1、整式的乘法要点全析1幂（1）定义：求 n 个相同因数积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂即 an个 an其中， a 是底数相同因数之一， n 是指数（次数）相同因数的个数对于 an可从两个方面理解： an表示乘方运算，读作 a 的 n 次方，则 an个 an表示乘方运算的结果，读作 a 的 n 次幂，则个 an幂【说明】 （1） an表示 an的相反数，可读作“负的 a 的 n 次幂” ，底数是 a，指数是n， an个（2） （ a） n表示 n 个（ a）连乘，可读作“负 a 的 n 次幂” ，底数是 a，指数是n， （ a） n个 ）（ ） （ （ )（2）幂的性质：正数的任何次幂都是正
2、数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数规定：0 的任何正整数次幂都是 0因此，在进行幂的化简或有关运算时，要首先判断底数的正负，再看指数的奇偶，然后据法则确定幂的符号，而幂的绝对值等于各因数的绝对值的积幂可参与加、减、乘、除、乘方等运算2同底数幂的乘法（1）法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加用字母表示： aman am n（ m、 n 都是正整数） 由乘方定义可知：aman a个 an个 an个 )( am n【说明】 （1）表达式中的 m、 n 都为正整数， a 表示代数式，如单项式、多项式等（2） “法则”的使用条件是“ 同底数幂相乘” ，底数不变，只把指数相加减作为积的指数（2）
3、法则可推广：如 amanap am n p；（ a b） x（ a b） y（ a b） x y3幂的性质（1）若同底数的幂相等，则幂指数也相等若 am an，则 m n例如：若 2x16，则 x_解： 162 4， 2 x2 4， x4（2）同指数的幂相等，当指数为偶数时，则底数相等或互为相反数；当指数为奇数时，则底数相等即已知 an bn，当 n 为奇数时， a b；当 n 为偶数时， a b或如果 a2n b2n，那么 a b 或 a b；如果 a2n1 b2n1 ，那么 a b4法则 aman am n可逆运用，即 am n aman来源 :Zxxk.Com如 a6 aa5 a2a4
4、a3a3；22 0042 2 0052 2 00422 2 004（12）2 2 0042 2 0045幂的乘方来源:Z,xx,k.Com（1）法则（性质）：语言表达：幂的乘方，底数不变，指数相乘表达式：（ am） n amn（ m、 n 都是正整数） （2）注意事项：“ m、 n 都是正整数”是表达式的一部分 幂的乘方，根据是乘方的意义和同底数的幂相乘，它的底数不变，指数相乘可推广：（ am） np amnp a 是代数式6积的乘方（1）法则（性质）：语言表达：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘表达式：（ ab） n anbn（ n 为正整数） （2）注意事项：“ n
5、为正整数”是表达式的一部分积的乘 方，根据是乘方的意义和同底数的幂相乘，它是把积中每一个因式分别乘方，不能出现（ xy） 2 xy2，21a a2可推广：（ abc） n anbncn系数是积的一个因式如（2 ax2） 3（2） 3a3（ x2） 38 a3x6，（ a） n（1） nan an7幂的乘方的意义及运用（ am） n个nm（乘方意义）个 nm amn如（ a4） 3 a4a4a4 a444 a43 a12可直接运用 公式计算：（ a4） 3 a43 a128积的乘方的意义及运用（ ab） n个个个nbb个n个nb anbn如（ 2 x2y3） 2（2 x2y3） （2 x2y3）
6、（2） （2） （ x2x2） （ y3y3）4 x4y6来源:学科网 ZXXK运用公式：（2 x2y3） 2（2） 2（ x2） 2（ y3） 24 x4y69幂的乘方与积的乘方的逆运用（1）性质（ am） n amn的逆运用当 m、 n 为偶数时， amn（ am） n（ an） m当 m、 n 为奇数时， amn（ am） n（ an） m例如： a6（ ） 3（ ） 2已知 x2n3，则 x10n_ _解： a6（ a2） 3（ a3） 2 x10n（ x2n） 53 5243（2）公式 anbn（ ab） n的运用例如：4 x2y2（2 xy） 2， 0.5 2 00222 002（
7、0.52） 2 0021（3）灵活运用幂的乘方，积的乘方，同底数的幂以及幂的其他性质，求解问题例如：求一个整数 n 次幂的个位数字；比较大小；求未知量一个整数 N 的 n 次幂的个位数字如下表所示：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9N1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9来源:Z。xx。k.ComN2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1N3 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9N4 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1N5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9N6 由上表可以看出：个位数字是 0，1，5，6 的整数，对其无论乘方多少次，幂的个位数字仍然依次是0，1，5，6个位
8、数字是 4 和 9 的整数，它们的 2n1 次幂的个位数字分别是 4 和 9；2 n 次幂的个位数字分别是 6 和 1来源:Z,xx,k.Com个位数字是 2，3，7，8 的整数，它们的幂的个位数字随乘方次数的逐渐增加乘方四次一个周期如上表所示例 1：求 22 00232 003的个位数字解： 2 2 00232 0032 45002 345003 ，由此可知 245002 的个位数字是循环 500 个周期再乘方两次， 个位数字应是4，3 45003 的个位数字是循环 500 个周期，再乘方三次， 个位数字应是 7 2 2 00232 003的个位数字是 8或 22 00232 003（23）
9、 2 00236 2 0023， 6 2 002的个位数字是 6，又 6318， 此式的计算结果个位数字是 8例 2：比较 266，2 33，2 44的大小解析：可通过三种方法比较大小：化为同底数；化为同指数；计算后比较（计算量大，此法不可取） 此题采用第 2 种方法解： 2 66（2 6） 11，2 33（2 3） 11，2 44（2 4） 11，又 2 62 42 3， （2 6） 11（2 4） 11（2 3） 11即 2662 442 33来源:学科网 ZXXK10单项式的乘法法则一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的
10、一个因式11运用单项式的乘法法则应注意的事项（1）因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换律、结合律，可作为单项式乘法的依据如：（4 a2c） 3（3 ab）64 a6c3（3 ab） （据积的乘方）64（3）（ a6a） bc3（据乘法交换律、结合律）192 a7bc3（有理数的乘法，同底数幂的乘法） （2）法则分乘式里的系数，相同字母，不相同字母三部分积的系数等于各因式系数的积，这是有理数的乘法，应先确定符号，再计算绝对值相同字母相乘，是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要把这个因式丢掉单项式乘法法则对于三个以上的
11、单项式相乘同样适用如：3xy2yx212xyz（ xx2x）（ y2yy） z2 x4y4z单项式乘单项式的结果仍是一个单项式12单项式乘单项式法则的逆运用已知单项式 A、 B 的积为 C，那么可记为 AB C，可据此相等关系，求 A、 B、 C 中的某一个未知量，如 A， B， C 中的某一个字母的指数、底数例如：已知（3 a2bm）（ kanb3） 33 a4b10，求 m、 n、 k 的值解：等式可化为；3 a2bm（ k3a3nb9）3 a4b10 3 k3a3n2 bm9 3 a4b10由单项式的乘法法则可得：， ， ， 10923n ， ， 132mn13单项式与多项式的乘法法则单
12、项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加可用 m（ a b c） am bm cm 表示这里的 a， b， c 都表示单项式14运用单项式与多项式的乘法法则时应注意的事项（1）单项式与多项式相乘，根据分配律，用单项式乘多项式的各项，就将其转化为单项式的乘法，不可漏乘（2）作乘法运算时，要注意单项式的符号和多项式的每一项的符号如：原式（4 x） （3 x3）（4 x） （2 x2）（4 x） （ x）（4 x） （1）12 x48 x34 x24 x也可以这样计算：来源:Z,xx,k.Com原式（4 x3x34 x2x24 xx4 x1）（12 x48 x34
13、 x24 x）12 x48 x34 x24 x（3）单项式与多项式的积的项数不多于因式中多项式的项数来源:学|科|网 Z|X|X|K一般 地，乘积是几个单项式的代数和，有同类项时，一定要合并同类项因合并同类项，其结果可能是单项式或项数小于因式中多项式的项数的多项式15多项式的乘法法则一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加可用算式图表示：即（ a b） （ m n） am an bm bn16运用多项式乘法法则时的注意事项（1）多项式的乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的即（ a b）（ m n）是把（ m n）看成是一个单项式，
14、运用单项式与多项式的乘法法则运算的，为（ a b） （ m n） a（ m n） b（ m n） 再用单项式与多项式的乘法进行计算，得（ a b） （ m n） am an bm bn（2）两个多项式相乘，是把一个多项式的每一项，分别与另一个多项式的每一项相乘，再把它们的积相加，要注意不可漏乘（3）两个多项式相乘，它们的积是和的形式，在没合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积如（ m n） （ a b c）的积的项数在没合并前，应是 236项也就是说，多项式的积的项数不大于各多项式的项数的积（4）进行乘法运算时，要注意确定积中各项的符号（5）在进行计算含有一个相同字母的 两个一次二项
15、式相乘时，可借助下列公式进行快速运算：（ x a） （ x b） x2（ a b） x ab，其中 a、 b 为有理数或代数式如：（ x2） （ x3） x25 x6；（ x2） （ x3） x2 x6；（ x2） （ x3） x25 x6当 a b 时，公式变为（ x a） （ x b）（ x a） 2 x22 a a2来源:Z&xx&k.Com（ 6）在计算形如（ a b） 3的形式时，目前可化为：（ a b） 3（ a b） （ a b） （ a b）（ a22 ab b2） （ a b） a32 a2b ab2 a2b2 ab2 b3 a33 a2b3 ab2 b317逆用多项式 的乘
16、法法则可求未知量因为多项式的乘法运算是恒等变形，可运用恒等式的性质例如：（ x3） （ x2） x2 Ax B求 A、 B解： （ x3） （ x2） x2 x6， x2 x6 x2 Ax B， A1， B6来源:学科网18可逆用公式（ x a） （ x b） x2（ a b） x ab，即：x2（ a b） x ab（ x a） （ x b） ，把一类多项式化成两个含有同一个字母的一次二项式的积 的形式如： x25 x6 x2（23） x23（ x2） （ x3） ； x2 x6 x2（32） x（3）2（ x3） （ x2） 19可利用多项式的乘法解 方程（组）或不等式（组）例如：解方程组 ） （） （） （ 0)41yy解：由得 3x y8 得 x2 y2， ， 2
