1、容斥原理（二）【例题分析】例 1. 有 25 人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有 10 人，第二次达到优秀的有 13 人，第三次达到优秀的有 15 人，三次都达到优秀的只有 1 人。只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。 10人 3人人5人一 次 二 次三 次2人（人）103521答：只有两次达到优秀的有 11 人。例 2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有 6 人要了冰棍，6 人要了汽水，4 人要了雪碧
2、，只要冰棍和汽水的有 3 人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有 1 人；三样都要的有 1 人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。614冰 汽?人03雪方法一： （人）6431010()()方法二： （人）2答：共有 10 个小朋友去了冷饮店。例 3. 有 28 人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有 8 人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是 17 人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用 0 表示。跑 跳8？投 0（人）28173
3、答：只参加跑和投掷两项的有 3 人。例 4. 某校六年级二班有 49 人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有 30 人参加，英语有 20 人参加，语文小组有 10 人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有 3 人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有 1 人，求既参加英语又参加数学小组的人数。分析与解：根据已知条件画出图。数 英49人 质3语 021质三圆盖住的总体为 49 人，假设既参加数学又参加英语的有 x 人，既参加语文又参加英语的有 y 人，可以列出这样的方程： 30213149y整理后得： x9由于 x、y 均为质数，因而这两个质
4、数中必有一个偶质数 2，另一个质数为 7。答：既参加英语又参加数学小组的为 2 人或 7 人。例 5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20 人，语文 20 人，英语 20人，数学、英语两科满分者 8 人，数学、语文两科满分者 7 人，语文、英语两科满分者9 人，三科都没得满分者 3 人。问这个班最多多少人？最少多少人？分析与解：根据题意画图。数 英 98语2073设三科都得满分者为 x全班人数 207893x整理后：全班人数39x39+x 表示全班人数，当 x 取最大值时，全班人数就最多，当 x 取最小值时，全班人数就最少。x 是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而 x 中
5、的人数一定不超过两科得满分的人数，即 且 ，由此我们得到 。另一方面 x 最小可能是78， 970，即没有三科都得满分的。当 x 取最大值 7 时，全班有 人，当 x 取最小值 0 时，全班有()374639 人。()39答：这个班最多有 46 人，最少有 39 人。【模拟试题】（答题时间：30 分钟）1. 六年级共有 96 人，两种刊物每人至少订其中一种，有 的人订少年报，有23的人订数学报，两种刊物都订的有多少人？122. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积小明 14 12 8 4 38
6、小龙 20 12 8 4 44他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班 45 名同学参加体育测试，其中百米得优者 20 人，跳远得优者 18 人，又知百米、跳远都得优者 7 人，跳高、百米得优者 6 人，跳高、跳远均得优者 8 人，跳高得优者 22人，全班只有 1 名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出 10 名三好学生，又知四、五年级连续三好生 4 人，五、六年级连续三好生 3 人，四年级、六年级两年评上三好生的有 5 人，四、五、六三年没评过三好生的有 20 人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？【试题答案】1. 六年级共有
7、96 人，两种刊物每人至少订其中一种，有 的人订少年报，有23的人订数学报，两种刊物都订的有多少人？129631296()()人或 人答：两种刊物都订的有 16 人。2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积小明 14 12 8 4 38小龙 20 12 8 4 44他们住的一套房子共有多少平方米？384125804()平 方 米或 平 方 米答：这套房子共有 58 平方米。3. 某班 45 名同学参加体育测试，其中百米得优者 20 人，跳远得优者 18 人，又知百米、跳远都得优者 7 人，跳高、百米得优者 6 人，跳高、跳远均得优者 8 人，跳高得优者 22人，全班只有 1 名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。452086839()()人 人39()人4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出 10 名三好学生，又知四、五年级连续三好生 4 人，五、六年级连续三好生 3 人，四年级、六年级两年评上三好生的有 5 人，四、五、六三年没评过三好生的有 20 人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？设三年连续三好生人数为 x 人全班人数 1035420全班人数 38xx 最大是 3，最小是 0所以这个班最多有 名同学，最少有 38 名同学。()41()380
