1、等边三角形（一）教学目标（一）教学知识点经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程（二）能力训练要求1经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维2经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点（三）情感与价值观要求1积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲2在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心教学重点等边三角形判定定理的发现与证明教学难点1等边三角形判定定理的发现与证明2引导学生全面、周到地思考问题教学方法探索发现法教具准备多媒体课件，投影仪教学过程提出
2、问题，创设情境师 我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形三条边都相等的三角形，叫等边三角形回答下面的三个问题（演示课件）1把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？2一个三角形满足什么条件就是等边三角形？3你认为有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形吗？ 你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流（教师应给学生自主探索、思考的时间）生甲 由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于 60生乙 等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角
3、形就是等边三角形了生丙 等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于 60，我认为等腰三角形的三个内角都等于 60，也就是说这个等腰 三角形就是等边三角形了（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论， 教师可让同学代表发表自己的看法）来源:Z.xx.k.Com生丁 我不同意这个同学的看法， 因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形根据等角对等边，三个内角都是 60，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”， 我觉得他给的条件太多，浪费!师 给三个角都是 60，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？ 下面同学们可以
4、在小组内交流自己的看法导入新课来源:学|科| 网探索等腰三角形成等边三角形的条件生 如果等腰三角形的顶角是 60，那么这个三角形是等边三角形师 你能给大家陈述一下理由吗？生 根据三角形的内角和定理，顶角是 60， 等腰三角形的两个底角的和就是 180-60=120，再根据等腰三角形两个底角是相等的， 所以每个底角分别是 1202=60，则三个内角分别相等，根据等角对等边， 则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为 60的等腰三角形为等边三角形来源:Z&xx&k.Com生 等腰三角形的底角是 60，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质师 从同学们
5、自主探索和讨论的结果可以发现： 在等腰三角形中， 不论底角是 60，还是顶角是 60，那么这个等腰三角形都是等边三角形你能用更简洁的语言描述这个结论吗？生 有一个角是 60的等腰三角形 是等边三角形（ 这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论 60的角是底角和顶角两种情况这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）师 你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？生 我发现我的证明过程没有意识到“有一个 角是 60”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角也就是
6、说我们思考问题要全面、周到师 我们来看有多少同学意识到分别讨论 60的角是底角和顶角的情况，我们鼓掌表示对他们的鼓励今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？生 三个角都相等的三角形是等边三角形师 下面就请同学们来证明这个结论（投影仪演示学生证明过程）CAB已知：如图，在ABC 中，A=B=C求证：ABC 是等边三角形证明：A=B ，BC=AC（等角对等边） 又A=C ，BC=AC（等角对等边） AB=BC=AC ，即ABC 是等边三角形师 这样，我们由等腰三角形的性质和判
7、定方法就可以得 到（演示课件）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60；三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形师 有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理（演示课件）例 4如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得APB=60，AP=BP=200m， 他们便得出一个结论：A、B 之间距离不少于 200m，他们的 结论对吗？分析：我们从该问题中抽象出APB，由已知条件APB=60且 AP=BP， 由本节课探究结论知 APB 为等边三角形解：在APB 中，AP=BP，APB=60 ，所以PAB=PBA= 12（180-APB）= 12（180-6
8、0）=60于是PAB=PBA=APB从而APB 为等边三角形，AB 的长是 200m， 由此可以得出兴趣小组的结论是正确的60A BP随堂练习（一）课本 P54 练习 1、21等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段？答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线） 2如图，等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 上的高，BDE=CDF=60，图中有哪些与 BD 相等的线段？ED CABF答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF（二）补充练习如图，ABC 是等边三角形， B 和C 的平分线相交于 D，B
9、D 、CD的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，求证：BE=CF 21EDCAB F证明：连结 DE、DF，则 BE=DE，DF=CF来源:Zxxk.Com由ABC 是等边三角形， BD 平分ABC ，得1=30，故2=30 ，从而DEF=60同理DFE=60，故DEF 是等边三角形DE=DF，因而 BE=CF课时小结这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件， 并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用课后作业（一）课本 P565、 6、7、10 题（二）预习 P55P56活动与探究探究：如图，在等边三角形
10、 ABC 的边 AB、AC 上分别截取 AD=AEADE 是等边三角形吗？试说明理由过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定结果：已知：三角形 ABC 为等边三角形 D、E 为边 AB、AC 上两点，且AD=AE判断A DE是否是等边三角形，并说明理由解：ADE 是等边三角形，ABC 是等边三角形，A=60又AD=AE，ADE 是等腰三角形ADE 是等边三角形（有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形）板书设计EDCAB1232 等边三角形（一）一、探索等边三角形的性质及判定问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形二、等边三角形的性质及判定三、应用例题讲解四、随堂
11、练习五、课时小结六、课后作业备课资料等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定来源:学科网 性质 判定的条件等边对等角来源:学科网 ZXXK 等角对等边“三线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合有一角是 60的等腰三角形是等边三角形等 腰三角 来源:学#科#网形（含等 来源:学*科*网 Z*X*X*K来源: Z。 xx。k.Com边三角形）来源:Z&xx&k.Com等边三角形的三个角都相等，且每个角都是 60三个角都相等的三角形是等边三角形参考例题1已知，如图，房屋的顶角BAC=100 ，过屋顶 A 的立柱 ADBC屋椽 AB=AC，求顶架上B、 C 、 BAD、CAD 的度数解
12、：在ABC 中，AB=AC （已知） ，B= C（等边对等角） D CABB= C= 12（180 -BAC ）=40 （三角形内角和定理） 又ADBC（已知） ，BAD= CAD （等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合） BAD= CAD=502已知：如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 到 E，使CE=CD求证：DB=DE证明：ABC 是等边三角形，且 BD 是中线，BDAC，ACB=60，DBC=30又CD=CE ，CDE=E= 12ACB=30DBC=EDB=DE3已知：如图，ABC 是等边三角形，DEBC ，交 AB、AC 于 D、E求证：ADE 是等边三角形证
13、明：ABC 是等边三角形（已知） ，A=B=C（等边三角形各角相等） DE BC，ADE=B，AED=C（两直线平行，同位角相等） EDCABDCAEBA=ADE=AEDADE 是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形） 1232 等边三角形（二）教学目标（一）教学知识点1探索发现猜想证明直 角三角形中有一个角为 30的性质2有一个角为 30的直角三角形的性质的简单应用（二）能力训练要求1经历“探索发现猜想证明”的过程， 引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系2培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力（三）情感与价值观要求1鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好
14、奇心和求知欲2体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性教学重点含 30角的直角三角形的性质定理的发现与证明教学难点1含 30角的直角三角形性质定理的探索与证明2引导学生全面、周到地思考问题教学方法探索发现法教具准备两个全等的含 30角的三角尺；多媒体课件；投影仪教学过程提出问题，创设情境师 我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质大家可能已猜到，我让大家准备好的含 30角的直角三角形， 它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？问题：用两个全等的含 30角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？ 能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由由此你能想到，在直角三角形
15、中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？导入新课（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）生用含 30角的直角三角尺摆出了如下两个三角形(1)DCAB(2)D CAB其中，图（1）是等边三角形，因为ABDACD，所以 AB=AC，又因为 RtABD 中，BAD=60，所以ABD=60，有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形生 图（ 1）中，B=C=60，BAC= BAD+CAD=30+30 =60，所以B=C=BAC=60，即ABC 是等边三角形师 同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形由
16、此你能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗？生 在直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半师 我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？生 可以，在图（ 1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC 而ADB=90，即 ADBC根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得 BD=DC= 12BC所以 BD= 12AB， 即在 RtABD 中，BAD=30 ，它所对的边 BD 是斜边 AB 的一半师生共析 这位同学能结合前后 知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起 下面我们一同来完成这个定理的证明过程定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30， 那么它所对的直
17、角边等于斜边的一半已知：如图，在 RtABC 中，C=90 ， BAC=30求证：BC= 12ABCABDCAB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD证明：在ABC 中， ACB=90 ，BAC=30，则B=60延长 BC 至 D，使 CD=BC，连接 AD（如下图）ACB=60 ， ACD=90AC=AC ，ABC ADC（ SAS） AB=AD （全等三角形的对应边相等） ABD 是等边三角形（有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形）BC= 12BD= AB师 这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边
18、与斜边的关系，下面我们就来看一个例 题（演示课件）例 5 右图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30，立柱 BD、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在 RtAED 与 RtACB 中，由于A=30 ，所以 DE= 12AD，BC= 12AB，又由 D 是 AB 的中点，所以 DE= 14AB解：因为 DEAC，BCAC，A=30，由定理知BC= AB，DE= AD，所以 BD= 127.4=3.7（m） 又 AD= AB，所以 DE= AD= 3.7=1.85（m） 答：立柱 BC 的长是 3.7m，DE 的长是 1.85
19、m师 再看下面的例题例 等腰三角形的底角为 15，腰长为 2a，求腰上的高已知：如图，在ABC 中，AB=AC=2a， ABC=ACB=15 ，CD 是腰 AB上的高求：CD 的长分析：观察图形可以发现，在 RtADC 中，AC=2a ，而DAC 是ABC的一个外角， 则DAC=152=30 ，根据在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半， 可求出 CDDCA EBDCAB解：ABC=ACB=15，DAC= ABC+BAC=30CD= 12AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 师 下面我们来做练习随堂 练习（一）课本 P56 练习RtABC 中
20、，C=90，B=2A，B 和A 各是多少度？边 AB 与BC之间有什么关系？答案：B=60 ，A=30，AB=2BC（二）补充练习1已知：如图，ABC 中，ACB=90 ，CD 是高，A=30求证：BD= 4AB证明：在 RtABC 中，A=30，BC= 12AB在 RtBCD 中，B=60，B CD=30BD= 12BCBD= 4AB2已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的 2 倍，这个角的平分线把对边分成两条线段求证：其中一条是另一条的 2 倍已知：在 RtABC 中，A=90，ABC=2C，BD 是ABC 的平分线DCAB求证：CD=2AD 证明：在 RtABC 中，A=90，ABC=
21、2C，ABC=60，C=30又BD 是ABC 的平分线，ABD= DBC=30AD= 12BD，BD=CDCD=2AD 课时小结这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含 30的直角三角形的边的关系 这个定理是个非常重要的定 理，在今后的学习中起着非常重要的作用课后作业（一）课本 P5811 、12、13、14 题（二）预习 P60P61，并准备活动课1找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字2思考镜子对实物的改变活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”
22、 从辅助线的作法中得到启示结果：已知：如图（1） ，在 RtABC 中，C=90 ，BC= 12AB求证：B AC=30DCAB(1) CAB证明：延长 BC 到 D，使 CD=BC，连结 ADACB=90，ACD=90 又AC=AC ，ACB ACD（ SAS） AB=AD CD=BC，BC= 12BD又BC= AB，AB=BD AB=AD=BD，即ABD 为等边三角形B=60 在 RtABC 中，BAC=30板书设计1232 等边三角形（二）一、定理的探究定理：在直角三角形中，有一个锐角是 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半二、范例分析三、随堂练习四、课时小结五、课后作业(2)DCAB
23、备课资料参考例题1已知，如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 是等边三角形求证：AN=BM 证明：ACM 与CBN 是等边三角 形ACM= BCN ACM+ MCN=BCN+NCM，即ACN= MCB在ACN 和 MCB 中，,ACMNBACNMCB（SAS ） AN=BM 2一个直角三角形房梁如图所示，其中 BCAC，BAC=30 ，AB=10cm，CB 1AB，B 1CAC 1，垂足分别是 B1、C 1，那么 BC 的长是多少？解：在 RtABC 中，CAB=30，AB=10cmBC= 2AB=5cmCB 1AB，B+ BCB1=90又A+B=90，BCB 1=A=30 C BAMNC1B1CBA在 RtACB 1 中，BB 1= 2BC=2.5cmAB 1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm） 在 RtAB 1C1 中，A=30B 1C1= 2AB1= 7.5=3.75（cm）
