1、学案 11 函数应用题一、课前准备【自主梳理】1、几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型反比例函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型(2)三种增长型函数之间增长速度的比较指数函数 与幂函数(1)xya(0)nyx在区间(0，) ，无论 n 比 大多少，尽管在 的一定范围内 会小于 ，但由于xan的增长速度快于 的增长速度，因而总存在一个 ，当 时有 .()xy 00x对数函数 与幂函数log()ax()n对数函数 的增长速度，不论 与 值的大小如何总会慢于 的1a()ny增长速度，因而在定义域内总存在一个实数 ，使 时有 .0x0由可以看出三
2、种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，) 上，总会存在一个 ，使 时有 x2、解函数应用问题的步骤(四步八字 )(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义【自我检测】1、某电信公司推出两种手机收费方式： 种方式是月租 20 元， 种方式是AB月租 0 元一个月的本地网内打出电话时间 (分钟)与打出电话费 (元) 的函ts数关系如图，当打出电话
3、150 分钟时，这两种方式电话费相差_元2、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元) 分别为 和215.06.Lx，其中 为销售量(单位：辆 )若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大Lx利润为_万元 3、某种储蓄按复利计算利息，若本金为 元，每期利率为 ，设存期是 ，本利和（本金arx加上利息）为 元，则本利和 随存期 变化的函数的关系式为_.yyx4、有一批材料可以建成 200 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围m成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示) ，则围成的矩形最大面积为_ (围墙厚度不计)25、一批货物随 17 列货车从 A 市
4、以 v 千米/ 小时的速度匀速直达 B 市，已知两地铁路线长400 千米，为了安全，两辆货车最小间距不得小于 2 千米，那么物资运到 B 市的最短时(v20)间 t(小时) 与火车速度 v(千米/小时)的函数关系式应为_6、某厂家根据以往的经验得到下面有关生产销售的统计：每生产产品 x（百台） ，其总成本为 G（x）万元，G（x ）=2x ；销售收入 R(x)（万元） ，满足：要使工厂有赢利，产量 x 的取值范围是 20.4.0.8(5;()1).R二、课堂活动【例 1】填空题（1）某不法商人将彩电先原价提高 40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠” ，结果是每台彩电比原价多赚了 270
5、元，那么每台彩电原价是_元. （2）某产品的总成本 (万元 )与产量 (台) 之间的函数关系是yx，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏2*30.104,yxN本时(销售收入不小于总成本) 的最低产量是_台（3）一高为 ，满缸水量为 的鱼缸截面如图HV所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出若鱼缸水深为 时，水的体积为 ，则函数hv的大致图象可能是图中的_()vf（4）某种电热水器的水箱盛满水是 200 升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水 34 升，在放水的同时注水，t 分钟注入 2t2 升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水 65 升，则该热水
6、器一次至多可供_人洗浴【例 2】某地区上年度电价为 0.8 元/ ，年用量为 ，本年度计划将电价降到kwhakwh0.55 元/ 至 0.75 元/ 之间，而用户期望电价为 0.4 元/ ，经测算，下调电价后kwhk 新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为 ） ，该地区电力的成本价为 0.3 元/ ， （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益 与实际电价 的函数关 yx系式；（2）设 ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长0.2a20%？（注：收益=实际用电量 （实际电价-成本价） ）O ty3 8【例 3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交
7、通状况在一般情况下，大桥上的车流速度 （单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/ 千米）的函数当桥上的车v x流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/小时研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的2vx一次函数（1）当 时，求函数 的表达式；02x()vx（2）当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） 可以达到最大，并求出最大值 （精确到 1 辆/ 小时）()()fv课堂小结：解答数学应用题关键有两点：一是认真审题，读懂题意，理解问题的实际背景，将实际问题转化为数学问
8、题；二是灵活运用数学知识和方法解答问题，得到数学问题中的解，再把结论转译成实际问题的答案三、课后作业1、某地高山上温度从山脚起每升高 100 降低 0.6，已知山顶的温度是 14.6，山脚的m温度是 26，则此山的高度是_ .2、某公司将进货单价为 8 元一个的商品按 10 元一个销售，每天可卖出 100 个，若这种商品的销售价每个上涨 1 元，则销售量就减少 10 个，当销售利润为 360 元时，销售价上涨_元.3、已知某食品厂生产 100 克饼干的总费用为 1.80 元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如表所示.下列说法：买小包装实惠；买大包装实惠；卖 3 包小包装比卖 1 包
9、大包装盈利多；卖 1 包大包装比卖 3 包小包装盈利多所有正确的说法是_(填序号) 4、某工厂8年来某产品产量 与时间 年的函数关系如下图，则：yt前3年总产量增长速度越来越快；前3年中总产量增长速度越来越慢；第3年后，这种产品停止生产；第3年后，这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是_ 5、销售甲、乙两种商品所得利润分别是 （万元）和 （万元） ，它PQ们与投入资金（万元）的关系有经验公式 ，今将 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品，t 1,5tt当投入甲商品_万元时，所得总利润有最大值.型号 小包装 大包装质量 100 克 300 克包装费 0.5 元 0.8 元售价 3.00 元 8
10、.40 元6、用 元（ 为正整数）购进了一批共 台（ 为质数）电子产品，其中 4 台在促销活动mn中以进价的一半价钱售出，其余的电子产品在商场零售，每台盈利 500 元，结果这批电子产品使该商场获得 5000 元，则 的最小值为_. 7、某生物生长过程中，在三个连续时间段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为 ，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为_. 123,V8、某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 （吨）与每吨产品的价格 （元/吨）之xP间的关系为 ，且生产 吨的成本为 元，则该厂每月生产21405Px502Rx_吨产品才能使利润达到最大.9、某上市股票在 30 天内每股
11、的交易价格 （元）与时间 （天）所Pt组成的有序数对 ，点 落在图中的两条线段上；,tP,t该股票在 30 天内的日交易量 （万股）与时间 （天）的部分数据Qt如下表所示第 天t4 10 16 22（万股）Q36 30 24 18（1）根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格 （元）与时间 （天）所满足的函数Pt的关系式；（2）根据表中数据确定日交易量 （万股）与时间 （天）的一次函数关系式；Qt（3）用 （万元）表示该股票日交易额，写出 关于 的函数关系式，并求在这 30 天中y y第几天日交易额最大，最大值为多少？10、为了预防流感，某学校教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内
12、每立方米空气中的含药量 （毫克）与时间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的函数yt yt关系式为 ( 为常数 )，如图所示，据图中提供的信息，回答下列问题：aty)16(（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y（毫米）与时间 t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？四、纠错分析错题题 号 错 题 原 因 分 析tOy0.11tPO 302010652卡学案 11 函数应用题参考答案【自我检测】110 2. 3. 4. 2500 45.6(1)xya
13、rN5. t (v0) 6. (1, 8.2)400v v25【例 1】填空题 1. 2250 2. 150 3. 4. 4 【例 2】解：（1）设下调后的电价为 元/ ，依题意知，用电量增至 ，电xkwh (0.4)kax力部门的收益变为 ()(0.350.7).4kyaxx（2）依题意有，整理得0.()(0.3(.8)(12%)4.57ax 21.0357x解此不等式，得 .6.5x答：当电价最低为 0.6 元/ ，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%.kwh【例 3】解：（1）由题意：当 时， ；当 时，设02x()60vx20x，显然 在 是减函数，由已知得 ，解得()vxab
14、()vxab, 6ab1320b故函数 的表达式为()vx60,20()12),3xvx（2）依题意并由（1）可得60,20()1(2),3xf x当 时， 为增函数，故当 时，其最大值为 ；0x()fx0x6021当 时，2，21101()333fxx当且仅当 ，即 时，等号成立20所以，当 时， 在区间 上取得最大值 1x()fx20, 103综上，当 时， 在区间 上取得最大值 ，, 即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/ 小时课后作业1.1900 2. 6 3. 4. 5. 6. 17 347. 8.200 123V9. 解：（1）当 时，设
15、02tPatb由图像可知此图像过点 和 ，故 , ,(0,6)20a215b2Pt同理可求当 时，203t18Pt1,58203,ttNP（2）设 ，把所给表中任意两组数据代入可求得 ，Qctd 1,40cd4,tN（3）首先日交易额 （万元）=日交易量 （万股） 每股交易价格 （元）yQP21(5)02,643,0ttNy当 时，当 时， 万元2t15tmax125y当 时， 随 的增大而减小3y故在 30 天中的第 15 天，日交易额最大为 125 万元.10. 解：（1）从图中信息可知，当 时，药物开始释放，0t此时所成函数关系式为 ykt过 ，(0.,)10,当 时，药物释放完毕，此时.t1()6tay过点 ， ，故(0.1,)0a10t（2）由 ，则有 ，.25y()64t.t至少需要经过 小时后，学生才能回到教室. tOy 0.11
