1、1配餐作业(二十八) 平面向量的数量积(时间：40 分钟)一、选择题1已知 p(2，3)， q( x,6)，且 p q，则| p q|的值为( )A. B.5 13C5 D13解析 由题意得 263 x0 x4| p q|(2，3)(4,6)|(2,3)| 。故选 B。13答案 B2(2016商丘模拟)在 ABC 中，已知| |4，| |1， S ABC ，则 的值AB AC 3 AB AC 为( )A2 B2C4 D2解析 SABC |AB|AC|sin BAC 41sin BAC 。sin BAC ，cos BAC12 12 3 32 12， | | |cos BAC2。故选 D。AB A
2、C AB AC 答案 D3(2017石家庄模拟)在 ABC 中， AB4， AC3， 1，则 BC( )AC BC A. B.3 2C2 D3解析 设 A ，因为 ， AB4， AC3，BC AC AB 所以 2 AB9 1。AC BC AC AC AC AB 8，cos ，AC AB AC AB |AC |AB | 834 23所以 BC 3。故选 D。16 9 24323答案 D4(2016昆明质检)设 D 为 ABC 所在平面内一点，2| |2，| |1， ， ，则 ( )AB AC AC BC CD 13BC AD CD A1 B.13C1 D13解析 在 ABC 中，因为 ，所以 B
3、C ，所以| | ，所AC BC AB2 AC2 3 BC 3以 ( ) 20 ( )2 ，故选 B。AD CD AC CD CD (AC 13BC ) 13BC 13AC BC 19BC 19 3 13答案 B5(2016江西赣南五校二模) ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1,2 且|AO AB AC | |，则向量 在 方向上的投影为( )OA AB BA BC A. B.12 32C D12 32解析 由 2 可知 O 是 BC 的中点，即 BC 为 ABC 外接圆的直径，所以AO AB AC | | | |，由题意知| | |1，故 OAB 为等边三角形，所以 ABC60。OA
4、OB OC OA AB 所以向量 在 方向上的投影为| |cos ABC1cos60 。故选 A。BA BC BA 12答案 A6(2017厦门模拟)在 ABC 中， A120， 1，则| |的最小值是( )AB AC BC A. B22C. D66解析 由 | | |cos120AB AC AB AC | | |1 得| | |2，12AB AC AB AC | |2| |2 2 22 2 222| | |26，BC AC AB AC AB AB AC AC AB AC AB 当且仅当| | | 时等号成立。AC AB 2所以| | ，故选 C。BC 6答案 C二、填空题37(2016开封一
5、模)设向量 a 与 b(1,2cos )垂直，则(12， cos )cos2 _。解析 依题意， 2cos 2 0，即 2cos2 ，12 12所以 cos2 2cos 2 1 。12答案 128已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 ( )，则 与 的夹角为AO 12AB AC AB AC _。解析 由 ( )，可得 O 为 BC 的中点，故 BC 为圆 O 的直径，所以 与 的夹AO 12AB AC AB AC 角为 90。答案 909已知在矩形 ABCD 中， AB2， AD1， E， F 分别是 BC， CD 的中点，则( )AE AF _。BD 解析 如图，将矩形放在直角坐标系
6、中，则 A(0,0)， B(2,0)， D(0,1)，E ， C(2,1)， F(1,1)，所以 ， (1,1)， (2,1)，所以 (2，12) AE (2， 12) AF BD AE AF ，所以( ) (2,1)6 。(3，32) AE AF BD (3， 32) 32 92答案 9210设 a， b， c 是单位向量，且 ab0，则( a c)(b c)的最大值为_。解析 解法一：设向量 c 与 a b 的夹角为 ，则有| a b| a b 2 ，( a c)(b c)( a b)c c2 1 cos ，故最大值是a2 b2 2ab 2 21 。2解法二： a， b 是单位向量，且 a
7、b0，故可设 a(1,0)， b(0,1)，又 c 是单位向量，故可设 c(cos ，sin )， 0,2)。( a c)(b c)4(1cos ，sin )(cos ，1sin )(1cos )cos sin (1sin )cos cos 2 sin sin 21cos sin 1 sin 。2 ( 4)( a c)(b c)的最大值为 1 。2答案 1 2三、解答题11已知| a|4，| b|8， a 与 b 的夹角是 120。(1)计算：| a b|，|4 a2 b|；(2)当 k 为何值时，( a2 b)( ka b)。解析 由已知得， ab48 16。(12)(1)| a b|2 a
8、22 ab b2162(16)6448，| a b|4 。3|4 a2 b|216 a216 ab4 b2161616(16)464768，|4 a2 b|16 。3(2)( a2 b)( ka b)，( a2 b)(ka b)0， ka2(2 k1) ab2 b20，即 16k16(2 k1)2640， k7。即 k7 时， a2 b 与 ka b 垂直。答案 (1)4 16 (2)73 312.如图， O 是 ABC 内一点， AOB150， AOC120，向量 ， ， 的模分别OA OB OC 为 2， ，4。3(1)求| |；OA OB OC (2)若 m n ，求实数 m， n 的值
9、。OC OA OB 解析 (1)由已知条件易5知 | | |cos AOB3， | | |cos AOC4， OA OB OA OB OA OC OA OC OB OC 0，| |2 2 2 22( )9，OA OB OC OA OB OC OA OB OA OC OB OC | |3。OA OB OC (2)由 m n 可得， m 2 n ，且 m n 2，OC OA OB OA OC OA OA OB OB OC OB OA OB Error! m n4。答案 (1)3 (2) m n4(时间：20 分钟)1(2016山东三校联考)如图，菱形 ABCD 的边长为 2， BAD60， M 为
10、 DC 的中点，若 N 为菱形内任意一点(含边界)，则 的最大值为( )AM AN A3 B2 3C6 D9解析 由平面向量的数量积的几何意义知， 等于 的模与 在 方向上的投影之积，所以( )AM AN AM AN AM AM AN max ( ) 2 2 9。故选 D。AM AC (12AB AD ) AB AD 12AB AD 32AB AD 答案 D2(2016山东高考)已知非零向量 m， n 满足 4|m|3| n|，cos m， n 。若13n( tm n)，则实数 t 的值为( )A4 B4C. D94 94解析 由 n( tm n)可得 n(tm n)0，即 tmn n20，所
11、以 t n2mn 3 3 4。故选 B。n2|m|n|cos m， n |n|2|m|n|13 |n|m| 43答案 B3(2016福州质检)已知在 ABC 中， AB4， AC6， BC ，其外接圆的圆心为76O，则 _。AO BC 解析 如图，取 BC 的中点 M，连 OM， AM，则 ，AO AM MO ( ) 。AO BC AM MO BC O 为 ABC 的外心， OM BC，即 0，MO BC ( )( ) ( 2 2) (624 2) 2010。AO BC AM BC 12AB AC AC AB 12AC AB 12 12答案 104(2017临沂模拟)已知向量 m(sin 2，
12、cos )， n(sin ，cos )，其中 R。(1)若 m n，求角 ；(2)若| m n| ，求 cos2 的值。2解析 (1)向量 m(sin 2，cos )， n(sin ，cos )，若 m n，则 mn0，即为sin (sin 2)cos 2 0，即 sin ，可得 2 k 或 2k ， kZ。12 6 56(2)若| m n| ，即有( m n)22，2即(2sin 2) 2(2cos )22，即为 4sin2 48sin 4cos 2 2，即有 88sin 2，可得 sin ，34即有 cos2 12sin 2 12 。916 18答案 (1) 2 k 或 2k ， kZ 6 56(2)18
