1、多米诺骨牌,2.3数学归纳法（1）,问题情境一,（2）你的猜想正确吗？,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？,问题情境二,是否用行之有效，有限的步骤进行证明呢？,骨牌全倒下，需要哪些条件呢？,1、第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题,2、共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况,相似性体现在哪些方面？,多米诺骨牌与我们要解决的问题二有相似性吗？,类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明,要证明当n=1时猜想成立，由条件知，n=1 时猜想成立,即要证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.,（1）已知第一张牌要倒下,（
2、2）要保证任意前一块倒下，后一块也倒下,完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。,所以对任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项为,综合（1）和（2），知对任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项为,(1)当n=1时，由条件知猜想成立。,（2）,情景二的证明过程,概念建构,一般地证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：,1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；,2.（归纳递推）假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.,这种证明方法就叫做 。,数学归纳
3、法,数学建构,例1 利用数学归纳法证明：,学以致用,两个步骤和一个结论缺一不可: 第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳奠基（基础）； 第二步是归纳步骤，是推理的依据，能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设。第三步是总体结论，也不可少。,例2、2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),证明 ：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何nN*等式都成立。,缺乏“递推基础”,
4、这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,例3、,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,证明 当n=1时,左边= ,证明 当n=1时,左边= ,这才是数学归纳法,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,右边=,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,1、已知三角形内角和为180，四边形的内角和为360，五边形的内角和为540，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)180，若用数学归纳法证明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为 _,2、用数学归纳法证明 （a1），在验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是_.,3、用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式为 ， 共有 项， 从k到k+1左边需要增乘的代数式为,3,(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1),K+1,课堂练习,(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；,(3)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限”的问题,(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法,回顾反思,再见!,
