非线性系统的自适应控制导论.docx-道客多多

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1、非线性系统的自适应控制导论周东华编著清华大学出版社施普林格出版社( 京 ) 新登字 158 号内容简介本书主要介绍线性系统自适应控制的典型方法 , 以及基于强跟踪滤波器理论的非线性系统的自适应控制 , 基于模糊集理论的非线性系统的自适应控制 , 基于神经元网络理论的非线性系统的自适应控制 , 鲁棒自适应控制的基本知识 , 以及非线性系统

2、的鲁棒自适应控制方法。本书适于作为机电控制类的研究生教材 , 同时对从事自动化系统的研究、设计、开发和应用的广大工程技术人员也有一定的参考价值。书名 : 非线性系统的自适应控制导论作者 : 周东华编著出版者 : 清华大学出版社施普林格出版社北京清华大学学研大厦 , 邮编 100084 h tt p : / / www .t up .t singhu a .edu .cn印刷者

3、: 印刷厂发行者 : 新华书店总店北京发行所开本 : 787 1092 1/ 16 印张 : 10 .25 字数 : 217 千字版次 : 2001 年 9 月第 1 版 2001 年 9 月第 1 次印刷书号 : ISB N 7-302-04479-1/ T P 2643印数 : 0001 0000定价 : 00 .00 元前言自适应控制的发展已有 40 多年的历史 , 并且在近 20 多年里得到了飞速的发展 , 已成为当代自动控制界的少数热门前沿研

4、究领域之一。大批的科技工作者在从事自适应控制的研究与应用开发工作 , 每年都有数千篇的学术论文与研究报告问世。自适应控制理论已经在航空航天、机器人、冶金、造纸、啤酒酿造、航海、水电站、机车控制、化工、窑炉控制、水下勘探等众多的工程技术领域得到了成功的应用 , 取得了显著的社会效益与经济效益。任何自适应控制系统

5、都是非线性系统。自适应控制的主要理论基础是随机过程、线性代数、系统辨识、稳定性理论等。一些新兴的理论与技术 , 如 : 模糊集理论、人工神经元网络、小波变换和遗传算法等 , 对自适应控制理论的发展也起到了很大的推动作用。我们在清华大学自动化系研究生课程的教学过程中发现 , 国内还没有一本比较系统性地介绍非线性系统自适应

6、控制的教材 , 而非线性系统的自适应控制已成为当前自适应控制领域的热点研究方向。因此在机电类研究生中开设非线性系统的自适应控制课程已具有一定的迫切性 , 这正是我们撰写这本教材的源动力之一。我们深信 , 本书的出版将会对我国非线性系统的自适应控制理论的教学与科研工作起到一定的促进作用。作为一本非线性系统自适应控制

7、的导论性教材 , 本书共分为 7 章。第 1 章介绍一些基础知识 , 包括 : 特殊矩阵 ; Lp 空间 , 范数及矩阵的几种重要分解 ; 动态系统的稳定性 ; 指数稳定性定理 ; 正实函数 ; 超稳定性的基本概念等。第 2 章介绍一些线性系统自适应控制的典型方法 , 包括 : 最小方差自校正调节器 , 广义最小方差控制器 , P ID 自整定控制器 , 基于 L yap unov 稳定性

8、理论的模型参考自适应控制器 , 以及基于超稳定性理论的模型参考自适应控制器的基本内容。这些内容构成了经典线性系统自适应控制的最核心部分。第 3 章介绍基于强跟踪滤波器理论的非线性系统的自适应控制方法 , 这也是作者近年来的研究成果。第 4 章介绍基于模糊集理论的非线性系统的自适应控制方法。第 5 章给出前言基于神经元网络理

9、论的非线性系统的自适应控制方法。第 6 章介绍鲁棒自适应控制的基础知识 , 包括 : 鲁棒性的基本概念 , Rohrs 的关于存在未建模动态时的自适应算法的鲁棒性问题 , 以及吴宏鑫教授等提出的黄金分割法在鲁棒自适应控制器设计中的应用。本书的最后一章介绍三种非线性系统的鲁棒自适应控制方法 , 分别是 : 具有结构非线性扰动的一类动态系

10、统的鲁棒自适应采样数据控制 , 具有测量干扰的基于神经网络的非线性系统的鲁棒自适应控制 , 以及机械臂的鲁棒自适应控制。本书的主要内容都选自近年来发表在国际著名学术刊物上的代表性文章。因此 , 本书也适用于立志从事非线性系统自适应控制理论研究的学者作为导论性的读物。由于时间仓促和编者的学术水平有限 , 书中肯定会有不

11、少错误 , 恳请广大读者批评指正。本书第 3 章所介绍的研究成果曾得到了国家自然科学基金会和教育部有关项目的资助 , 本书的出版还得到了清华大学 985 学科建设经费的资助 , 在此表示衷心的感谢。周东华2001 年 3 月于清华园目录第 1 章基础知识 11 .1 记号 11 .2 特殊矩阵 11 .3 Lp 空间、范数及矩阵的几种重要分解 41 .3 .1 矩阵的 U R 分解及

12、其推论 51 .3 .2 舒尔引理与正规矩阵的分解 71 .3 .3 矩阵的奇异值分解 91 .4 动态系统的稳定性 111 .4 .1 稳定性定义 131 .4 .2 Lya punov 稳定性理论 141 .5 指数稳定性定理 151 .5 .1 线性时变系统 ( L T V ) 的指数稳定性 151 .5 .2 线性时不变系统 ( L T I ) 的指数稳定性 161 .6 正实函数 171 .7 超稳定性的基本概念 20参考文献 21

13、第 2 章线性系统的自适应控制 222 .1 最小方差自校正调节器 222 .1 .1 最小方差调节器的特性 242 .1 .2 自校正最小方差调节器的算法 25 目录2 .2 自校正控制器 : 广义最小方差控制策略 272 .3 具有辅助模型的自校正控制器 282 .3 .1 稳态误差分析 302 .3 .2 自校正控制器算法 302 .4 用广义最小方差原理设计 P ID 自整定控制器 322 .5 用

14、Ly apunov 稳定性理论设计模型参考自适应控制系统 362 .6 用超稳定性理论设计 MR A C 系统 38参考文献 43第 3 章基于强跟踪滤波器理论的非线性系统的自适应控制 443 .1 引言 443 .2 一般模型控制的基本原理 453 .3 强跟踪滤波器 483 .4 基于参数估计的自适应 G MC 方法 503 .4 .1 基于参数估计的自适应 GMC 的基本原理 503 .4 .2 CST R 的

15、仿真结果 513 .4 .3 三容水箱的仿真和实验结果 533 .5 基于输入等价干扰的自适应 G MC 方法 603 .5 .1 输入等价干扰的定义 603 .5 .2 基于输入等价干扰的自适应 GMC 的基本原理 613 .5 .3 模型的状态能观性证明 623 .5 .4 三容水箱的实验结果 643 .6 基于线性辨识模型的鲁棒 G MC 方法 683 .6 .1 基本原理 683 .6 .2 问题和假设 693 .6

16、.3 鲁棒 GMC 控制器设计 703 .6 .4 强跟踪滤波器设计 713 .6 .5 仿真结果 723 .7 结束语 74参考文献 75第 4 章基于模糊集理论的非线性系统的自适应控制 774 .1 引言 774 .2 模糊控制器的基本特性 784 .3 模糊模型参考自适应控制 81目录目录4 .4 仿真研究 834 .5 结束语 87参考文献 87第 5 章基于神经元网络理论的非线性系统的自适应控制 885

17、.1 引言 885 .2 输入输出反馈线性化 895 .2 .1 问题的形成 895 .2 .2 理想的隐含反馈线性化控制 905 .3 多层神经元网络 925 .4 基于 MN N s 的直接自适应控制 945 .5 仿真研究 995 .6 结束语 102参考文献 103第 6 章鲁棒自适应控制的基本知识 1056 .1 自适应控制的鲁棒性问题 1056 .2 存在未建模动态时自适应算法的鲁棒性问题 1066 .2 .1

18、一个有代表性的自适应算法的误差模型结构 1076 .2 .2 无穷增益算子 1096 .2 .3 仿真研究 1136 .2 .4 小结 1166 .3 黄金分割原理在鲁棒自适应控制器设计中的应用 1186 .3 .1 差分方程系数的取值范围 1186 .3 .2 黄金分割在稳定对象自适应鲁棒控制器设计中的应用 1196 .3 .3 黄金分割在不稳定对象自适应鲁棒控制器设计中的应用 1236 .

19、3 .4 仿真研究 1236 .3 .5 小结 124参考文献 125第 7 章非线性系统的鲁棒自适应控制方法 1267 .1 具有结构非线性扰动的一类动态系统的鲁棒自适应采样数据控制 1267 .1 .1 系统与控制器结构 1277 .1 .2 离散模型的稳定性及采样间隔的自适应律 1307 .1 .3 仿真例子 131 目录7 .1 .4 小结 1327 .2 具有测量干扰的基于神经网络的非线性系统

20、的鲁棒自适应控制 1327 .2 .1 问题的描述 1327 .2 .2 鲁棒自适应镇定 1347 .2 .3 仿真例子 1387 .2 .4 小结 1437 .3 机械臂的鲁棒自适应控制 1447 .3 .1 问题的形成 1447 .3 .2 自适应控制算法 1457 .3 .3 鲁棒性分析及其修正 1477 .3 .4 仿真例子 1507 .3 .5 小结 152参考文献 152T T第 1 章基础知识本章介绍本书用到的一些基础知识 , 包括

21、: 特殊矩阵 ; Lp 空间 , 范数及矩阵的几种重要分解 ; 动态系统的稳定性 ; 指数稳定性定理 ; 正实函数 ; 超稳定性的基本概念等。1 .1 记号标量和向量用小写字母表示。矩阵、算子、集合用大写字母表示。 u( s) 表示 u( t) 的拉氏变换。线性时不变系统 , 简记为 L T I ( Lin ea r Tim e Inva ria nt ) 。L T I 系统的传递函数用 H ( s) 表示。1

22、.2 特殊矩阵定义 1 .2 .1 一个方阵 A Rn n 是半正定的 ( positive se mi-d efinite ) , 如果 xT Ax 0对所有的向量 x 成立 .定义 1 .2 .2 一个方阵 A Rn n 是正定的 ( positive definit e ) , 如果 v 0 , 使得x Ax x x = | x| 2 对所有的 x 成立。第 1 章基础知识20 0 10 w101 0 0A Tk*2 2半正定矩阵的特征值都位于右半闭平面 ( closed righ t

23、 h alf p la ne, R H P ) 。正定矩阵的特征值都位于右半开平面。定义 1 .2 .3 若 A 0 , 并且 A = AT , 那么称 A 是对称的半正定阵。对称矩阵的特征值都是实数 , 这样的矩阵有 n 个正交的特征向量。因此我们可以分解 A 为TA = U U ( 1 .2 .1)其中 , U 是特征向量矩阵 , 满足 UT U = I。是对角矩阵 , 对角元素正是 A 的 n 个特征值。定义 1 .2 .4

24、平方根矩阵 1/ 2 是对角矩阵 , 其对角元素是由对称矩阵 A 的特征根的平方根构成 , 并且有是 A 的平方根阵 , 即1/ 2 = U 1/ 2 U ( 1 .2 .2)A = A1/ 2 A1/ 2 , ( A1/ 2 ) T = A1/ 2若 A 0 , B 0 , 则必有 A + B 0 , 但是 , AB 0 并不一定成立。若 A, B 是对称的半正定阵 , 那么 AB 虽然不一定是对称阵 , 但 AB 的特征值都是实数。对称、半正定阵

25、 A 的另一个特性是 m in ( A) | x | xT Ax m a x ( A) | x | ( 1 .2 .3)若 A 是正定的 , 则又有 A = m a x ( A) ( 1 .2 .4) A- 1 = 1/ min ( A) ( 1 .2 .5)定义 1 .2 .5 称矩阵 A 为幂等矩阵 , 若 A2 = A。命题 1 .2 .1 任何一个幂等矩阵都是半正定的 3 。定义 1 .2 .6 满足条件 AT = - A 的正方矩阵称为反对称矩阵或斜对称矩阵。显然 ,为了

26、满足反对称性 , 主对角线上的元素必须为零 , 并且有aij = - aj i , i j ( 1 .2 .6)反对称矩阵具有以下性质 :(1 ) 若 A 和 B 都是反对称矩阵 , 则 A- 1 , A + B 仍是反对称矩阵。并且当 k 为偶数时 ,A 为对称矩阵 ; 当 k 为奇数时 , Ak 为反对称矩阵 3 。(2 ) 任意正方矩阵 A 都可以分解为一个对称矩阵 12 ( A + A ) 和一个反对称矩阵1 *2 ( A

27、 - A) 之和。定义 1 .2 .7 交换矩阵 J 定义如下 :J = ( 1 .2 .7)iCRi jHH1. 2 特殊矩阵 3它仅在交叉对角线上具有元素 1 , 而所有其他元素全等于零。 J 矩阵可以使一个矩阵的行或列的顺序反转 ( 互换 ) 。如用 Jm 左乘 m n 的矩阵 A, 将使 A 的行的顺序反转 :am1 am2 am n w Jm A =容易验证 , JT = J, J2 = JJ = I。a21 a22 a2 na11 a12 a1 n(

28、 1 .2 .8)定义 1 .2 .8 我们称向量 x1 , , xk Cm 组成一正交组 , 若 xH x = 0 ( 1 i j 的正方矩阵 A = aij 称为上三角矩阵 , 其一般形式为A = (1 .2 .13)特别地 , 若 aii 0 , i = 1 , 2 , , n, 则称矩阵 A 为正线上三角矩阵。1 .3 Lp 空间、范数及矩阵的几种重要分解如果 x 是标量 , 则 | x | 表示 x 的绝对值 ; 若 x 是向量 , | x | 则表示 x 的

29、欧氏范数 ( l2 范数 ) 。一般用来表示算子的诱导范数 , 如矩阵的诱导范数 :1 .3 Lp 空间、范数及矩阵的几种重要分解 51limnn A = sup| x| = 1| Ax | ( 1 .3 .1)对时间函数 , 此记号表示 Lp 范数 : 1/ p u p =0| u( ) | p d ( 1 .3 .2)对 p 1 , ) 成立。其中 , 定义 : u = supt 0| u( t) | ( 1 .3 .3)定义 1 .3 .1 若 u p 存在 , 我们称 u Lp

30、空间。当 p 省略时 , u 表示 L2 范数 ,即 u = u 2 =0u2 ( ) d定义 1 .3 .2 截头函数定义为f s ( t) =定义 1 .3 .3 扩展的 Lp 空间定义为f ( t) , t s0 , t s ( 1 .3 .4)Lp e = f | “ s n, 则存在酉矩阵 U Cm m 及正线上三角矩阵 R , 使n得R1A = UO1( 1 .3 .8)其中 , O C( m - n) n , R Cn n1 n 。证明 4 : 记 A = a , a , , a , 则 a Cm , i =

31、1 , 2 , , n。又因为 A 为列满秩 , 故1 2 n ia1 , a2 , , an 为 Cm 中线性无关向量组 , 将它扩充为 Cm 的基底 , 记为 a1 , a2 , , an , an+ 1 , , am 由引理 1 .3 .2 得知 , 可将这组基底标准化 , 得到 Cm 中的一组标准正交基底 : u1 , u2 , , um 且有正线上三角形 R, 使得 a1 , a2 , , an , an+ 1 , , am = u1 , u2 , , um R ( 1 .3 .9)将

32、R 分块表示 , 有R1 CR =O R2 Cm n (1 .3 .10)其中 , R1 Cn n ( m - n) ( m - n) n ( m - n) ( m - n)2 , 且 R1 , R2 均为正线上三角形矩阵。将 ( 1 .3 .10 ) 式代入 ( 1 .3 .9) 式 , 并由分块矩阵相乘的性质得R1 a1 , a2 , , an = u1 , u2 , , um O (1 .3 .11)即其中 , U 显然为酉矩阵。R1A = UO (1 .3 .12) 证毕 1 .3 Lp 空间、范数及矩阵

33、的几种重要分解 7rrrHH推论 1 .3 .3 4 设 A Cm n , 则存在酉矩阵 U Cm m 和酉矩阵 V Cn n , 以及正线上三角阵 R Cr r , 使得A = UR Or ( n - r) VO( m - r) r O( n - r)( m - r)(1 .3 .13)推论 1 .3 .4 设 A 为一个实对称正定矩阵 , 则存在正线上三角矩阵 R, 使得 A= RT R。证明 : 因为 A 为对称正定矩阵 , 因此 , A 可以经过一系列行变换和一

34、系列同名的列变换化为单位矩阵 , 即存在满秩矩阵 P, 使得 A = PT P。又由推论 1 .3 .2 对 P 存在正交矩阵Q 及正线上三角矩阵 R, 使得 P = QR, 因此A = PT P = RT QT QR = RT R (1 .3 .14) 证毕定义 1 .3 .4 称定理 1 .3 .1 给出的分解式为满秩方阵的 U R 分解 ; 称推论 1 .3 .3 给出的分解为长方阵的正交分解 ; 称推论 1 .3 .4 给出的分解为

35、Choles ky 分解或三角 -三角分解。定理 1 .3 .3( 满秩分解定理 ) 4 设 A Cm n , 则存在列满秩矩阵 B Cm r 和行满秩r r矩阵 C Cr n , 使得A = BC (1 .3 .15)1 .3 .2 舒尔引理与正规矩阵的分解定理 1 .3 .4( 舒尔引理 ) 4 设 A Cn n , 则存在酉矩阵 U Cn n 及上三角矩阵 T = n ti j Cn , 使得U AU = T (1 .3 .16)且 T 的主对角元素均为 A 的特征值

36、。定义 1 .3 .5 若 A Cn n 满足条件 :AH A = AAH (1 .3 .17)则称 A 为正规矩阵。由定义可知 , 下列方阵均为正规矩阵 : (1 ) 实对称矩阵 ( AT = A, A Rn n ) ;(2 ) 实反对称矩阵 ( AT = - A, A Rn n ) ; (3 ) He r mitia n 矩阵 ( AH = A, A Cn n ) ;(4 ) 反 H er mitia n 矩阵 ( AH = - A, A Cn n ) ; (5 ) 正交矩阵 ( AT = A- 1 , A Rn

37、n ) ;(6 ) 酉矩阵 ( UH = U - 1 , U Cn n ) 。正规矩阵具有如下重要性质 :定理 1 .3 .5 设 A Cn n , 则 A 是正规矩阵的充要条件为 : 存在一个 n 阶酉矩阵 U 及第 1 章基础知识8t11 t12 t1 n0t22wt2 n0 0 tn n2t2 i | = | t12nH H2 2H H H H H H H HH H H HHHH一个 n 阶对角矩阵 = dia g 1 , 2 , , n , 使得A = U UH (1 .3 .18)这时称 U UH 为

38、 A 的酉相似对角化分解式 , 简称为 A 的酉相似对角分解。证明 : ( 1) 必要性若 A 为正规矩阵 , 则有 :A A = AA (1 .3 .19)由舒尔引理 , 存在酉矩阵 U Cn n 及上三角矩阵 T Cn n , 使得 A = UTUH 。将此式代入(1 .3 .19) 式可得( UTUH )H ( UTUH ) = ( UTUH ) ( UTUH )H注意到 UH U = I, 则由上式可以推出TH T = TTH (1 .3 .20)令T = (1 .3 .

39、21)将 (1 .3 .21) 式代入 (1 .3 .20) 式 , 比较等式两边矩阵对应位置上的元素 , 可得ni = 1ni = 1| t1 i | 2 = | t1 1 | 2 (1 .3 .22)| + | t22 | (1 .3 .23)i = 1| tn i | 2 = | tn n | 2 (1 .3 .24)n由 (1 .3 .22) 式得知 , 必有 t12 = t13 = = t1 n = 0, 因此 , (1 .3 .23 ) 式变成了 i = 2| t2 i |2 =| t22 | 2 , 由此又可以推出 t23

40、= t24 = = t2 n = 0 。如此递推下去 , 可推出 T 必须为对角矩阵。令 T 的主对角线上元素 tii ( i = 1 , 2 , , n) 为 i , 并记 = diag 1 , 2 , , n , 因此有(2 ) 充分性A = UTU = U UH (1 .3 .25)若 A 酉相似于对角矩阵 , 则 ( 1 .3 .25 ) 式成立。由于为对角阵 , 因此有 H = H (1 .3 .26)所以有A A = ( U U ) ( U U ) = U U U UH = U UH =

41、 U UAA = U UH ( U UH ) = U UH U UH = U U1 .3 Lp 空间、范数及矩阵的几种重要分解 9H H H HHrHirH H2即 AH A = AH A 成立 , A 为正规矩阵。定理 1 .3 .6 ( Schur 不等式 ) 4 若 n 阶复方阵 A = ( a 证毕 ) 的特征值为 , , , ,ij 1 2 n则有n n n2 2 | i | | ai j | (1 .3 .27)i = 1其中 , 等号当且仅当 A 是正规矩阵时成立。i = 1 j = 1证明

42、 : 由舒尔引理 , 存在酉矩阵 U 及上三角阵 T , 使得UH AU = T (1 .3 .28)因此有TTH = UH AAH U (1 .3 .29)由矩阵求迹的性质 , 对任意方阵 B 和 C, 有 t r BC = t r CB , 因此 ,t r TT = tr U AA U = tr A UU A = t r A An n= tr AA = | ai j | (1 .3 .30)i = 1 j = 1由于 T 的主对角元就是 A 的特征值 , 因此有n n n n j - 1 n n | i | 2

43、= | tii | 2 | tii | 2 + | tij | 2 = tr TTH = | aij | 2i = 1 i = 1 i = 1 j = 2 i = 1 i = 1 j = 1上述不等式中的等号当且仅当 tij = 0 ( i j) 时成立 , 即当且仅当 A 为正规矩阵时成立。证毕推论 1 .3 .5 4 若 A Rn n 为实对称阵 , 则 A 的特征值 , , , 皆为实数 , 且存在正交阵 Q Rn n , 使得T - 11 2 nQ AQ = Q AQ = dia g 1 , 2

44、, , n (1 .3 .31)1 .3 .3 矩阵的奇异值分解由推论 (1 .3 .3 ) 得知 , 对每个复矩阵 A Cm nR OA = UO O都有分解式 :V其中 , U, V 分别为 m 阶和 n 阶的酉矩阵 , 而 R 是一个 r 阶的正线上三角矩阵。下面我们对上述形式进一步简化 , 将 R 化成一个对角矩阵 , 且主对角元取 A 的奇异值 , 由此得到 A 的奇异值分解。定义 1 .3 .6 设 A Cm n , 则矩阵

45、AH A 的 n 个特征值 , i = 1 , 2 , , n 的算术平方根 i = i 称作 A 的奇异值。定理 1 .3 .7( 矩阵的奇异值分解定理 ) 设 A Cm n , 则存在酉矩阵 U Cm m 及 V 第 1 章基础知识10(1 .3 .35)(1 .3 .36)(1 .3 .37)(1 .3 .38)C0 0 1 2 1 r CUUHUHH1 2 rHmHn n 使得 4 S OU AV =O O ( 1 .3 .32 )其中 , S= dia g 1 , 2 , , r , 且 1 2 r 0 ; i ,

46、i = 1 , 2 , , r 为 A 的正奇异值。证明 : 由于 AH A 为 H er mitia n 矩阵 , 并且为半正定的 , 它的秩为 r, 因此可以令它的特征值为 2 , 2 , , 2 , 并满足 1 2 r 0 , r + 1 = r + 2 = = n = 0 。由定义1 2 n1 .3 .6得知 , i , i = 1 , 2 , , n 都是 A 的奇异值。另外 , 由于 AH A 为 H er mitia n 矩阵 , 当然为正规矩阵 , 因此由定理 1 .3 .5

47、得知 , 存在 n H 2 2酉矩阵 U0 Cn 2, 以及对角矩阵 T( T 的主对角线上的元素为 A A 的特征值 1 , 2 , ,r , 0 , , 0 ) , 使得UH H0 A AU0 = T (1 .3 .33)现在将 U 写成分块形式 : U = U , U , 其中 U Cn r , U2 n ( n - r) n - r , 因此H 10 =U2将此式代入 (1 .3 .33) 式 , 有H 1 AH AU1 , U2 = TU2即H H H H 2U1 A AU1 U1 A AU2 S= O12 (1 .3 .34)UH H H H2 A AU1 U2 A AU2 O21 O22其中 , S2 = dia g 2 , 2 , , 2 ; O1 2 , O21 , O2 2 分别为 r ( n - r) , ( n - r) r 和 ( n - r) ( n - r) 的零矩阵。现比较 (1 .3 .34) 等式两端的各分块矩阵 , 可

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