1、第一章 1 集合的含义与表示一、选择题1下列对象能构成集合的是( )A江西某中学所有有爱心的女生B青岛某中学部分特长生C中国的著名歌唱家D大于 的自然数答案 D解析 A 中“有爱心”的标准不明确,B 中“部分”不明确,C 中“著名歌唱家”的标准不明确,D 中 3.14,所以大于 的自然数为 4,5,6,.2集合 M 是由大于2 且小于 1 的实数构成的,则下列关系式正确的是( )A. M B0 M5C1 M D M 2答案 D解析 1,故 A 错;201,故 B 错;1 不小于 1,故 C 错;2 1,故 D5 2正确3由 x2, x 组成一个集合 A, A 中含有 2 个元素,则实数 x 的
2、取值可以是( )A0 B1C1 D1 或 1答案 B解析 验证法:若 x0 时, x20,不合题意;若 x1 时, x21,不合题意;若 x1 时, x21,符合题意,故选 B.4给出下列语句:N 中最小的元素是 1;若 aN,则 aN;若 aN, bN,则 a b 的最小值是 2;0.其中正确语句的个数为( )A0 B1C2 D3答案 A解析 自然数集中最小的元素是 0,故不正确;对于,若 aN,即 a 是自然数,当 a0 时, a 仍为自然数,所以也不正确;空集不含有任何元素,所以不正确故选 A.5若集合 a, b, c中的元素是 ABC 的三边长,则 ABC 一定不是( )A锐角三角形
3、B等腰三角形C钝角三角形 D直角三角形答案 B解析 根据集合中元素的互异性,可知三角形的三边长不相等,故选 B.6若集合 A xR| ax2 ax10中只有一个元素,则 a( )A4 B2C0 D0 或 4答案 A解析 本题考查分类讨论思想及一元二次方程问题若 a0,则有 10 显然不成立;若 a0,则有 a24 a0 即 a0 或 a4,所以 a4.二、填空题7用符号“”或“”填空:(1) _R; (2) _Q;314(3)2_N ; (4)0.3_Z.答案 (1) (2) (3) (4)解析 (1) 是实数, R;3 3(2) 是有理数, Q;14 14(3)N 是正整数集,2N ;(4)
4、0.3 是小数,0.3Z.8集合 xZ|( x1) 2(x1)0用列举法可以表示为_答案 1,1解析 方程( x1) 2(x1)0 的解有三个:1,1,1,而作为解集,集合中元素只能是1,1.三、解答题9集合 A x|kx28 x160,若集合 A 中只有一个元素,试求实数 k 的值,并用列举法表示集合 A.解析 当 k0 时,原方程变为8 x160,解得 x2.此时集合 A2当 k0 时,要使一元二次方程 kx28 x160 有两个相等的实根,只需 6464 k0,即 k1.此时方程的解为 x1 x24,集合 A4,满足题意综上所述,实数 k 的值为 0 或 1.当 k0 时, A2;当 k
5、1 时, A410设 A2,3, a22 a3, B| a3|,2,已知 5 A,且 5B,求 a 的值解析 5 A, a22 a35. a2 或 a4.又5 B,| a3|5. a2 且 a8. a4.一、选择题1由 a2,2 a,4 组成一个集合 A, A 中含有 3 个元素,则实数 a 的取值可以是( )A1 B2C6 D2答案 C解析 解法 1:验证法:若 a1 时, a21,2 a1,不满足集合中元素的互异性;若 a2 或 2 时, a24,也不满足集合中元素的互异性,故 a6,选 C.解法 2:直接法:由集合中元素的互异性可知, a24, a2.又 a22 a, a2 a20, a
6、1 且 a2,故选 C.2已知集合 A0,1,2,则集合 B x y|x A, y A中元素的个数是( )A1 B3C5 D9答案 C解析 x A, y A,当 x0 时,由 y0,1,2 得, x y0,1,2;当 x1 时,由 y0,1,2 得, x y1,0,1;当 x2 时,由 y0,1,2 得, x y2,1,0.由集合中元素的互异性可知, B2,1,0,1,2中共 5 个元素二、填空题3集合 , 可用特征性质描述法表示为_14251247 58答案 x|x , nN , n5nn 3解析 将分母改写为连续自然数,考虑分子与分母间的关系. 、,可得 ,1425364758 nn 3n
7、N , n5.4设5 x|x2 ax50,则集合 x|x24 x a0中所有元素之和为_答案 2解析 5 是方程 x2 ax50 的根,255 a50, a4, x24 x a x24 x40, x2,该集合中所有元素之和为 2.三、解答题5用另一种方法表示下列集合(1)3,1,1,3,5;(2)x|x|3, xZ;(3)1,22,32,42,;(4)已知 M2,3, P( x, y)|x M, y M,写出集合 P;(5)集合 A xZ|2 x2, B x21| x A,写出集合 B.解析 (1) x|x2 k1, kZ 且1 k3(2)3,2,1,0,1,2,3(3)x|x n2, nN
8、(4)P(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)(5)A2,1,0,1,2,所以 B3,0,16下列三个集合: x|y x21; y|y x21;( x, y)|y x21(1)它们是不是相同的集合?(2)它们的各自含义是什么?解析 (1)它们是不相同的集合(2)集合是函数 y x21 的自变量 x 所允许的值组成的集合因为 x 可以取任意实数,所以 x|y x21R.集合是函数 y x21 的所有函数值 y 组成的集合由二次函数图像知 y1,所以 y|y x21 y|y1集合是函数 y x21 图像上所有点的坐标组成的集合7某研究性学习小组共有 8 位同学,记他们的学号分别为 1,2,
9、3,8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据,分派的原则为:若 x 号同学去,则 8 x 号同学也去请你根据老师的要求回答下列问题:(1)若只有一个名额,请问应该派谁去?(2)若有两个名额,则有多少种分派方法?解析 本题实质是考查集合中元素的特性,只有一个名额等价于 x8 x,有两个名额则为 x 和 8 x.(1)分派去图书馆查数据的所有同学构成一个集合,记作 M,则有 x M,8 x M.若只有一个名额,即 M 中只有一个元素,必须满足 x8 x,故 x4,所以应该派学号为 4 的同学去(2)若有两个名额,即 M 中有且仅有两个不同的元素 x 和 8 x,从而全部含有两个元素的集合 M 应含有 1,7 或 2,6 或 3,5.也就是有两个名额的分派方法有 3 种