1、第9课时 圆的一般方程,1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件,由圆的一般方程确定圆的圆心和半径. 2.能通过配方等手段将圆的一般方程化为圆的标准方程,会用待定系数法求圆的方程. 3.培养学生发现问题、解决问题的能力.,同学们,我们在上一节课学习了圆的定义和圆的标准方程,以及用待定系数法求圆的标准方程.我们把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,展开后得到了x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,本节课我们就来学习下这个方程的特点.,对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可 得 .,(1)当D2
2、+E2-4F0时,与圆的标准方程作比较,可看出方程表示以 为圆心, 为半径的圆;,(3)当D2+E2-4F0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,叫作 .,圆的一般方程的特点: 的系数相同,没有xy这样的二次项,圆的一般方程中有三个待定系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就明确了;圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的一般方程也指出了 坐标与 大小,几何特征明显.,圆的一般方程,x2和y2,圆心,半径,用待定系数法求圆的一般方程的步骤是: (1)设出圆的一般方程;(2)根据题意列出关于 的方程组;(3)解出D、E、F,代入一般方程.,D、E、F,点M的集合
3、,求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件的 ; (3)列出方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 总结为:建系设标列式化简结果.,1,D,2,方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆的条件是( ).,【解析】圆的方程条件为42+22-45m0m1.,方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分别为( ).,【解析】方程可变形为:x2+(y-3)2=8.,C,3,(4，0),4,圆的方程为x2+y2-8x=0,则圆心为 ,半径为
4、.,圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,试求圆C的方程.,【解析】设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则k、2为x2+Dx+F=0的两根, k+2=-D,2k=F, 即D=-(k+2),F=2k. 又圆过点R(0,1),故1+E+F=0,E=-2k-1. 故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,4,圆的一般方程的概念辨析,若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的标准方程.,7,求圆的一般方程 已知圆经过三点:A(1,4),B(-2,3),C(
5、4,-5),求圆的方程.,有关圆的轨迹问题,等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.,问题点C的轨迹是完整的圆吗?,若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0对称的曲线仍是其本身,求实数a的值.,圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1)、B(3,-1),求圆的一般方程.,已知定点A(4,0),点P是圆x2+y2=4上一动点,点Q是AP的中点,求点Q的轨迹方程.,C,1.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( ). A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0,
6、【解析】解题的突破口为弄清平分线的实质是过圆心的直线,即圆心符合直线方程. 圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心为(1,2),把点(1,2)代入A、B、C、D,不难得出选项C符合要求.,2.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为( ). A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0,3.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心为 .,D,(0,-1),4.已知圆x2+y2=r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、B满足PAPB,求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程.,【解析】设AB的中点为R,坐标为(x,y),欲求Q的轨迹方程,应先求R的轨迹方程. 在RtAPB中,|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点,所以在RtOAR中, |AR|2=|AO|2-|OR|2=r2-(x2+y2).,
