1、学科：数学教学内容：平行四边形的特征学习目标 1掌握平行四边形的定义及平行四边形的特征 2能够灵活运用平行四边形的特征进行有关的计算3了解解决平行四边形问题的基本思想、是转化为三角形来处理4掌握平行线的性质即平行线之间的距离相等学法指导在理解的基础上识记平行四边形的概念及其性质，并根据相应的条件选用相应的性质利用平行四边形是中心对称图形来解决一些实际问题更容易基础知识讲解1平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用符合“ ”表示，四个顶点分别为A.B.C.D.则这个平行四边形记作 ABCD2平行四边形的特征（1）平行四边形的两组对边分别平行（2）平行四边形的对边相等，对角相等（
2、3）平行四边形的对角线互相平分（4）平行四边形是中心对称图形注意：特征（2） （3）利用平行四边形是中心对称图形的性质可推出3平行线的性质平行线的距离为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离由平行线距离的定义可知，每作两条距离与两平行线组成个平行四边形，为此有无数个平行四边形，根据平行四边形的特征可得，平行线之间的距离处处相等.重点难点重点：平行四边形的定义和特征难点：1运用中心对称图形的特征来理解平行四边形的特征2作适当的辅助线把平行四边形分解成三角形来解决一些问题3平行线之间的距离处处相等，实质是平行四边形对边相等易错误区分析1利用平行四边形的定义判定一个四边形是平
3、行四边形易犯如下错误例如：已知如图 12-1-1 所示，在 ABCD 中，AECF.求证：四边形 EBFD 是平行四边形错证：四边形 ABCD 是平行四边形ABDC，ADBC在ABE 和CDF 中ABDC AC AECFABECDF（SAS） BEDF 四边形 EBFD 为平行四边形分析：BEDF 不能得出四边形 EBFD 是平行四边形，而由 BEDF，再由已知 ABCD 才能得出正确证：连结 BD四边形 ABCD 为平行四边形AD BC 又AECF EDBF12 BEDBFD3=4 BEDF又EDBF 四边形 BEDF 为平行四边形2运用平行四边形的性质和平行线距离处处相等，易犯下面的错误例
4、如：求证平行四边形对角线上的交点到一组对边的距离相等已知：如图 12-1-2， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OEAB OFCD，垂足分别为 E，F.求证：OEOF错证：四边形 ABCD 为平行四边形OAOC ABCD3=4 2=1 OAEOCF OE0F分析：错在用12，即把1 与2 当成对顶角了，因为 OE，OF 是从 O 点分别向AB、CD 作两条垂线，而 OE 与 OF 是否是同一条直线还需证明，故不能直接利用1=2正确证明：四边形 ABCD 为平形四边形OA=OC ABCD3=4 OEAB OFCDAE0CF090 OAEOCF OEOF典型例题例 1已知如图 12-
5、1-4 所示， ABCD 中，AB 的延长线上取一点 E，使 BEAB，在 CE上取一点 M 使 CMCD，连结 DM 并延长交 AE 的延长线于点 F.求证 BDBF分析：由于 BD，BF 是BDF 的两边，所以要证 BDBF，可由证BDF 中BDFF 入手，易知FCDM=CMDEMF，故只要证 BDCE，由此由证法一又注意到BFBE+EF，易知 BEABCDCM，EFEM，故 BFCE，从而只要证 BDCE，由此有证法二证法（一）：四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD又E 点在 AB 延长线上，且 BEAB AB CD四边形 BECD 是平行四形 BDCE BDFEMFEMFCMD
6、BDFCMD又CMCD CMD=CDM BDFCDMAFCD CDMF BDFF即 BDBF证法（二）：四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD又E 点在 AB 延长线上且 BEAB BE CD四边形 BECD 是平行四边形 BDCE，BECD又EMF=CMD，CDCM CMD=CDMEMF=CDM BECD FEMF EFEMBFBE+EFCD+EM=CM+EMCEBD即 BFBD例 2如图 12-1-5 所示：L 1L 2、ABCD、CEL 2、FGL 2、E、G 分别为垂足，则下列说法中错误的是（ ）AABCDBCEFGCA，B 两点的距离就是线段 AB 的长DL 1与 L2间的距离就
7、是线段 CD 的长分析：根据平行线之间的距离处处相等，推出夹在两平行线之间的平行线段也相等 （由图象的平移也可得到）答：选 D例 3如图 12-1-6 所示：已知六边形 ABCDEF 的 6 个内角均为 120，CD2cm，BC8cm，AB8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长分析：分别求出六条边的长度，再求六边形的周长显然不可能，从图中可以发现 AF 分别绕 A 点，F 点旋转 60后分别与 BA，EF 在同一直线上同理 DC 分别绕 D，C 旋转 60后，分别与 ED,BC 在同一直线上，如图所示，得到一个平行四边形 EMBN，MFA 与DCN都为等边三角形，所以六边形的周长应等于平行四
8、边形的周长减去 AF+DC解：由已知可得MN60，又BE120所以 ENMB，EMNB，所以四边形 MBNE 为平行四边形又因为AMF，CDN 为等边三角形所以 MA=AFMF5cm，CDCNDN2cmMBEN8+513cm，MEBN8+210cm故 ED13-211cm，EFME-MF10-55cm得六边形的周长为 8+8+2+11+5+539cm例 4把边长为 3cm，5cm 和 7cm 的两个三角形拼成一个四边形，一共能拼成几种不同的四边形？其中有几种是平形四边形？分析：由于要拼成四边形，故两个三角形一定有两条边重合在一起，这条重合的边即为四边形的对角线因此找出问题的突破口，分三种情况讨
9、论不难得出正确的答案（1）以 3cm 长的边为对角线，有两种拼法，得到两个四边形中有一个是平行四边形如图所示：（2）以 7cm 长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中有一个平行四边形如图所示：（3）以 5cm 长的边为对角线，也有两种拼法，得到两个四边形，其中也有一个是平行四边形，如图所示：答：总共拼成 6 种不同的四边形，其中有 3 种是平行四边形创新思维例 1一块平行四边形菜地，若它的面积是 144，测得相邻两边上的高分别为 8 和 9，请你用平行四边行形的特征和有关的知识计算出它的周长分析：如图 12-1-7 所示：要求周长必须求出 BC，CD 的长从面积入手得BCAE144
10、 CDAF144 因而可求出周长解：因为 BCAE144，AE8，所以 BC18因为 DCAF144，AF9，所以 DC16所以平行四边形菜地的周长=2（BC+DC）2（18+16）68例 2如图 12-1-8，ABC 中 ABAC，点 P 在 BC 上任一点，PEAC，PFAB 分别交AB，AC 于 E、F，试问线段 PE，PF，AB 之间有什么关系？试证明你的结论分析：对于由给定条件寻求结论的这类探索性问题，其解题思路一般是从给的条件出发探索、归纳、猜想出结论，然后对猜想的结论进行证明答：由线段 PE，PF，AB 之线段长度，不难得出三线段之间的关系为 PE+PFAB证明：PEAC EPB
11、C又ABAC BCEPBB PEEBPEAC PFAB 四边形 AEPF 是平行四边形 PFAE由+得 PE+PFEB+AE，即 PE+PFAB例 3如右图：田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角 A、B、C、D 处均有一棵大核桃树，田村准备开挖池塘养鱼，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形，请问田村能否实现这一设想，若能，请你画出图形，若不能，请说明理由 （画图要留下痕迹，不写作法）分析：由平行四边形的特征可知，四棵树应在平行四边形的边上，面积要扩大一倍，则把BOA、BOC、COD、AOD 的面积扩一倍即可，分别过点 B，点 D 作 AC 的平行线；过点
12、A，点 C 分别 BD 的平行线，不难证明四边形 ABCD就是符合条件的平行四边形的池塘答：能，画法如图中考练兵1已知如图 12-1-9，平行四边形 ABCD 中 E，F 分别是 BC，AD 边上的点，且BEDF，AC 与 EF 交于点 O求证：OE=OF证明：四边形 ABCD 是平行四边形AD BC 12BEDF BC-BEAD-DF 即 ECAF在AOF 和COE 中AOFCOE（AAS） OFOE2如图 12-1-10， ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O，若 AC8，BD6，则 AB 长的取什范围是（ ）A1AB7 B2AB4C6AB8 D3AB4解：由平行四边形的性质对角
13、线互相平分得 OA=4 OB3，由三角形三边关系得OA-OBABOA+OB 即 1AB7答：故选 A3如图 12-1-12，将 ABCD 沿 AC 折叠点 B 落在 B处，AB交 DC 于点 M，求证：折叠后重合的部分（即MAC）是等腰三角形证明：BACBAC ABAB，BC=BC又AD=BC CD=AB ADBC CDABADCCBA(SSS) ACD=CABMA=MC 即MAC 是等腰三角形4如图 12-1-13，E、F 是平行四边形 ABCD 对角线上的两点，且 AECF，求证：ABFCDE证明：四边形 ABCD 为平行四边形ABCD，CAB=DCAAE 二 CF AE+EF=CF+EF
14、 即 AF=CEABFCDE随堂演练一、判断题1平行四边形的对边分别相等（ ）2平行四边形的对角线相等（ ）3平行四边形的邻角互补（ ）4平行四边形的对角相等（ ）5平行四边形的对角线互相平分一组对角（ ）6对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（ ）二、选择题1已知 ABCD 中：AB=4cm，BC=7cm，则周长为（ ）A11cm B22cm C28cm D44cm2在 ABCD 中，A 比B 大 20，则C 的度数为（ ）A60 B80 C100 D1203在 ABCD 中，A：B：C：D 的值可以是（ ）A1：2：3：4 B3：4：4：3C3：3：4：4 D3：4：3：44平行四边
15、形两条对角线分成全等的三角形（ ）A2 对 B4 对C6 对 D8 对5如图 12-1-14 中， ABCD 的内角BAD 的平分线 AE 交 BC 于 E，且 AEBE，则BCD 的度数是（ ）A60 B30C120 D60或 1206如图 12-1-15，以 A、B、C 三点为其中的三个顶点作形状不同的平行四边形一共可以作（ ）A1 个 B2 个C3 个 D4 个三、填空题1 ABCD 中 AB：BC=4：3，周长为 28cm，则 AD= cm，CD cm.2 ABCD 中A+C=140，则C= 度，B= 度.3 ABCD 中周长为 6Ocm，对角线相交于点 O，AOB 的周长比BOC 的
16、周长多 8cm，则 AB= cm，BC cm.4 ABCD 中 BD 是对角线，且 BCBD，CBD=70，则ADC= 度四、解答题1已知平行四边形中相邻两边长度比是 5：3，其中较小边的长是 6cm，求这个平行四边形的周长2如图 12-1-16 所示，在 ABCD 中，AD2DC，M 为 BC 边的中点，连结 AM、DM，试问直线 AM 与 DM 有何位置关系？说明你的理由？3如图 12-1-17，ADBC，AD8，BC13，AB6，CD5，B=53求D 的度数五、证明题1已知：如图 12-1-18，在 ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF.求证：（1）AECF（2
17、）AECF2已知：如图 12-1-19，四边形 ABCD 为平行四边形，E、F 是直线 BD 延长线上的两点，且 DEBF，求证 AECF参考答案一、判断题1 2点拨：对角线不一定相等，但互相平分3 45点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分 6二、选择题1B 点拨：周长=2（AB+BC）21122cm2C 点拨：由A 与B 互补，A 比B 大 20，可求出A，而A 与C 为对角，可得C 的度数3D 点拨：由平行四边形的性质可得AC，BD，满足这关系的只有 D4B 点拨：对角线与平行四边形的两条邻边构成 2 对三角形全等，两条对角线的一半与平行四边形的一边组成 2 对三角形全等5C 点拨
18、：AE 平分BAD，则BAEEAD，AEBE，则BBAE，因为 ADBC，则AEBEAD，即BBEABAE60，所以BCD1206C 点拨：将某一条边为对边，另外两条边为邻边，共有 3 种画法三、填空题16；8 点拨：由 AB+BC14cm，AB：BC4：3 得 AB8cm，BC6cm，因为ABCD，BCAD，即 AD6cm，CD8cm270；110 点拨：A=C 所以C=70，B180-70110319；11 点拨：AOB 为周长比 BOC 的周长多 8cm，即 AB 比 BC 多 8cm，又因为AB+BC= cm，就可求出 AB 和 BC.04125四、解答题1解：如图（1）所示AB6cm
19、，AD：AB5：3AD=10cm 平行四边形的周长为 32cm2答：互相垂直点拨：由已知得 ABBM，故BMA=BAM又 ADBC，故BAMMAD，同样的道理CDMMDA又 ABCD，故BAD+CDA18O，即 2DAM+2ADM180即DAM+ADM90，AMD90，AMDM3解：如图（2）所示，过 A 作 AEDC 交 BC 于 E.ADBC，AEDC四边形 AECD 为平行四边形 ECAD8BEBC-EC13-85，EACD5BAEB53AECBBAE106DAEC=106五、证明题1证明：四边形 ABCD 为平行四边形AB DC ABECDF在ABE 和CDF 中ABECDF（SAS） AECF AEBCFDAEDBFC（等角的补角相等） AECF2证明：如图（3）所示四边形 ABCD 是平行四边形ADBC，ADBC 12BD 是直线 1+3180，2+418034ADECBF AECF
