1、豆丁标准与论文网： 解约束优化问 题的差分进化 算法 1刘若辰，李勇，焦李成 智能感 知与 图像 理解 教育 部重点 实验 室， 西安 电子 科技大 学智 能信 息处 理研 究所， 西安（ ）E-mail： 摘 要 : 基 于 差 分 进 化 算 法 的 相 关 理 论 以 及 随 机 排 序 约 束 处 理 方 法 , 本 文 提 出 了 一 种 新 的 基 于 差 分 进 化 算 法 来 解 决 约 束 优 化 问 题 . 该 算 法 对 种 群 的 进 化 采 用 了 随 机 保 留 次 优 解 的 策略, 有 效的 提高 了种 群多 样性. 对 13 个标 准测 试问 题的测 试结 果
2、表 明, 与动 态惩罚 函数 的 进化算法 、 人工 免疫 响应 约 束进化 策略 、 可行 性规 则 的差分 进化 算法 以及 采用 随机排 序的 进化 策略相 比, 新算 法在 收敛 速度和 求解 精度 上均 具有 一定的 优势 .关键词: 差分进 化算 法; 约 束优 化; 随机排 序 中图法 分类号 ：TP18 文献标识码: A1 引言近 年 来 ， 进 化 算 法 已 经 被 成 功 的 运 用 在 广 泛 的 工 程 领 域 ， 其 中 包 括 无 约 束 和 约 束 优 化 1-4。 目 前 进化计算用于无约束优化问题 的文献居多，而对约束优 化问题的研究相对较少 ， 如何处 理
3、 约 束条 件是 进化 计算解 决约 束优 化问 题的 主要问 题 ， Michalewicz5, 6将现有 的约 束 优化进 化 算 法分 成 4 类 ： 保存 可 行解 方法 、 罚函 数 法、 可 行 解优 于不 可行 解 方法以 及其 它混 合方法 。 其中 ， 罚 函数 法 是最常 用的 处理 约束 条件 的方法 ， 但是 传统 的罚 函 数法对 罚参 数有 很强的 依 赖 性 7， 为解决 这 一问题 ， 很 多学 者提出 了 新的 改 进方 法， 文献4 详 细给出 近年 来 相关领域的 工作的 回顾， Runarsson 等 提出了随 机排 序处理约束 的方法 8，通 过引入一
4、个 随 机数来 达 到 平衡 目标 函数 和约束 函数 的目 的 ， 获 得 了良好 的效 果 ， 为 进化 计 算求解 约束 问题 提供了 新 思 路。差分进 化( Differential Evolution, indicated by DE)是一 种新兴 的进 化计 算技 术， 是由 Storn 和 Price 于 1995 年提 出的 9，此后， DE 算 法及 其各 种改进 算法 相继 提出 10-13。D E 算法 是 基于种 群 智 能理 论的 优化 算法 ， 具 有记 忆个 体最 优 解和种 群内 信息 共享 的特 点， 其采 用实 数 编码 ，基 于差 分的变 异操 作和一
5、对一 的竞 争生 存策 略。 本质 上， DE 算 法是 一 种基于 实数 编 码的具 有 保 优思 想的 贪婪 遗传算 法 。目前 ， DE 算 法 已在 诸 如优 化、 人工 神经 网络 、信 息处 理等多 个 领 域取 得成 功 ， 但对 于 约束 优化 问题 ， DE 算法 与 其他 的进 化算 法一 样面临 如何 处 理约束 的 问 题。本文基 于差 分进 化算 法的 相关理 论以 及随 机排 序约 束处理 方法 ， 提出 了一 种 新的基 于差 分 进 化 算 法 来 解 决 约 束 优化 问 题 的 算 法 随 机 排 序差 分 进 化 算 法 (Stochastic Ranki
6、ng based Differential Evolution Algorithm, indicated by SRDEA)，算 法 中， 进化 策略 采用 的差分 进化 ， 不同于 传 统 的差 分进 化计 算的是 在提 出的 算法 中采 用的是 全局 择优 选择 策略 ， 约束的 处理 采 用了随 机 排 序约 束处 理方 法。 通过 13个 标准 测试 问 题对算 法的 性能 进行 了全 面测试 ， 测试 结 果 与 目 前 比 较 典 型 的 四 个 算 法 诸 如 采 用 动 态 惩 罚 函 数 的 进 化 策 略 (Evolutionary Algorithm based on H
7、omomorphous Maps, indicated by EAHM） 14、采用人 工免 疫响 应约 束 进化策 略 15 (Artificial Immune Response Constrained Evolutionary Strategy, indicated by AIRCES)、 采用 可1本课题得到国家自然科学基金(, , )和国家教育部博士点基金( )的 资助。j j1 2 3行性规 则的 差分 进化 算法 16 (Constraint Handling Differential Evolution, indicated by CHDE) 以及 采用 随机 排序 的进 化
8、策略 8 (ES with Stochastic Ranking, indicated by ESSR)进行 了比 较，结 果表 明， 对大 部分 约束问 题， SRDEA算 法在 加速收 敛的 同时 可提 高解 的精度 。本文的 结构 安排 如下 ： 第 二部分 简单 介绍 约束 优化 问题的 定义 ； 第 三部 分给 出基本 差 分 进化算 法 的 步骤 及其 相关 的改进 算法 ， 并 简要 回顾 近 年来 差 分进 化算 法在 约束 优化问 题的 相 关工作 ； 第四 部分 介绍 本 文提出 的算 法 ； 第 五部 分 是实验 部分 ， 分为 两个 子 部分 ， 首 先通 过 对13个
9、 标 准 约束 优化 问题 的测试 ， 比 较本 文算 法和 目 前比 较 好的 四个 处理 约束 优化问 题的 进 化算法 来 验 证算 法的 性能 ， 另 外分 析算 法中 的几 个 重要参 数对 算法 性能 的影 响， 给出 它们 各自的合 理的 取值 范围 ；最 后简单 给出 结论 ，并 指出 未来的 研究 方向 。2 约束优化问 题(Constr ained Optimization Problem, COP)约束优化 问题的模 型来源 于生产实 践，现实 生活中 许多问题 经过建模 都可归 结为求解 如 下形式 的数 学模 型， 以最 小化问 题为 例， 约束 优化 问题可 统 一
10、 描述 为：nMinimize f ( x) 其中 , x = ( x1 , x2 , ., xn ) (1)st g j ( x) 0, j = 1,“ , lh j ( x) = 0, j = l + 1,“ , m这里, x S 为决 策向 量， 为 可 行域， S 为决 策空 间。 一 般地， S 为 n 中的 n 维 长方体， ( L ) (U ) ( L ) (U )xi CR) or j j i = 1, 2,“ NP, j = 1, 2,“ D (3)ij , k rand其中 rand(j)是 产 生0, 1间 的一个 均匀 随机 数， jrand 是随 机产生 一 个 1
11、到 D 之 间的 自然 数， CR 0,1的 一个 实参 数。DE 算法 的选 择操 作采 用一 对一的 贪婪 选择 ， 即若 当 前的种 群中 个体 对应 的目 标函数 值 比它们的 父代较优 ， 该个 体就在 下 一代中代 替父代 个体。种 群中所有 个体必 须被作为 父 代 个体进 行 这 样的 一次 操作 ，以便 在下 一代 中出 现相 同个竞 争者 。上面阐 述的 是基 本 DE 算 法的步 骤 ， 在 实际的 运用 中出现 了几 种 DE 的 变形 形式 17， 用 符号 DE/x/y/z 加以区分， 其中 ： x 表 示当 前被 变异 的向量 是 “随机 的” 或 “最佳的 ”；
12、 y 是 所 利 用 的 差 向 量 的 个 数 ； z 是 指 交 叉 操 作 的 方 法 ， 上 面 所 叙 述 的 交 叉 操 作 的 方 法 表 示 为 “bin”。 利 用这 个表 示方 法 ，上 述 的基 本 DE 算 法可 以描述 为 DE/rand/1/bin。DE 还有 其他 形式 ， 如：DE/best/1/bin, 其中: V = X + F ( X X ) (4)i , k +1 best , k r1 , k r2 , kDE/best/2/bin, 其中: V = X + F ( X X + X X ) (5)i , k +1 best , k r1 , k r2
13、, k r3 , k r4 , kDE/rand/2/bin, 其 中: V = X + F ( X X + X X ) (6)i , k +1 r1 , k r2 , k r3 , k r4 , k r5 , k作为一 类简 单而有 效的 进 化算法1 8， DE 算法 已被 成功 用 于求 解优化 问题 ， 包括有 约束与无 约束 优化 ， 目 前基 于 DE 算法 求解 约束 问题 的大部 分的 算法 所采 用的 约束处 理技 术 是 罚函数 法。 本节 只对 近年 来 基于 DE 在 约束 优化 方面 工 作做简 单的 总结 Lampinen 和 Zelink19 利用 DE 算 法来
14、 解决 工程 设计问 题 ， 提 出了 “软约 束” 的 方法 来处 理问 题的 约束条 件 ， 这 一 方法本 质上 是一 种静 态罚 函数法 ， 并通 过三 个重 要 的工程 设计 问题 来验 证算 法的有 效性 。 该 算法尽 管避 免了 传统 罚函 数法在 惩罚 因子 方面 的弱 点， 但其 对罚 因子 的设 置 要求很 高 ， 另 一 方面罚 函数 的定 义非 常复 杂。 Efrn 和 Coello20使用 了一种 比较 的选 择准 则来 进化种 群， 并 且加入 了把 少量 不可 行解 保留的 多样 性机 制 ， 从 而 来扩大 搜索 空间 ， 避免 陷 入局部 最优 ， 这 种方
15、法 对那 些最 优解 在约 束边界 的问 题， 取得 了不 错的效 果。 Storn 和 Price21为了使 所有 初 始群体 成为 可行 解都 落在 可行域 而在 处理 约束 时采 用了一 种自 适应 机制 ， 一 方 面是对 可行 域 的扩张， 从而 使所 有初 始 解可行， 另一 方面， 自适 应的对 伪可 行域 进行 收缩 ， 同时 在 DE 算 法中利 用基 于衰 老因 子和 重复生 成子 代的 策略 ， 缺 点 是算法 中增 加的 用户 的参 数使得 算法 的 计算量 大大 增加 。 Becerra22等将文化 算法 的信 任空 间 的知 识 源引 入 DE 算 法中， 并将其
16、用于 求解约 束优 化问 题 ， 由 于 算法的 信任 空间 对算 法的 搜索产 生较 高的 选择 压力 ， 导 致算 法易 陷 入局 部 最 优 。 Sarimveis23等提 出 了 一 种 排 列 的 DE 算法， 算法 中采 用增 广拉 格郎日 方法 处理 约束 ， 罚 因子 与拉 格郎 日 乘子随 进化 进程 而调 整 ， 同时根 据个 体的 适应 度在 种群中 的排 序来 确 定 DE 交叉变异的程 度。本文在差 分进化算法中引入随机排 序的方法来求解约束优化 问 题，并 通过 实验 验证 算法 的性能 。j 2f4 随机排序差 分进 化算法( SRDEA)4.1 约束条件 处理对
17、于（1 ）式 的约 束优 化问 题，一 般罚 函数法 中常 用 的以下 的方 式将 约束优 化 转化成 为 如下无 约 束 优化 问题 ： ( x) = f ( x) + rg ( g j ( x)其 中 0 是实 值 函数 ，其 由罚 因子 rg 决定各 个约 束的 惩罚 程度， 且,(7) max0, g ( x)2 j = 1,., l ( f ( x) = j(h ( x) j = l + 1,., m (8)j约束违 反度 的值 被用 来惩 罚不可 行解 ，使 得可 行解 能在进 化的 过程 中受 到优 待而保 留 。尽管罚 函数 法是 处理 约束 优化中 最常 用方 法， 但它 们
18、 的主要 的一 个缺 点就 是罚 因子 rg 的选 取 比较困 难， 若罚 因子 r 过小 ， 则属 于欠 惩罚 ， 此 时， 群 体可能 收敛 到不 可行 解； 若罚因 子 rg g过大 ， 则 属于 过惩 罚， 此 时， 群体 难以 利用 不可 行 解所提 供的 一些 有用 信息 ， 而 易陷 入局 部 最优 。 所 以无 论过 惩罚 或 欠惩罚 都不 是好 的约 束处 理方法 , 要 解决 这一 问题 ， 必须要 平衡 目 标函数 与罚 函数 以使 算法 在可行 域里 向最 优解 搜索 ， 而不是 在不 可行 域或 组合 可行域 搜索 最 优解。 随机 排序 处理 约束 就是基 于这 一
19、思 想提 出的 8， 其基本 思想 是: 若 在可 行 解空间 内， 对应目标函数 值小的个 体占 优；在非可 行解空间 ，引 入一个随机 数 P ，以概率 P 使对应目标f f函数值 小的 个体 占优 ， 以 概率 1 Pf 使违反 约束 函数 值小 的个体 占优 . 通 过这 种概 率的方 式 ，来达到 平衡 目标 函数 和约 束函数 的目 的。当 Pf =0 时， 个体 的排 序处 于 过惩罚 状态 ，此 时， 若一 个可 行 解和 一个 不可 行解 比较 ， 可行解 占 优 ； 两个 可行 解 或者两 个非 可行 解比 较 ， 以对应 目标 函数 值小 的占 优， 这样 的方 法 就类
20、 似 于 文 献 15中采 用 的 比较 准 则 .当 P =1 时， 个体 排 序处 于 亚惩 罚状 态, 此时 ， 个体 的优 劣只取 决 于 个体 对应 的目 标函数 值， 忽略 了约 束条 件的作 用。一 般 来 说 ， 基 于 进 化 算 法 的 约 束 处 理 技 术 只 处 理 不 等 式 约 束 条 件 。 对 于 等 式 约 束h j ( x) = 0 ， 通 常的 处理方 法是 把它 们转变 为不 等式 约束 hj ( x) ， 其 中， 为等 式约 束条 件的容忍 值 。 容 忍值 的选 取 方法有 两种 , 一 种是 动态 容忍值 ， 另一 种是 静态 容 忍值 20。
21、 动态 容忍度值 方法 是指 随着 进 化代数 的增 加 ， 越 来越趋 近于一 个近 似 于 0 很 小的 正数 ， 在 进化 的 最后阶 段 ， 此 时的 不等式 约束就 近似 于等 式约 束。 静态容 忍度 值方 法就 是直 接令 等 于一 个近似 于 0 很 小的 正数 ，本 文采用 的是 静态 容忍 度值 方法。4.2 随 机 排 序 差 分 进 化 算 法 (Stochastic Ranking based Differential EvolutionAlgorithm, SRDEA)本文提 出的 随机 排序 差分 进化算 法（ SRDEA） 基 于 DE 算 法的 改进 ，同 时
22、 采用随 机排 序 处理约 束 的 方法 ，算 法具 体步骤 如下 。Step1: 随机生 成 NP 个 个体组 成初 始群体 X 0 = ( X1,0 , X 2, 0 ,“ X NP ,0 ) ， 这些 个体从 给定 边界的约 束内 随机 进行 选择 ， 一般假 定其 符合 均匀 概率 分布；设置 算法 初始 参数 ： 变异参 数 F ，交叉参 数 CR 、最大 进化 代数 Gmax 以及随 机数 Pf ；-5-豆丁标准与论文网： 2 3Step2: 计 算各 个个 体的 目 标函数 值， 并判 断搜 索是 否结束 ，否 则转 到 第 3 步 ；Step3: 采 用进 行(2 )式 和(3
23、) 式进行 差分 变异 操作 和差 分交叉 操作 ，以 生成 新个 体；Step4: 选 择 操作 。 由 于处理 约 束 采 用的 随 机排 序 的方 法 是 一 种类 似 冒泡 排 序的 方 法 ， 针对这 个 方 法的 特点 ， 本 文对传 统 的 DE 算法 的贪 婪选 择 做了 改进 。 SRDEA 中将交 叉变 异 后新产 生 的 种群 与先 前的 种群混 合在 一起 重新 排序 ， 得 到新 种群 进入 下一 代 ， 而不是 当前 个 体与其 父 辈 个体 做一 对一 的贪婪 选择 。算 法流 程如 下图 1 所示 ：f ( xi ,G )xi,G i, i = 1, 2,“ ,
24、 NPi, i = 1, 2,“ , NPr1 r2 r3jrand = randint(1, D)u ji,G +1 = v ji ,G +1 = x jr ,G + F ( x jr ,G x jr ,G )u ji,G +1 = x ji ,GI = xG ; uG +1 (I j ) = ( I j +1 ) = 0f (I j ) f ( I j +1 )I j , I j +1rand ( j) Pf (I j ) (I j +1 )I j , I j +1xG +1 = I (1:1: NP)图 1: SRDEA 算法流程 (randint 是在区间 (1, D)随机产生一个 整
25、数的函数)5 仿真实验与 结果 分析本小节 将对 提出 算法 的性 能进行 全面 测试 ， 实 验分 为两部 分， 第一 部分 本文 算法与 其 它 算法比 较 测 试， 同时 考察 算法的 收敛 速度 ，第 二部 分对算 法中 的几 个重 要参 数进行 了分 析 。5.1 比较测试 实验为了测 试算 法的 性能 ， 将 本 文算法 对与 目前 比较 典型 的四个 算法 诸如 采用 动态 惩罚函 数 的进化 策略 14(Evolutionary Algorithm based on Homomorphous Maps, indicated by EAHM） 、 采 用 人 工 免 疫 响 应
26、约 束 进 化 策 略 15 (Artificial Immune Response Constrained Evolutionary Strategy, indicated by AIRCES)、 采 用 可 行 性 规 则 的 差 分 进 化 算 法 16 (Constraint Handling Differential Evolution, indicated by CHDE)， 采用随 机 排序的 进化 策略 8 (ES with Stochastic Ranking, indicated by ESSR)进行 了 比较 ， 测 试采 用国 内外常 用 的 13 个标 准测 试 函数
27、. 这些 测 试函数 是 用 进化 算法 很难 取得全 局最 优解 的一 些很 具代表 性的 函数 ， 关 于这 些 函数的 具体 特 征 ，例 如可 行域 的特 性和约 束 条 件的 类型 等， 在文献 8中有 详细 的描 述， 其具 体表 达式 见 附录。max算法 用 Matlab 7.0 实现 ， 各算法 均运 行 在 Intel(R)Core(TM)2 1.86GHz CPU, 2GB 内 存，Windows XP 操 作系 统的 PC 机 上。 每个 测试 函数 独 立运 行 30 次， 统计 SRDEA 的 30 次运 行中获 得的 最优 结果 、中 值、平 均结 果、 最差 结
28、果 、以及 标准 差。本文中 的参 数设 置 与 CHDE14保持一 致 ， 具 体 参 数 设置 如 下 ： NP=60， G = 5800 ，变 异参数 F 取0. 3, 0.9之间 均匀 随机数 ，交 叉参 数 CR 取0.8, 1.0之间 均匀 随机 数， Pf = 0.45 。 EAHM 与 AIRCE 的参 数 设置 见 文献 18。 等 式约 束 hj ( x) = 0 被转变 为不 等式 约束 hj ( x) ， 其中对 问 题 g05， =0.0001; 对问 题 g03，g 11 和 g13， =0.001。表 1 给 出了 SRDEA 算法 运 行 30 次 得到 的结
29、果， 其中 “Optimal” 是问题 已知 的最 好的解 。由表 1 看出 ， 对 13 个测 试问题 ，除 了问 题 g07、 g13，其 余问 题都 能取 得最 优解； 对 g05、 g11 得 到了 比现 有最 优解 更好的 结果 ， 其原 因把 等 式约束 转换 成了 不等 式约 束， 扩大 了搜 索 范围。表 1: SRDEA 的测 试 结 果问题 Optimal 最优结果 中值 平均结果 最差结果 标准差g01 -15 -15.000 -15.000 -15.000 -15.000 0g02 0. 0.80338 0.80288 0.80284 0.80189 0.g03 1 1
30、.0 1.0 1.0 1.0 2.1263e-006g04 -30665.539 -30665.539 -30665.539 -30665.539 -30665.539 1.1101e-011g05 5126.498 5126.4967 5126.4967 5126.4967 5126.4967 2.0132e-008g06 -6961.814 -6961.814 -6961.814 -6961.664 -6957.421 0.80145g07 24.306 24.378 25.653 26.939 40.055 3.3221g08 0. 0. 0. 0. 0. 3.2825e-008g09
31、680.63 680.630 680.630 680.630 680.632 0.g10 7049.25 7049.248 7049.248 7049.248 7049.248 8.3376e-006g11 0.75 0.7499 0.7499 0.7499 0.7499 1.8021e-009g12 1 1 1 1 1 0g13 0. 0. 0.4388 0.29946 0.43881 0.17909图 2 给 出 了 SRDEA 算 法 对 13 个函 数算 法的 进化 曲 线。 在 13 个测 试函 数中 g02、g0 3、g08 和 g12 为求 最大 值优 化问题 ， 其余 函数 为
32、求 最小 值优化 问题 。 为了 方便 进化 曲线的 表示 ， 我们把 这四 个求 最大 值优 化问题 取反 转化 成求 最小 值问题 。 其 中每 个函 数都 独 立运 行 30 次， 每隔五 百代 取一 个点 ， 得 到函数 此时 的最 优解 的均 值与标 准差 ， 其中 在该 点 的各个 函数 的最 优解的 均值 用圆 圈表 示， 标准差 用在 该点 的上 下竖 直线表 示。 从 图 2 可 以看 出除函 数 g02、 g07、g 13 外， 其余 函数 均 能在给 定代 数内 收敛 到最 优解， 而且 进化 速度 快， 稳定性 较好 。-7-豆丁标准与论文网： unction va l
33、u ef unct i onv a luef unct ion v aluef unct ionv a luef unct ionv a lue f unc t ionv a luef unct i onv a l uef unct ion va lu ef unct ion va lu ef unct ion va lu e-14.985-14.99mean and std -0.5-0.6mean and std-14.995 -0.7-15 -0.8-15.0050 2000 4000 6000generation(g01）-0.90 2000 4000 6000generation(g
34、02)40mean and std-3.0666x 10mean and std-0.5-3.0666-1 -3.0666-1.50 2000 4000 6000generation(g03)-3.06660 2000 4000 6000generation(g04)5126.49675126.4967mean and std-6961.8139mean and std5126.49675126.49675126.496726.5260 2000 4000 6000generation(g05)mean and std-6961.8139 -6961.8139-6961.81390 2000
35、4000 6000generation(g06)-0.0958mean and std-0.095825.52524.5-0.0958-0.0958240 2000 4000 6000generation(g07)-0.09580 2000 4000 6000generation(g08)680.638680.636mean and std750074007300mean and std680.634680.632680.630 2000 4000 6000generation(g09)7200710070000 2000 4000 6000generation(g10)fu nc tionv
36、 a luefunc tionv aluef unct i on va lu e0.74990.74990.74990.74990.74990.7499-1mean and std-1-1-1-1mean and std0.74990 2000 4000 6000generation(g11)-10 2000 4000 6000generation(g12)0.8mean and std0.60.40.200 2000 4000 6000generation(g13)图 2 SRDEA 的收 敛曲 线表 2 分别 就 EAHM、 AIRCES、 CHDE、 ESSR 以及 SRDEA 30 次
37、 运行 获得 的最 优结果 ，平均结 果以及最差结果 进行比较 。其中 “-” 表 示找不到 可行解， “NA”表示不可用 ；“N o”表示文 献中 未给 出结 果。表 2: EAHM, AIRCES, CHDE, ESSR 和 DEASR 的统计结果比较问题 最优解 统计项 EAHM AIRCES CHDE ESSR SRDEA最优结果 -14.7886 -15.000 -15.000 -15.000 -15.000g01 -15.000 g02 0. g031.000 g04 -30665.539 g05 5126.498 g06 -6961.814g07 24.306平均结果 -14.7
38、082 -15.000 -14. -15.000 -15.000 最差结果 -14.6154 -15.000 -12. -15.000 -15.000 最优结果 0.79953 0. 0. 0. 0. 平均结果 0.79671 0. 0. 0. 0. 最差结果 0.79119 0. 0. 0. 0. 最优结果 0.9997 1.000 1.000 1.000 1.0 平均结果 0.9989 1.000 0. 1.000 1.0 最差结果 0.9978 0.999 0. 1.000 1.0 最优结果 -30664.5 -30665.539 -30665.539 -30665.539 -30665
39、.539 平均结果 -30655.3 -30665.539 -30592.154 -30665.539 -30665.539 最差结果 -30645.9 -30665.539 -29986.214 -30665.539 -30665.539 最优结果 - No 5126.4967 5126.497 5126.4967 平均结果 - No 5218.723 5128-881 5126.4967 最差结果 - No 5502.4103 5142.472 5126.4967 最优结果 -6952.1 -6961.814 -6961.814 -6961.814 -6961.814 平均结果 -6342
40、.6 -6695.987 -6367.575 -6875.940 -6961.664 最差结果 -5473.9 -6030.333 -2236.9503 -6350.262 -6957.421 最优结果 24.620 No 24.306 24.307 24.378 平均结果 24.826 No 104.5992 24.374 26.939 最差结果 25.069 No 1120.541 24.642 40.054g08 0. 最优结果 0. 0. 0. 0. 0.-9-豆丁标准与论文网： 0. 0. 0. 0. 0.最差结果 0. 0. 0. 0. 0.最优结果 680.91 680.630
41、680.630 680.630 680.630g09 680.63 平均结果 681.16 680.652 692.4723 680.656 680.630最差结果 683.18 680.801 839.783 680.763 680.632最优结果 7147.9 No 7049.248 7054.316 7049.248g10 7049.25 平均结果 8163.6 No 8442.657 7559.192 7049.25最差结果 9659.3 No 15580.37 8835.655 7049.26最优结果 0.75 0.75 0.749 0.750 0.7499g11 0.75 平均结果
42、 0.75 0.75 0. 0.750 0.7499最差结果 0.75 0.75 0. 0.750 0.7499最优结果 0. 1.000 1.000 1.00000 1.00000g12 1.000 平均结果 0. 1.000 1.000 1.00000 1.00000最差结果 0. 1.000 1.000 1.00000 1.00000最优结果 NA 0. 0. 0. 0.g13 0. 平均结果 NA 0. 0. 0. 0.最差结果 NA 0. 2. 0. 0.由表 2 看出 ， 与 EAHM 相 比， SRDEA 在测 试问 题 g01、g0 2、 g03、g04 、g0 5、g06 、
43、g07、g 09、 g10 以 及 g12 上获 得 了更 好的 最优 结果 。在测 试问 题 g08 和 g11 获得了 与相 似 的最优 结果 ； 另 外除 了测 试问 题 g02， EAHM 对其 余的 3 个问 题都 得到 了更 好的平 均结 果 和 最差结 果。 显 然 SRDEA 的性 能 远优 于 EAHM。与 AIRCES 相 比， 对于 测 试问 题 g06、g0 9 以 及 g11，S RDEA 获 得了 更好 的最 优结果 ， 以及 对 7 个 测试 问 题 g01、 g03、 g04、 g05、 g06、 g08 以 及 g12， SRDEA 与 AIRCES 获得 了
44、 相似的 最 优 结果 ，而 且对 于问题 g02、 g06、g09 和 g11， SRDEA 得 到了 更好 的平均 结果 ， 对 g01、 g03、 g04、 g08、 和 g1 2 得 到了 与 AIRCES 获得 了 相似 的平 均结 果， 另外， SRDEA 对 g02、 g03、 g06、 g09、 g11 以 及 g12 获 得了 更好 的 最差结 果 。 因 为文 献15 并 未给出 问题 g05、 g07 和 g10 的 结果 ， 所以 比 较不 完整 ， 但 就余 下的 10 个 测试 问题 ， SRDEA 较 AIRCES 有优越 性。与C HDE相比 ，S RDEA对
45、问题g0 1、g 03、 g04、g05 、g06 、g08 、g0 9、g 10 和 g11获 得 更好的 最 优 结果 ， CHDE在 g02、 g07和g13 获得 更好 的 最优结 果 ， 而且 除了 对问 题 g12， DEASR 得到了 更 好 的平 均结 果和 最差结 果， 对于 问题 g12， 两算法 的平 均结 果和 最差 结果相 似。 CHDE与 SRDEA都是 基于 差分进 化的 约束 优化 算法 ， 对 于 大 部分 问题 ， 本 文 的算法 比 CHDE 获得了 更 好 的结 果， 其原 因 是采用 随机 排序 的约 束处 理技 术 能够 在进 化过 程中 保持种 群
46、的 多 样性， 从 而 获得 更好 的结 果。与ES SR相比 ，S RDEA对 问 题g05 、g06 、g1 0和g 11获 得更好 的最 优结 果以 及再 对g01 、 g03、g 04、 g08、g09 、g1 2获得 了 与 ESSR相 似的 最优 结果 ； 而且 ，对 问题 g02、 g05、g 06、 g09、g 11和 g10获得 更好 的 平均 结 果； 对问 题g0 1、g 03、 g04、g0 8和g 12获 得了 与ES SR相似 的平均 结 果 ；另 外对 g02、 g05、g 06、 g09、g10 、和 g11获 得 了更 好最 差结 果， 对g01 、g03 、
47、 g04、g 08 和g1 2获得 了相 似最差 结果 ，但 对于 问题 g07和g1 3， 本文 算法 的结 果 都较 ESSR要 差。 ESSR和S RDEA都 采用 的同 样 的约 束处 理方 法- 随机排 序 ， 对大 部分 测试 问 题两者 性能 相 当。采 用 差 分进 化机 制的 SRDEA在 测试 问题 g05、g0 6、g0 9、 g11上 获得 比采 用 进化策 略的 ESSR获 得更 好的 结果 ，但 对g07 和g13 稍差 ，所 以需 要进一 步的 改进 本文 算法 。从以上 比较 分析 中, 可以 看 出，S RDEA对处 理大 部分 测试 问 题都 能获 得较 好
48、的 结果。从适应 度函 数的 计算 次数 上来评 价 ， 本 文的 算法 是 348,000 次 ， CHDE 也 是 348,000 次 ，AISCES 和 ESSR 是 350,000 次， EAHM 则达 到 了 1,400,000 次， 可见 本文 的算 法在计 算复 杂 度上 与 CHDE 相 同， 而优 于 EAHM、 AISCES 和 ESSR。5.2 算法参数 分析在本小 节中 ，我 们将 对算 法中的 几个 重要 参数 进行 分析。5.2.1 随机排 序参 数 Pf 对算法 性能的 影响分 析为了检 验不 同的 P 对我 们算 法的 影 响， 对不 同的 P 取值 用我 们 的算 法独 立运 行 30 次，f f得到的 结果 如 表 3 与 表 4 所 示， 其 中 表 3 是 Pf =0 时的结 果， 表 4 是 Pf =0.475 时的 结果。 当 Pf =0 时是对不 可行解 的过惩 罚 状态，尽 管对问 题 g03、g 05、g13 ，得到 的结果 不如 Pf =0.45 时， 但是对 其余 的问 题 ， 得 到 了基本 相同 的结 果 ； 当 Pf =0.475 时 ， 对 不可 行解 的惩 罚要 稍 微低于 Pf =0.45
