1、含绝对值的不等式解法典型例题能力素质例 1 不等式|83x| 0 的解集是 A BRCx|D83 83分 析 ， ， 即 |0x0答 选 C例 2 绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 A3 B2C2 D5分析 列出不等式解 根据题意得 2|x|5从而5x2 或 2x5，其中最小整数为5，答 选 D例 3 不等式 4|13x| 7 的解集为 _分析 利用所学知识对不等式实施同解变形解 原不等式可化为 4|3x 1|7，即 43x17 或 7 解 之 得 或 ， 即 所 求 不 等 式 解 集 为 或 x1x2x|2538例 4 已知集合 Ax|2|6 2x|5，xN，求 A分析 转化为解
2、绝对值不等式解 2|6 2x|5 可化为2|2x 6|5即 ， 或 ，x62即 ， 或 ，1284解 之 得 或 4xx212因为 xN，所以 A0，1，5 说明：注意元素的限制条件例 5 实数 a，b 满足 ab0，那么 A|a b| |a| |b|B|ab|ab|C|ab|ab|D|a b| |a|b|分析 根据符号法则及绝对值的意义解 a、b 异号， |ab| |ab|答 选 C例 6 设不等式|xa|b 的解集为x|1x2 ，则 a，b 的值为 Aa1，b3Ba 1，b 3Ca 1，b 3D ， 2分析 解不等式后比较区间的端点解 由题意知，b0，原不等式的解集为 x|abxab，由于
3、解集又为x| 1x2所以比较可得a2a ， 解 之 得 ， 123答 选 D说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组例 7 解关于 x 的不等式|2x 1|2m1(mR)分析 分类讨论解 若 即 ， 则 恒 不 成 立 ， 此 时 原 不 等2m10|2x1|m式 的 解 集 为 ；若 即 ， 则 ， 所 以 210(21)x21mxm综 上 所 述 得 ： 当 时 原 不 等 式 解 集 为 ；当 时 ， 原 不 等 式 的 解 集 为m1212x|1mxm说明：分类讨论时要预先确定分类的标准点击思维例 解 不 等 式 8 321|x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母
4、是正数，所以能直接去分母解 注意到分母|x|20，所以原不等式转化为 2(3|x|)|x| 2，整理得 |xxx| ， 从 而 可 以 解 得 ， 解 集 为 434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便例 9 解不等式|6|2x 1| 1分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|axb|c 或|axb|c 型的不等式来解解 事实上原不等式可化为6|2x 1|1或 6|2x1|1由得|2x1| 5，解之得 3x2；由得|2x1| 7，解之得 x 3 或 x4从而得到原不等式的解集为x|x4 或3x2 或 x3说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论例 10 已
5、知关于 x 的不等式|x2| |x3|a 的解集是非空集合，则实数 a 的取值范围是 _分析 可以根据对|x2| |x3|的意义的不同理解，获得多种方法解法一 当 x2 时，不等式化为x2x3a 即2x1a 有解，而2x15，a5当2x3 时，不等式化为 x2x3a 即 a5当 x3 是，不等式化为 x2x3a 即 2x1a 有解，而2x15，a 5综上所述：a5 时不等式有解，从而解集非空解法二 |x2|x3|表示数轴上的点到表示 2 和 3 的两点的距离之和，显然最小值为 3(2)5故可求 a 的取值范围为 a5解法三 利用|m|n| |m n|得|x 2| |x3| |(x2) (x3)
6、|5所以 a5 时不等式有解说明：通过多种解法锻炼思维的发散性例 11 解不等式|x1| 2x 分析一 对 2x 的取值分类讨论解之解法一 原不等式等价于： 或 011x2或 2xR由 得 或 x12即 ， 所 以 ；2x由得 x2综 合 得 所 以 不 等 式 的 解 集 为 x|112分析二 利用绝对值的定义对|x1| 进行分类讨论解之解法二 因为|x1| x1 ， ， 原不等式等价于： 或 xx012012由 得 即 ； 由 得 即 x12 所 以 不 等 式 的 解 集 为 x|12学科渗透例 12 解不等式|x5| |2x3|1分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义
7、分区 间 讨 论 ， 事 实 上 ， 由 于 时 ， ， 时 x5|0x|23|0所 以 我 们 可 以 通 过 ， 将 轴 分 成 三 段 分 别 讨 论 32解 当 时 ， ， 所 以 不 等 式 转 化 为 xx502332(x5)(2x 3)1，得 x7，所以 x7；当 时 ， 同 理 不 等 式 化 为(x5)(2x 3)1，解 之 得 ， 所 以 ；xx53当 x5 时，原不等式可化为x5(2x3)1，解之得 x9，所以 x5综 上 所 述 得 原 不 等 式 的 解 集 为 或 x|713说明：在含有绝对值的不等式中， “去绝对值”是基本策略例 13 解不等式|2x1| |2x3|分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对 值 ， 但 这 样 比 较 复 杂 如 果 采 取 两 边 平 方 ， 即 根 据 解|ab|2之，则更显得流畅，简捷解 原不等式同解于(2x1) 2(2x 3) 2，即 4x24x14x 212x9，即 8x8，得 x1所以原不等式的解集为x|x1 说明：本题中，如果把 2x 当作数轴上的动坐标，则|2x1| |2x3|表示2x 到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离，则 2x 应当在 2 的右边，从而 2x2 即x1
