始下落时在O点正上方多高处？（两小球都可视为质点，不计摩擦和空气阻力）_。,例与练,析与解,A B C D E O,11、下图是将演示简谐运动图像的装置作变更，当盛砂漏斗下面的薄木板被匀加速地拉出时,摆动着的漏斗中漏出的砂在木板上形成的曲线如图示，A 、B、 C、 D、 E均为OO 轴上的点，AB=S1, BC=S2
10、,摆长为L（可视作不变）摆角小于5，则木板的加速度约为多少？,例与练,析与解,f 固=0.5HZ,由图象可知共振时单摆的振幅 A=8cm,由振动的能量 E=1/2kA2 = 1/2mvm 2, k/m=42/T2 = 2,12、如图示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球的最大速度为多少？（g=10m/s2）,例与练,析与解,二、简谐波,1、形成,介质：,波源：,2、特点,简谐运动,均匀连续弹性介质,（1）介质中各个质点都做简谐运动， 且各个质点振动的A、T、f都相同,（2）机械波传播波源振动的能量和振动 形式，介质中各质点不随波迁移,（4）波在波的传播方向
11、上均匀传播,（5）在一个周期内波在波的传播方向上向前传播的距离等于一个波长。,（3）后面质点总是重复前面质点的振动,二、简谐波,3、波速,定义式：,波速公式：,(1)波的传播速度与质点振动的速度是两个不同的概念,不能混为一谈。 (2)波速是由介质的性质决定的,与波的频率、质点的振幅无关，同类波在同一种均匀介质中，波速是一个定值. (3)当波从一种介质中进入另一种介质中时，波的频率不变，但是波的传播速度发生改变，波长与波速成正比发生改变。,注意：,二、简谐波,4、波动图象与振动图象,13、一列沿x正方向传播的简谐横波振幅为A，波长为，某一时刻波的图象如右图所示，在该时刻，质点P的坐标为（/2，0
12、），经过四分之一周期后，该质点的坐标为（ ） A(5/4，0) B (3/4，0) C(/2，A) D(/2，-A),例与练,析与解,机械波传播的是波源的振动形式，质点在各自的平衡位置附近（上下）振动动，并不随波迁移。P点横坐标不变/2 。,由“逆向爬坡”法可知：此时P点向下运动；经过四分之一周期，P点的纵坐标为-A,选项D正确。,14、一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图所示。已知此时质点F的运动方向向下，则（ ）A此波沿x轴负方向传播B质点D此时向下运动C质点B将比质点C先回到平衡位置D质点E振幅为零,例与练,15、已知：一简谐横波在某一时刻的波形图如图所示，图中位于a、b两处的质元
13、经过四分之一周期后分别运动到a、b处。某人据此做出如下判断：可知波的周期，可知波的传播速度，可知的波的传播方向，可知波的波长。 其中正确的是 （ ） A和 B和 C和 D和,例与练,析与解,从波形图可知波长为4m。,因经过四分之一周期，此时b向下运动，则波向右传播。,选项C正确。,16、一列横波沿x轴正方向传播，波速 50m/s，S为上下振动的振源，频率 40Hz，在x 轴上有一质点P， P与S在x 轴上的距离为 6.5m，当S 刚好通过平衡位置向上运动时，质点P的运动情况是（ ） A刚好到达x轴上方最大位移处 B刚好经过平衡位置 C经过x轴上方某位置，运动方向向下 D经过x轴下方某位置，运动
14、方向向上, =v/f=1.25m S=6.5m=5. 2 ,画出符合题意的波形图：相距5.2 的波长与相距1.2 处的振动情况相同。,例与练,析与解,17、有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10Hz，振动方向沿竖直方向当绳上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距0.6m处的质点Q刚好到达最高点由此可知波速和传播方向可能是( ) （A） 8m/s，向右传播 （B） 8m/s ，向左传播 （C） 24m/s ，向右传播 （D） 24m/s ，向左传播,若向右传播，画出波形图，,S=（n+1/4）=0.6,v = f=24 /（4n+1） C正确,若向左传播，画出波形图，,S=（n+3/
15、4）=0.6,v = f=24 /（4n+3） B正确,例与练,析与解,P点振动方向向下，,经过3/4T第一次到达波峰，,3/4T=0.25s T=1/3s,共经过1s为3T，经过3T时的波形与t=0时的波形相同，P点仍在平衡位置， P点振动方向向下。,18、一列横波沿+x轴传播，某时刻的波形如图所示，经过0.25s，x=2m处的P点第一次到达波峰位置，此后再经过0.75s，P点的位移和速度可能是 ( ) A位移是2cm，速度为零 B位移是-2cm，速度为零 C位移是零，速度方向向上 D位移是零，速度方向向下,例与练,析与解,v=1m/s f=2.5Hz =v/f=0.4m T=0.4s s=
16、0.2m=/2 t=0.1s=1/2 T,画出t=0时刻波形如图示,画出t=0.1s时刻波形如图示,19、如图所示,在xy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐横波,波速为1m/s/秒,振幅为4cm,频率为2.5Hz.在t=0时刻,P点位于其平衡位置上方最大位移处,则距P为0.2m的Q点 ( ). (A)在0.1s时的位移是4cm (B)在0.1s时的速度最大 (C)在0.1s时的速度向下 (D)在0到0.1秒时间内的路程是4cm。,例与练,析与解,T=4s =vT= 4m 画 出t=0时的波形图（实线）和t=1s 时的波形图（虚线）,20、如图，沿波的传播方向上有间距均为1米的六个质点a、b、c、
17、d、e、f，均静止在各自的平衡位置，一列横波以1m/s的速度水平向右传播，t=0时时到达质点a，质点a开始由平衡位置向上运动，t=1s时，质点a第一次到达最高点，则在4st5s这段时间内 ( ) （A）质点c 的加速度逐渐增大 （B）质点a 的速度逐渐增大 （C）质点d 向下运 动 （D）质点f 保持静止,例与练,析与解,21、在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个点，相邻两质点的距离均为L，一列简谐横波沿直线向右传播，t=0时到达质点1，质点1开始向下运动，经过时间t前9个质点第一次出现如图所示的波形。求此波的周期、波长和波速。,例与练,析与解,因质点1开始向下运动，则质点9开始运动时也
18、向下运动。,由此时的波形图可知，此时质点9在平衡位置将向上运动，因此质点9已经运动了T/2,即t=T+T/2=3T/2,所以T=2t/3,由此时的波形图可知，波长=8L,所以波速V=/T=12L/t,画出 t=0时波形如图,3/4=1m =4/3m,T=410-3 s,v= /T=333m/s,22、简谐波沿x轴正方向传播，已知轴上x1=0和x2=1m处两质点的振动图象如图a、b示，又知此波的波长大于1m，则波的传播速度是多少？,例与练,析与解,画出符合题意的波形图：,S=（n+3/4）=14m,=56 / （4n+3） m,t=1.0s =（k+1/4）T,T=4 / （4k+1）s,f=
19、（4k+1）/4 Hz,v=f=14 （4k+1）/ （4n+3）,k=0 n=0 v=4.67m/s,k=1 n=1 v=10m/s,23、一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点,相距14.0米,b点在a点的右方.当一列简谐横波沿此长绳向右传播时,若a点的位移达到正极大时,b点的位移恰为零,且向下运动.经过1.00秒后,a点的位移为零,且向下运动,而b点的位移恰达到负极大,则这简谐横波的波速可能等于 ( ). (A) 14m/s (B) 10m/s (C) 6m/s (D) 4.67m/s,例与练,析与解,24、一列沿直线传播的横波，某一时刻直线上相距为d的AB两点处于平衡位置，如图示，且AB
20、之间只有一个波峰，若经过时间t后，质点B 第一次到达波峰位置，则这列波可能的波速为： （ ） A. d/2t B. d/4t C. 3d/4t D. 3d/2t,例与练,=2d t=T/4 T=4t v=/T=2d/4t=d/2t,=d t=3T/4 T=4t /3 v= /T= 3d/4t, =d t=T/4 T=4t v= /T=d/4t, =2d /3 t=3T/4 T=4t/3 v= /T=2d/4t=d/2t,选A B C,析与解,=2d T = / v =2d / v t=3T/4= 3d /2 v, =d T = / v =d / v t=3T/4= 3d /4 v, =d T
21、= / v =d / v t=T/4= d /4 v, =2d/3 T = / v =2d /3 v t=T/4= d /6 v,25、一列简谐波向右传播，波速为v，沿波的传播方向上有相距为d的P、Q两质点，（P在左，Q在右）如图示，某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间只有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷，则t 的取值可能有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,例与练,=4m,波向左传播:,t=0.1s =（n+1/4）T, T=0.4（4n+1）,v=/T=10（4n+1）m/s,波向右传播:,t=0.1s=（n+3/4）T, T=0.4（4n+3）,v
22、=/T=10（4n+3）m/s,26、一列横波沿x轴传播，t1与t2时刻的波形分别如图中的实线和虚线所示，已知t2-t1=0.1s，这列波的速度可能是（ ） A10 m/s B30 m/s C40 m/s D50 m/s,例与练,析与解,（n=0,1,2）,27、一列简谐横波在x轴上传播，在t1=0与t2=0.05s时，其波形图分别用如图所示的实线和虚线表示，求： (1) 这列波可能具有的波速 (2) 当波速为280m/s时，波的传播方向如何？此时图中质点P从图中位置运动至波谷所需的最短时间是多少？,例与练,设波向右传播：,析与解,设波向左传播：,所以波向左传播,由波动图象知:=8m,P质点第
23、一次达到波谷的相同时间里，波向左移动了7m，所以所需最短时间为,28、如图，实线为某一时刻一列横波的图像，经0.5s后，其波形如图中虚线所示。设该波周期T0.5s，(1)试求该波波速；(2)若波速为1.8m/s，则波的传播方向如何?,例与练,设波向左传播：,析与解,设波向右传播：,析与解,所以波向右传播,29、波源S从平衡位置y=0开始振动，运动方向竖直向上（y轴的正方向） ，振动周期T=0.01s，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为v=80m/s，经过一段时间后，P、Q两点开始振动，已知距离SP=1.2m、SQ=2.6m，若以Q点开始振动的时刻作为计时的零点，则在图2的振动图象中，能
24、正确描述P、Q两点振动情况的是（ ） A.甲为Q点的振动图象 B.乙为Q点的振动图象 C.丙为P点的振动图象 D.丁为P点的振动图象,例与练,30、已知平面简谐波在x轴上传播，原点O的振动图线如图a 所示，t 时刻的波形图线如图b 所示，则 tt0.5S 时刻的波形图线可能是（ ）,例与练,由M点的速度方向可知波向右传播,波长=4m，T=0.4s A=10cm t=1.5s=3.75T,t=1.5s时的波形为原波形向右移动3.75，如图中的虚线所示,31、一列横波沿x轴传播，波速10 m/s已知t=0时刻的波形图像如图所示，图中M处的质点此时正经过平衡位置沿y轴正方向运动，在图中画出t=1.5
25、s时的波形图像,例与练,析与解,例与练,32、如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K是均匀弹性介质的质点，相邻两点间的距离都是0.5m.，质点A从t0时刻开始沿y轴方向振动，开始时的运动方向是指向y轴的正方向，振幅为2cm，经过0.1s时间，A第一次到达最大位移处，此时波恰好传到C点，求： （1）波长和波速. （2）在图中画出t0.45s时刻的波形图.,33、如图所示，O点是一列沿X轴传播的简谐横波的波源，从O点刚振动开始计时，经0.2s波传播到离O点距离为4m的A点，求： （1）再经多长时间离O点距离为10m的B点第一次到达波谷？ （2）在图上画出B点第一次到达波谷时的波形图。
26、,例与练,34、一列振幅是2.0厘米,频率是4.0赫兹的简谐横波,以32厘米/秒的速度沿x轴的正方向传播，在某时刻,x坐标为-7.0厘米处的介质质点正好经平衡位置且向y轴正方向运动.试在图 中画出此时刻的波形图(要求至少画出两个波长).,例与练,4m,A,B,C,3m,5m,=v/f=340/1360=0.25m，,设在BC连线上有一点D， CD=x ，连接AD,n=4、511 共8个值,35、如图示：空间同一平面内有A、B、C三点, AB=5m,BC=4m, AC=3m, A、C两点处有完全相同的波源,振动频率为1360hz，波速为340m/s，则BC连线上振动最弱的位置有 个。,例与练,析
27、与解,36、半径为45m的圆形跑道，AB为直径，现将两个相同的喇叭分别放在圆心O和A点，它们发出两列波长均为10m的相干声波，若一个人在B点听到的声音恰好最弱，则该人从B点沿半圆跑到A点之前，还会遇到几次声音最弱的地方： A.4次 B. 6次 C.8次 D.10次,两列波干涉减弱的条件是：d=(2n+1)/2,在圆周上任取一点P,连接PA、 PO 、 PB,d1-d2=PA-PO=2Rcos- R = 5 (2n+1),2cos -1= (2n+1)/9,则cos =(n+5)/9,0cos 1,0 (n+5) 9 n可以取8个不同值,例与练,析与解,4,8,2,6,37、如图所示，两列简谐横波均沿x轴传播，传播速度的大小相等，其中一列沿+x方向传播（图中实线所示），一列沿-x方向传播（图中虚线所示）。这两列波的频率相等，振动方向均沿y轴，则图中x=1,2,3,4,5,6,7,8各点中振幅最大的是x= 的点，振幅最小的是 x= 的点。,例与练,经过t=7l/v 时，波传播的距离为x=vt=7L,即两波分别向中间平移7格，如图示虚线所示：,由波的叠加原理，作出合位移的波形如图蓝线所示,38、A、B两波相向而行，在某时刻的波形与位置如图所示.已知波的传播速度为v，图中标尺每格长度为L，在图中画出又经过t=7L/v 时的波形.,例与练,析与解,
