1、23.2 平面与平面垂直的判定,一、阅读教材P6769，回答： 1从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做 ，这两个半平面叫做棱为l，面分别为、的二面角记作： . 2在二面角l的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面和内分别作 ，则 叫做二面角的平面角 二面角的大小用其 来度量其取值范围为 ,半平面,棱,二面角的面,l,垂直于棱l的射线OA和OB,射线OA和OB构成的AOB,平面角,0，180,3平面角是 的二面角叫做直二面角如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，就称这两个平面 4二面垂直的判定 平面角是直角 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 ，则这两个平面互相垂
2、直,直角,互相垂直,垂线,二、解答下列问题 1过平面外一点P，作与垂直的平面可以作出 个，所作的垂直于的平面有什么共同特点？,无数,都经过过P与垂直的直线,2直线l平面，过l能否作出平面？若能作出，可作几个？(1)l时，能作无数个 (2)l与斜交时，只能作一个,3已知空间四边形ABCD中，ACAD，BCBD，且E是CD的中点，求证： (1)平面ABE平面BCD； (2)平面ABE平面ACD.,解析 如图ACAD，BCBD，E是CD的中点 AECD，BECD， CD平面ABE， CD平面BCD，CD平面ACD，平面ABE平面BCD，平面ABE平面ACD.,本节学习重点：二面角的概念和面面垂直的判
3、定 本节学习难点：二面角的找法 综合应用,1二面角的概念是平面几何中角的概念的扩展和延伸，现将二者比较如下表.,2.由定义可知，一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则AOB就是二面角l的平面角二面角的平面角的大小与棱上一点位置的选取无关,3计算二面角的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有： (1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角 (2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角 4求二面角的思路是“一作、二证、三算”,例1 如图所示，已知ABC中，AB
4、C90，P为ABC所在平面外一点，PAPBPC.求证平面PAC平面ABC.,分析 设P在平面ABC内射影为O，PAPBPC，OAOBOC，O为RtABC的外心，即AC中点 证明 取AC中点O，连接PO，OB.因为AOOC，PAPC，所以POAC.因为ABC90，所以OBOA.又PBPA，POPO，所以POBPOA，所以POBPOA，即POOB.所以PO平面ABC.因为PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC.,已知RtABC中，ABAC1，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕将ABD折起，使BDC成直角 求证：(1)平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC； (2)BAC60.,证明 (1)如
5、图(1)，ADBC，折起后，ADBD，ADDC， AD平面BDC. 平面ABD和平面ACD都经过AD， 平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC.,例2 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，O为AC与BD的交点，求证： (1)EG平面BB1D1D； (2)平面BDF平面B1D1H； (3)A1O平面BDF； (4)平面BDF平面AA1C.,(2)B1D1BD，且B1D1与BD分别为平面BDF外与平面BDF内的直线，B1D1平面BDF， 又由O1HAC1，OFAC1， O1HOF，而OF平面BDF，O1H平面BDF， O1H平面BDF
6、， 又B1D1交O1H于O1点， 平面BDF平面B1D1H.,(4)由(3)知，A1O平面BDF， 而A1O在平面AA1C上， 平面BDF平面AA1C.,点评 线线、线面、面面三者之间的关系如下所示：近几年高考立体几何题注重融推理与运算于一体，论证中有运算，运算中有概念的准确理解和定理的正确运用，推理与运算交互为用，相辅相成本题第(3)问就是一典型范例.,例3 三棱锥ABCD中，ABBCCDDAa，对角线ACa，BD a，求二面角ABDC的大小 分析 据二面角的平面角定义，应在两个面ABD与BCD内过棱BD上一点作棱BD的垂线，据题设条件ABAD，BCCD，只要取BD中点O，即可得到垂线，然后
7、通过解三角形求出角的大小,解析 取BD的中点为O，分别连AO、CO ABAD，BCCD AOBD，COBD AOC为二面角ABDC的平面角,OA2OC2AC2 AOC90 即二面角ABDC的大小为90.,总结评述：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出AOC为二面角ABDC的平面角，通过解AOC所在的三角形求得AOC，其解题过程为：作AOC证AOC是二面角的平面角计算AOC，简记为“作、证、算”,平面P内有一个圆，直径为AB，过A作SA平面P，C为 上任意一点，连结SB、SC， (1)求证：平面SAC平面SBC； (2)若A在SB、SC上的射影分别为E、F，
8、 求证：AEF为二面角CSBA的平面角,解析 (1)SA平面P，BC平面P，SABC. 又AB为圆的直径，故BCAC， 因此BC平面SAC，可得平面SAC平面SBC. (2)BC平面SAC，AF平面SAC，BCAF， 又AFSC，SCBCC， AF平面SBC， AFSB.又AESB，SB平面AEF. AEF为二面角CSBA的平面角,例4 如图：一山坡的坡面与水平面成30的二面角，坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30的角，沿这山路行走20米后升高了多少米？,解析 如图，作BH水平面，垂足为H，过H作HC坡脚线，垂足为C，连BC，则BAC30，由BHAC，HCAC知，AC平面BHC，从而BC
9、AC BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角 BCH30 在RtABC中和RtBCH中， AB20 BC10，BH5(米)， 答：升高了5米,例5 如图，过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PAABa，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小,分析 由CDAB可知，CD平面PAB，设平面PCD平面PABl，则CDl，ABl，故只须在平面PAB内过P作PQAB， 则PQ为二面角的棱，由PA平面ABCD知PAAB， 又ABAD，AB平面PAD，即知PQ平面PAD，APD为二面角的平面角,解析 过P作PQAB，ABCD，CDPQ PQ为平面PCD与平面PAD所成二面角的棱， PA平面ABC
10、D，PAAB， 又ABAD，AB平面PAD， 又PQAB，PQ平面PAD， APD为二面角DPQA的平面角 ADABPA，PADRt，APD45， 即平面PAB与平面PCD所成二面角大小为45.,总结评述：此题易证AB平面APD，PQAB，PQ平面APD.PA与PD是垂直于二面角的棱PQ的平面与二面角的两个面PAB和PDC的交线，这两条交线所成的角，就是二面角的平面角也就是说，作一个平面与二面角的棱垂直，这个平面与二面角的两个面的两条交线所成的角为二面角的平面角或其补角,解法探究：如下图将原图形补成正方体ABCDPQRS，那么本例的解题途径能更简捷地得到，这种补形法是解决空间问题的一种重要方法
11、,例6 二面角l与a满足平面平面，平面平面，且两二面角大小分别为1和2，则1和2的关系为_ 错解 在如图(1)位置时，1与2互补；在如图(2)位置时，1与2相等，故填12或1与2互补,辨析 将平面几何中的命题(“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”)错误类比到立体几何中，事实上，它在立体几何中是不成立的 满足条件的平面位置关系还有其它情形如图(3)，只要直线a平面，且平面平面，过a任作一个平面均适合条件，由于二面角a的大小可随意改变，因此，满足题设条件的两个二面角的平面角的大小关系是不确定的,正解 1与2的大小关系不能确定 只要直线a平面，且直线l平面，过a任作一
12、个平面均适合条件，由于二面角a的大小可随意改变，因此，满足题设条件的两个二面角的平面角的大小关系是不确定的,一、选择题 1二面角是指 ( ) A一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形 B一个半平面与另一个半平面组成的图形 C从一条直线出发的两个半平面组成的图形 D两个相交平面组成的图形 答案 C,2如图，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有 ( ) A2对 B3对 C4对 D5对 答案 D解析 平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、平面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平面PBC，故选D.,二、填空题 3下列四个命题中，正确的命题为_(填序
13、号) ，则 ，则 ，则 ，则 答案 ,三、解答题 4在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面ACD1平面BDD1B1. 解析 BB1平面ABCD，BB1AC，又ABCD为正方形，BDAC，AC平面BDD1B1 又AC平面AD1C，平面AD1C平面BDD1B1.,5如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C. 求证：(1)EF平面ABC； (2)平面A1FD平面BB1C1C.,解析 (1)E，F分别是A1B，A1C的中点，EFBC， 又EF面ABC，BC面ABC，EF平面ABC. (2)直三棱柱ABCA1B1C1， BB1平面A1B1C1，BB1A1D，又A1DB1C， A1D平面BB1C1C，又A1D平面A1FD， 平面A1FD平面BB1C1C.,
