1、世界数学名题哥尼斯堡七桥问题18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是有人提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。 这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。1727 年在欧拉 20 岁的时候，被俄国邀请请去圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样的问题来看：把河岸和小岛缩成一点，桥化为边，于
2、是“七桥问题”就转化成下图中所画图形的一笔画问题了， 这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。欧 拉 的 这 个 考 虑 非 常 重 要 ， 也 非 常 巧 妙 ， 它 正 表 明 了 数 学 家 处 理 实 际 问 题 的 独 特之 处 把 一 个 实 际 问 题 抽 象 成 合 适 的 “数 学 模 型 ”。 这 种 研 究 方 法 就 是 “数 学 模型 方 法 ”。 这 并 不 需 要 运 用 多 么 深 奥 的 理 论 ， 但 想 到 这 一 点 ， 却 是 解 决 难 题 的 关 键 。接 下 来 ， 欧 拉 运 用 图 中 的 一 笔 画 定 理 为 判 断 准
3、 则 ， 很 快 地 就 判 断 出 要 一 次 不 重 复 走 遍哥 尼 斯 堡 的 7 座 桥 是 不 可 能 的 。 也 就 是 说 ， 多 少 年 来 ， 人 们 费 脑 费 力 寻 找 的 那 种 不 重复 的 路 线 ， 根 本 就 不 存 在 。 一 个 曾 难 住 了 那 么 多 人 的 问 题 ， 竟 是 这 么 一 个 出 人 意 料 的答 案 ！经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么叫奇、偶
4、点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的、为奇点，、为偶点。1凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是：2凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点） ，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。例如下图的线路是：3其他情况的图都不能一笔画出。欧拉后来推 论 出 此 种 走 法 是 不 可 能 的 。 他 的 论 点 是 这 样 的 ， 除 了 起 点 以 外 ， 每 一次 当 一 个 人 由 一 座 桥 进 入 一 块 陆 地 （ 或 点
5、 ） 时 ， 他 （ 或 她 ） 同 时 也 由 另 一 座 桥 离 开 此点 。 所 以 每 行 经 一 点 时 ， 计 算 两 座 桥 （ 或 线 ） ， 从 起 点 离 开 的 线 与 最 后 回 到 始 点 的 线亦 计 算 两 座 桥 ， 因 此 每 一 个 陆 地 与 其 他 陆 地 连 接 的 桥 数 必 为 偶 数七 桥 所 成 之 图 形 中 ， 没 有 一 点 含 有 偶 数 条 数 ， 因 此 上 述 的 任 务 无 法 完 成 .欧 拉 通 过 对 七 桥 问 题 的 研 究 ， 不 仅 圆 满 地 回 答 了 哥 尼 斯 堡 居 民 提 出 的 问 题 ， 而 且得 到 并 证 明 了 更 为 广 泛 的 有 关 一 笔 画 的 三 条 结 论 ， 人 们 通 常 称 之 为 欧 拉 定 理 。 对 于 一 个连 通 图 ， 通 常 把 从 某 结 点 出 发 一 笔 画 成 所 经 过 的 路 线 叫 做 欧 拉 路 。 人 们 又 通 常 把 一 笔 画成 回 到 出 发 点 的 欧 拉 路 叫 做 欧 拉 回 路 。 具 有 欧 拉 回 路 的 图 叫 做 欧 拉 图 。
