1、第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用,3.2.1 几类不同增长的函数模型（1）,一、实例分析投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快.（底数a0）,例1. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？,问1：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描 述这些数量关系？ 问
2、2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗？ 问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择？,分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.,解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(xN*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(xN*)进行描述；方案三可以用函数y=0.42x-1(xN*)进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.,我们先用计
3、算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4）。,再作出三个函数的图象（图3.2-1）。,由表3-4和图3.2-1可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.,从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方
4、案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.,下面再看累计的回报数,通过计算器或计算机列表如下：,因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.,例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要
5、求？,问1：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？ 问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否 符合公司要求吗？ 问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例2的解答吗？,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司的总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间10，1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.,解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x，y=log7x+1，
6、y=1.002x的图象（图3.2-2）,观察图象发现，在区间10,1000上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.,首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间10,1000上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足 ，由于它在区间10,1000上递增，因此当x
7、x0时，y5，所以该模型也不符合要求；,对于模型y=log7x+1，它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. 再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有,成立.,令f(x)=log7x+1-0.25x，x10,1000. 利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象（图3.2-3）,由图象可知它是递减的，因此f(x)f(10)-0.31670 即log7x+10.25x. 所以当x10,1000时，说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%.
8、综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.,课堂小结,通过师生交流进行小结： 确定函数的模型利用数据表格、函数图象讨论模型体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.,3.2.1 几类不同增长的函数模型（2）,新课,1通过图、表比较y=x2，y=2x两个函数的增长速度.,利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表1）.,再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图1）,从表1和图1可以看到， y=2x和y=x2的图象有两个交点， 这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2xx2，有时2xx2.,利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的
9、对应值表（表2）.,再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图2）,从表2和图2可以看出，当自变量x越来越大时，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道.,2探究y=x2，y=log2x两个函数的增长速度.,利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表3）.,再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图3）,从表3和图3可以看到， 在区间(0,+)上，总有x2 log2x.,3说说函数y=2x，y=x2，y=log2x的增长差异.,在区间(0,+)上，总有x2log2x； 当x4时，总有2xx2. 所以当x4时，总有2xx2log
10、2x.,4一般的，在区间(0,+)上，尽管函数y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢. 因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有 logaxxnax.,探究：,利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表4）.,再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图4）,从表4和图4可以看到， 在区间(0,+)上，存在一个x0,当xx0时，总有,在区间(0,+)上，总存在一个x
11、0,当xx0时，总有xnaxlogax（n0,0a1）.,3.2.2 函数模型的应用实例（1）,复习导入,问：对幂函数、指数函数、对数函数，你是否注意到函数变化的速度有什么不同？,课堂例题,例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2-7所示.,（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象.,解：（1）阴影部分的面积为501+801+901+751+651=360 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km
12、.,（2）根据图3.2-7，有,这个函数的图象如图3.2-8所示.,例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，17661834）就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert,其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.,表3-8是19501959年我国人口数据资料：,（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是
13、否相符；（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？,解： （1）设19511959年的人口增长率分别为r1,r2,r9. 由 55196（1+r1）=56300， 可得1951年的人口增长率r10.0200. 同理可得，r20.0210，r30.0229，r40.0250，r50.0197，r60.0223，r70.0276，r80.0222，r90.0184.,于是，19511959年期间，我国人口的年均增长率为r=（r1+r2+ +r9）90.0221. 令y0=55196，则我国在19501959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，tN.,根据表
14、3-8中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t（tN）的图象（图3.2-9）.,由图3.2-9可以看出，所得模型与19501959年的实际人口数据基本吻合.,（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t（tN），由计算器可得t38.76.,所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.,课堂练习,1. 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：,关于x呈指数函数变化的变量是_,2. 某种计算机病毒是通过
15、电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？,解：设第一轮病毒发作时有a1=10台被感染，第2轮，第3轮依次有a2台，a3台被感染， 依题意有a5=10204=1600000 答：在第5轮病毒发作时会有160万台被感染.,3.2.2 函数模型的应用举例（2）,例1. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表3-9所示.,课堂例题,请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获
16、得最大利润？,解：根据表3-9，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480-40（x-1）=520-40x（桶）.,由于x0，且520-40x0，即0x13，于是可得y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200，0x13.易知，当x=6.5时，y有最大值. 所以，只需将价格单价定为11.5元，就可获得最大的利润.,例2. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表3-10.,（1）根据表3-10提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数
17、关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？,分析：根据表3-10的数据画出散点图（图3.2-10）,观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=abx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系.,思考：散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型.,解： （1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图3.2-10.,根据点的分布特征，可考虑以y=abx作为刻画这个地区未成年男性体重与身高
18、关系的函数模型. 如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y=abx得：,用计算器算得,这样，我们就得到一个函数模型：,将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3.2-11）,可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.,（2）将x=175代入y=21.02x，得y=21.02175， 由计算器算得y63.98. 由于 7863.981.221.2， 所以，这个男生偏胖.,建立函数模型解决实际问题的基本过程；,收集数据,画散点图,选择函数模型,求函数模型,用函数模型解释实际问题,检验,不符合实
19、际,符合实际,例3. 北京市的一家报刊摊点，从报社买进北京日报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月（30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？,解：设每天报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有y=0.10(20x+10250)-0.1510(x-250)=0.5x+625，x250,400. 因为函数y在250,400上单调递增， 所以x=400时，ymax
20、=825（元）. 答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.,1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：,要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）,A.20元 B.18元 C.16元 D.14元,2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( ),A.95元 B.100元 C.105元 D.110元,C,A,y=(90+x-80）（400-20x),课后练习,3某城市出租汽车统一价格，凡上车
21、起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A57km B911km C79km D35km,A,4某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20，要使水中杂质减少到原来的5以下，则至少需要过滤的次数为（ ） （参考数据lg20.3010，lg30.4771）A5 B10 C14 D15,C,5有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为_m2（围墙厚度不计）,2500,
