1、1.2.2 集合的运算1交集文字语言来源:一般地，对于两个给定的集合 A，B，由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的集合，叫做 A，B 的交集，记作 AB.(读作“A 交 B”)符号语言 ABx| xA，且 xB定义来源 :图形语言性质(1)ABBA；(2)AAA，A A ；(3)ABA，ABB ；(4)ABA AB ；(5)(AB) C A( BC )谈重点 对交集的理解1符号语言中的“且”是指同时属于集合 A 和集合 B 的全部元素 ，也就是说 AB是集合 A 与 B 的全部“公共”元素所构成的集合2当集合 A 和集合 B 无公共元素时，不能说集合 A，B 没有交集，而是 AB .3 “
2、xA， 且 xB”与“x ( AB )”是等价的，即由既属于 A，又属于 B 的元素构成的集合为 AB.而只属于集合 A 或只属于集合 B 的元素，不属于 AB.【例 11】已知集合 A0,2,4,6，B2,4,8,16，则 AB 等于( )A2 B4C0,2,4,6,8,16 D2,4解析：观察集合 A，B，可得集合 A，B 的全部公共元素是 2,4，所以 AB2,4答案：D【例 12】设集合 Ax| 1x2，Bx|0x4，则 AB 等于( )A x|0x2 B x|1x2Cx|0x4 D x|1x4解析：在数轴上表示出集合 A 与 B，如下图则由交集的定义，得 ABx|0x 2 答案：A【
3、例 13】已知 A( x，y )|xy 0 ，B(x，y )|xy2，求 AB.解：AB (x，y )|xy0 (x，y )|xy2 =0,(,)2(1，1)2并集定义 文字语言一般地，对于两个给定的集合 A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做集合 A 与 B 的并集，记作 AB(读作“A并 B”)符号语言 ABx|xA，或 xB图形语言性质(1)ABBA，即集合的并集运算满足交换律；(2)AAA，即一个集合与其本身的并集是其本身；(3)A AA，即一个集合与空集的并集是其本身；(4)A(AB )， B(AB) ，即一个集合是其与任一集合并集的子集；(5)ABB AB，即一个集合与其子集
4、的并集是其自身.谈重点 对并集的理解1AB 中的元素包含三种情况：(1)xA，但 x B；(2)xB，但 x A；(3)xA，且xB .2对概念中“所有”二字的理解，不能认为 AB 是由 A 与 B 中的所有元素构成的，是简单的拼凑若集合 A 和 B 中有公共元素，根据集合中元素的互异性，知公共元素在AB 中仅出现一次如 A 0,1，B 1,0 ，则 AB 1,0,1，不能写成1,0,0,1【例 21】设集合 M4,5,6,8，集合 N3,5,7,8，那么 MN 等于( )A3,4,5,6,7,8 B5,8C3,5,7,8 D4,5,6,8答案：A辨误区 求并集时应注意的问题注意应用集合中元素
5、的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，防止出现AB 3,4,5,5,6,7,8,8 这样 的错误【例 22】已知集合 Ax|0x7，Bx|x5，则 AB 等于( )A x|x7 B x|x0Cx|5x7 D x|0x5解析：用数轴表示 AB，如下图所示的阴影部分则 ABx|x7答案：A点评：用数轴来表示不等式的解集，较为直观，有助于准确、迅速地解题3全集与补集(1)全集在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用 U 表示谈重点 对全集的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的例如：我们常把
6、实数集 R看作全集，而当我们在整数内研究问题时，就把整数集 Z看作全集(2)补集定义 文字语言如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中不属于 A 的所有元素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作 UA，读作“A 在U 中的补集”符号语言 UAx|xU，且 x A图形语言性质(1) UAU ；(2) UU ， U U；(3) U( UA)A；(4)A( UA) U；A( UA) ；(5)( UA)( UB) U(AB) ；( UA)( UB) U(AB)谈重点 对补集的理解1 UA 包含三层意思：(1) AU ；(2) UA 是一个集合，且 UAU ；(3) UA 是由 U中所
7、有不属于 A 的元素构成的集合2补集的概念具有某种相对性，即只有明确全集，才能确定其子集的补集【例 31】已知集合 U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5,7， B3,4,5，则( UA)( UB)等于( )A1,6 B4,5C2,3,4,5,7 D1,2,3,6,7解析：(方法一)由题意，得( UA)( UB)1,3,61,2,6,7 1,6 (方法二) AB 2,3,4,5,7，则( UA)( UB) U(AB)1,6答案：A【例 32】已知全集 UR，Ax|x1 或 x6 ，则 UA 等于( )A x|1x6Bx| x1 或 x6Cx|1x6D x|x1 或 x6解析：用数轴表示集合
8、 A 为如图所示的阴影部分，则 UA x|1 x6答案：C4集合的基本运算(1)对于用列举法表示的集合，可以根据交集、并集、补集的定义，利用观察法或借助维恩图直接写出集合的运算结果这里要注意集合元素 的特征，做到不重不漏例如，已知全集 U0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集 合 A0,1,2,3，集合 B3,4,9 ，根据交集、并集、补集的定义，观察可得 AB0,1,2,3,4,9 ，AB3 ，UA4,5,6,7,8,9(2)用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其特征性质，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算否则，就会无从下手或出现错误例如，集合 A x|2x
9、24，集合 By|y 23y 0 ，往往错认为集合 A 中的元素是 x，而集合B 中的元素是 y，则集合 A 和 B 没有公共元素，所以 A B .出错的原因是没有准确把握集合 A，B 中元素的一般符号的意义：仅仅代表该集合中的元素，也可以换成其他符号其实，集合 A 是不等式 2x24 的解集，则集合 Ax |x1 ，集合 B 是方程y23y0 的解集，则有 B 0,3，所以有 AB x|x1 0,3 3特别地，当已知集合均是用描述法给出的连续“数集”时，常先用数轴表示所给的集合，再借助于数轴的直观性，写出集合运算的结果例如：已知集合 Ax| x1 或 x3 ，Bx|2x 4，则( UA)B
10、等于( )A x| 1x4 B x|2x3Cx|2x3 D x|1x4解析：如图所示， UA x|1 x3，( UA)B x |2x 3答案：C【例 41】集合 PxZ|0x3 ，MxR| x29 ，则 PM ( )A1,2 B0,1,2Cx|0x3 D x|0x3解析：P0,1,2，M x|3x3，PM0,1,2答案：B【例 42】已知全集 UR，集合 ，集合 Bm|32m1，30,=6xA求：(1)AB ，AB；(2) U(AB) 分析：(1)集合 A 是不等式组 的解集，集合 B 是不等式 32m 1 的解集，30,6x先确定集合 A 和 B 中的元素，再根据交集和并集的定义，借助于数轴
11、写出；(2)利用(1) 的结论，根据补集的定义写出规范解答 顾问点评解：(1) x|2x3，30=6x，B m|32m1m|m2(得分点)用数轴表示集合 A，B，如图A Bx|2x 2，ABx|x3(得分点)(2)由(1)知 AB x|2x2，如图所示 U(AB) x |x2 或 x2 (得分点)借助数轴求解比较直观，且易于观察结果，这里要注意端点的虚实 另外本题的结果还可以写成ABm|2m2，ABm|m3， U(AB)m |m2 或 m2.【例 43】设全集 U2,3，a 22a3，A|2a1|,2， UA5 ，求实数 a 的值解： UA5，5U,5 A，且 AU.a 22a35，解得 a2
12、 或 a4.当 a2 时，|2a1| 35.当 a4 时，|2a1| 95 ，但 9 U.a2.5集合的基本运算与方程的交汇问题(1)已知集合的运算结果求方程中的参数值，实质上是集合运算关系的逆向思维的应用解决这类问题的关键是对集合运算的有关 结果准确理解和应用这些运算结果实质上是给出了集合间的关系或元素与集合间的关系一般地，有：若 AB A，则 BA；若 AB B，则 BA；若 UAB ，则 A UB；若 A BC，则 AC，BC.也就是说：若 xC，则 xA 或 xB；若 AB D ，则 DA ，且 DB.也就是说：若 xD ，则 xA ，且 xB.(2)当x| f(x)0 时，则说明关于
13、 x 的方程 f(x)0 无实数解如x|mx 2mx 10 ，则表示关于 x 的方程 mx2mx10 无实根，要注意当 m0 时，方程无实根【例 5】设集合 Ax| x24x ，Bx|x 22( a1)xa 2 10(1)若 A BB，求 a 的取值范围；(2)若 A BB，求 a 的值分析：可以利用条件“ABB BA”及“A BB AB”求解解：(1)Ax |x24x 0,4，又ABB，B A.若 B ，则 4(a1) 24(a 21) 0，解得 a1.当 a1 时，B A.若 0B，则 0 为方程 x22(a1)xa 210 的一个根，即 a210，解得 a1.当 a1 时，Bx| x20
14、0A；当 a1 时，Bx| x24x 0A.若 4B，则 4 为方程 x22(a1)xa 210 的一个根，即 a28a70，解得a1 或 a7.由知当 a1 时，AB 符合题意，当 a7 时，Bx |x216x480 4,12A，综上可知，a1，或 a1.(2)A BB，AB.又A0,4，而 B 中最多有 2 个元素，AB，即 0,4 为方程 x22(a1)xa 210 的两个根 解得 a1.2()=410a，6集合的基本运算与不等式的交汇问题(1)求解几个不等式解集之间的交集、并集、补集的运算问题，通常要借助数轴，把集合所表示的范围在数轴上明确地表示出来，通过数轴，直观形象地找出集合的运算
15、结果(2)当x| f(x)0 时，表示关于 x 的不等式 f(x)0 无解当x|f(x)0 ，x|f (x)0 ，x |f(x)0 时，也表示相应的不等式无解如x|mx 10 ，则表示关于 x 的不等式 mx10 无解当x|n xm 时，表示关于 x 的不等式 nxm 无解，此时有 nm.如x|ax 1a ，则关于 x 的不等式 ax1a 无解，则有 a1a，所以 a .12(3)对于含有参数的不等式的解集的运算问题，要结合数轴，通过观察尝试找出不等式解集的端点可能所处的位置，然后列出不等式(组) ，从而求得参数的值或范围点技巧 求不等式解集的并集的方法(1)用数轴表示不等式的解集(2)若不等
16、式的解集的端点含有参数，需根据端点大小进行讨论(3)取解集的所有部分构成并集【例 61】已知集合 Ax|4x2，集合 Bx|xa0(1)若 A BA，求 a 的取值范围；(2)若全集 U R，且 A UB，求 a 的取值范围解：(1)Bx |xa ，又AB A， AB.如图所示a4.(2) UB x|xa ，如下图所示A UB， a2.【例 62】集合 Ax| 1x1，Bx|xa(1)若 A B ，求 a 的取值范围；(2)若 A Bx |x1，求 a 的取值范围解：(1)如图所示，Ax |1x1，B x|xa，且 AB ，在数轴上，点 a 在1 的左侧(含点1) a1.(2)如图所示，Ax
17、|1x1，B x|xa，且 AB x|x1，在数轴上，点 a 在1 和 1 之间(含点 1，但不含点 1)1a1.7维恩图在集合运算中的应用借助于维恩图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决，利用维恩图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性在使用维恩图时，可将全集分成四部分，如图所示，这四部分的含义如下：A( UB)；：AB ；：( UA)B；：( UA)( UB)(或 U(AB)【例 7】集合 Sx| x10，且 xN ，A S，B S，且 AB4,5，( SB)A 1,2,3， ( SA)( SB)6,7,8，求集合 A 和 B.分析：本题可用直接法求解，
18、但不易求出结果，用 Venn 图法较为简单解法一：因为 AB4,5 ，所以 4A,5A, 4B,5B.因为( SB)A 1,2,3，所以 1A,2A,3A,1 B,2 B,3 B.因为( SA)( SB)6,7,8，所以 6,7,8 既不属于 A，也不属于 B.因为 Sx| x 10，且 xN ，所以 9,10 不知所属因为 9,10 均不属于 SB，所以 9B,10B.综上可得，A1,2,3,4,5，B4,5,9,10解法二：如图，因为 AB 4,5，所以将 4,5 写在 AB 中因为( SB)A 1,2,3，所以将 1,2,3 写在 A 中 AB 之外因为( SB)( SA)6,7,8，所
19、以将 6,7,8 写在 S 中 AB 之外因为( SB)A 与( SB)( SA)中均无 9,10，所以 9,10 在 B 中 AB 之外故 A1,2,3,4,5，B 4,5,9,108集合思想在实际问题中的应用我们可以利用集合思想解决某些实际问题，借助维恩图将错综复杂的问题清晰地理顺，使问题得以解答这在阅读能力上常常有较高的要求，一定要深入而全面地理解题意，然后再动手解题在解决实际问题中，常涉及集合中元素的个数问题为了方便，我们常用 card(A)来表示集合 A 中元素的个数如，若 Aa，b，c，则 card(A)3.集合中元素的个数 问题card(AB )card(A )card( B)c
20、ard(AB)事实上，由图可知，AB 的元素个数在 card(A)和 card(B)中均计算一次，因而在card(A) card(B)中计算两次，而在 card(AB) 中只能计算一次，从而有 card(AB)card(A)card(B )card( AB )【例 8】通过调查 50 名学生对 A，B 两个事件的态度，有如下结果：赞成事件 A 的人数是全体的 ，其余的不赞成；赞成事件 B 的人数比赞成事件 A 的多 3 人，其余的不赞35成另外，对事件 A 与 B 都不赞成的学生数比对事件 A 与 B 都赞成的学生数的 多 1人问对事件 A 与 B 都赞成的和都不赞成的学生各有多少人？分析：设
21、 50 名学生组成全集 U，赞成事件 A 的学生组成集合 M，赞成事件 B 的学生组成集合 N，则 M，N 把全集 U 分成 4 个区域，其中 U(MN)，M ( UN)，( UM)N中元素的个数都可以由 MN 中元素个数来表示，根据总元素数为 50，列方程可把问题解决解：设赞成事件 A 的学生组成集合 M，赞成事件 B 的学生组成集合 N,50 名学生组成全集 U，对事件 A 与 B 都赞成的人数设为 x.由条件知集合 M 中有 30 个元素，集合 N 中有 33 个元素，集合 U(MN)中有个元素，集合 M( UN)中有(30 x )个元素，集合( UM)N 中有(33 x)个元素，13x用维恩图表示为：由 (30x)x (33x )50，解得 x21， 18，13 3所以对事件 A 与 B 都赞成的学生有 21 人，对事件 A 与 B 都不赞成的有 8 人
