1、2.2.1 对数与对数运算1对数的概念来源:(1)定义：一般地，如果 axN (a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlog aN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数释疑点 在对数 logaN 中规定 a0，且 a1，N0 的原因(1)若 a0，则 N 为某些数值时，x 不存在，如式子(3) x4 没有 实数解，所以 log(3)4 不存在，因此规定 a 不能小于 0；(2)若 a0，且 N0 时，log aN 不存在；N0 时，log a0 有无数个值，不能确定，因此规定 a0，N0；(3)若 a1，且 N1 时，x 不存在；而 a1，N 1 时，x 可以为
2、任何实数，不能确定，因此规定 a1；(4)由 axN ，a0 知 N 恒大于 0(2)特殊对数名称 记法 说明常用对数 lg N 以 10 为底的对数，并把 log10N 记为 lg N自然对数 ln N 以 e(e2.718 28)为底的对数称为自然对数，并把 logeN记为 ln N(3)对数的性质根据对数的概念，对数 logaN(a0，且 a1)具有以下性质：性质 说明零和负数没有对数，即 N0当 a0，且 a1 时，a x0，即Na x0，所以对数 logaN 只有在 N0时才有意义1 的对数等于 0，即 loga10 因为 a01，由对数的定义得 0 loga1底的对数等于 1，即
3、logaa1 因为 a1a，由对数的定义得 1log aa(4)对数与指数的互化关系当 a0，且 a1 时如图所示：比如：4 364 3log 464； log5252 5225；以前无法解的方程 2x3，学习了对数后就可以解得 xlog 23谈重点 对指数与对数的互化关系的理解 (1)由指数式 abN 可以写成logaN b(a0，且 a1)，这是指数式与对数式互化的依据从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式其关系如下表：名称来源:来源:式子来源: a x N 意义指数式 axN 底数 指数 幂 a 的 x 次幂等于 N对数式 logaNx 底数 对数 真数 以 a
4、 为底 N 的对数等于 x(2)根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式 log指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段【例 11】下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )A10 01 与 lg 10B 与 32727log3Clog 392 与 31Dlog 551 与 515解析：指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于 C，log 3923 29 或 3log 93 故选 C1212答案：C【例 12】完成下表指数式与对数式的转换题号 指数式 对数式(1) 1031 000(2) log210x(3) e3x解析：(1)10
5、 31 000 lg 1 0003(2)log210x 2x10(3)e3x ln x3答案：(1)lg 1 0003；(2)2 x 10；(3)ln x3【例 13】求下列各式中 x 的值：(1)log2(log5x)0；(2)log 3(lg x)1；(3)logx27 ；(4) xlog 844解：(1)log 2(log5x)0，log 5x1x5 15(2)log 3(lg x)1，lg x3 13x10 31 000(3)log x27 ， 27x 3 4814427(4)xlog 84，8 x42 3x2 23x2，即 x 22对数的运算性质(1)对数的运算性质如果 a0，且 a
6、1，M0， N0，那么：log a(MN) logaMlog aN； log aMlog aN；loglog aMnnlog aM(n R)谈重点 对对数的运算性质的理解 (1)对应每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，如 log2(3)( 5)log 2(3) log 2(5)是错误的(2)巧记对数的运算性质：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积； 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数(2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系式子 abN logaNbamana mn loga(MN)log a
7、Mlog aNa mn log aMlog aNlog运算性质(am)na mn logaMnnlog aM谈重点 对数运算性质推导的基本方法利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题如“log a(MN)log aMlog aN”的推导：设logaM m，log aNn，则 amM ，a nN，于是 MNa mana mn ，因此 loga(MN)log aMlog aNmn【例 21】若 a0，且 a1，xy0，n N*，则下列各式：log axlogaylog a(xy )；log axlog aylog a(xy)；log a(xy
8、)log axlogay； ；logl(log ax)nlog axn； ；lax logl其中式子成立的个数为( )A2 B 3 C4 D5解析：序号 对错 理由 例如 log24log222，而 log2(42) log 262 例如 log28log 241log 2(84)2 例如 log2(42)log 283，而 log24log2223 例如 2 1logl 例如(log 24)3 8log 2 436 log ax1 ( log ax)log axla ognlogln答案：A辨误区 应用对数的运算性质常见的错误 常见的错误有：log a(MN)log aMlogaN；loga
9、(MN)log aMlogaN；logllogaMn(log aM)n【例 22】计算：(1)2log 122log 123；(2)lg 500lg 5；(3)已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1，求 lg4解：(1)原式log 1222log 123log 124log 123log 12121(2)原式 lg 100lg 10 22lg 102lg45(3) (lg 5lg 9)12lg5l(9) (1 lg 22lg 3) ，10l32又lg 20.301 0，lg 30.477 1， (10.301 0 20.477 1)0.826 6lg45析规律 对数的运算性质的作
10、用 (1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算；(2)由于 lg 2lg 5lg 101，所以 lg 51lg 2，这是在对数运算中经常用到的结论3换底公式(1)公式 logab (a0，且 a1；c0，且 c1，b0)logc(2)公式推导：设 ，则 logcbx logcalog cax，logcba xxlog ab log ablogc(3)公式的作用换底公式的作用在于把以 a 为底的对数，换成了以 c 为底的对数，特别有：， ，利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的lgloaNlnloa值(4)
11、换底公式的三个推论： (a，N 0，且loglogmnaa1，m0，m，n R)；log ab (a，b0，且 a，b1)；1llog ablogbclogcdlog ad(a， b，c0，且 a，b，c1，d0)证明：log amNn loglognamnlog ab l1lbalog ablogbclogcd log adglgcd【例 31】 的值是( )82lo9A B C1 D223解析：(思路一)将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即82lg9lol233l(思路二) 将分母利用换底公式转化为以 2 为底的对数，即 2822og9lll33答案：A【例 32】若 log34lo
12、g48log8mlog 416，则 m 等于( )A B9 C 18 D271解析：log 34log48log8mlog 416， log 442 2，化简得lgllg m2lg 3lg 9m9答案：B4对数定义中隐含条件的应用根据对数的定义，对数符号 logaN 中实数 a 和 N 满足的条件是底数 a 是不等于 1 的正实数，真数 N 是正实数，即0,1,因此讨论对数问题时，首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件对数概念比较难理解，对数符号初学时不太好掌握，学习时要抓住对数与指数相互联系，深刻理解对数与指数之间的关系，将有助于掌握对数的概念【例 41】已知对数 log(1a) (a2)
13、有意义，则实数 a 的取值范围是_解析：根据对数的定义，得20,1,解得2a0 或 0a1答案：(2,0) (0,1)【例 42】若 log(1x) (1x) 21，则 x_解析：由题意知 1x(1 x) 2，解得 x0，或 x3验证知，当 x0 时，log (1x) (1x) 2无意义，故 x0 不合题意，应舍去所以 x3答案：x35对数的化简、求值问题应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算过程，加快计算速度(1)同底数的对数式的化简、求值一是“拆” ，将积、商的对数拆成对数的和、差如 log 35
14、log 39 log35log 35log 39239log二是“收” ，将同底数的对数和、差合成积、商的对数如， log 35 log 3923llog三是“拆”与“收”相结合(2)不同底数的对数式的化简、求值常用方法是利用换底公式，转化为同底数的对数式，进而进行化简，化简后再将底数统一进行计算也可以在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数等，再进行化简、求值对数式的化简、求值，要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论，如 loga10，log aa1，alog aNN，lg 2lg 51，log ablogba1 等【例 51】化简求值：(1)4lg 23lg 5
15、 ；(2) ；lg549327lolg8(3)2log32 log 38 ；(4)log 2(1 )log 2(1 )lo95log33分析：依据对数的运算性质进行化简，注意运算性质的正用、逆用以及变形应用解：(1)原式 lg 10 444lg15(2)原式 224571375log2(l3)lolg3log 32log233(3)原式2log 32(log 332log 39)3log 3235log 32(5log 322log 33)31(4)原式log 2(1 )(1 )log 2(1 )233log 2(3 3) 2log【例 52】计算：(log 43log 83)(log32lo
16、g 92) 412log分析：按照对数的运算法则，无法进行计算，因此可先用换底公式将其化为同底对数，再对代数式进行化简计算观察底数的特点，化成以 2 或以 3 为底的对数解：原式5422321log3llogllog 2 2355l646 46条件求值问题对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题例如：设 xlog 23，求 的值时，我们可由 xlog 23，求出 2x3,2 x ，3x 13然后将它们代入 ，可得 3x 33129x【例 6】已知 3a4 b36，求 的值1ab解：(方法一) 由 3a4 b36，得
17、alog 336，blog 436故 2log 363log 364log 369log 36421logl6log 36361(方法二) 由 3a4 b36，得 log63alog 64blog 636，即 alog63blog 642于是 log 63， log 62， log 63log 62log 6611析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应7利用已知对数表示其他对数(1)换底公式的作用是
18、将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(2)用对数 logax 和 logby 等表示其他对数时，首先仔细观察 a，b 和所要表示的对数底数的关系，利用换底公式把所要表示的对数底数换为 a，b解决此类题目时，通常用到对数的运算性质和换底公式对数的运算性质总结：如果 a0，且 a1，M0， N0，那么：loga(MN)log aMlog aN；log aMlog aN；loglogaMnnlog aM(n R)换底公式：log ab (a0，且 a1；c0，且 c1；b0) logc(3)题目中有指数式和对数式时，要注意将
19、指数式与对数式进行互化，统一成一种形式【例 71】已知 lg 2a，lg 3b， 则 log36( )A BabC D解析：由换底公式得log36 lg(23)lglab答案：B【例 72】已知 log189a,18 b5，求 log3645(用 a，b 表示)分析：利用指数式和对数式的互化公式，将 18b5 化成 log185b，再利用换底公式，将 log3645 化成以 18 为底的对数，最后进行对数运算即可解：(方法一) log 189a,18 b5，log 185b于是 log3645 181818181818log4l()log9l5log9l53622 1818l9l22ab(方法
20、二) log 189a，且 18b5，lg 9alg 18，lg 5blg 18log 3645 2lg4l()lg9lg18l183622aba8与对数有关的方程的求解问题关于对数的方程有三类：第一类是形如关于 x 的方程 logaf(x)b，通常将其化为指数式 f(x)a b，这样解关于 x的方程 f(x)a b即可，最后要注意验根例如：解方程 ，将其化为指64152log3数式为 ，又 ，则 ，所以 x1，经检验2315642231(4)xx1 是原方程的根第二类是形如关于 x 的方程 logf(x)nb，通常将其化为指数式 fb(x)n，这样解关于 x的方程 fb(x)n 即可，最后要
21、注意验根例如，解方程 log(1x) 42，将其化为指数式为(1x) 24，解得 x3 或 x1，经检验 x3 是增根，原方程 的根是 x1第三类是形如关于 x 的方程 f(logax)0，通常利用换元法，设 logaxt，转化为解方程f(t) 0 得 tp 的值，再解方程 logaxp，化为指数式则 xa p，最后要注意验根【例 81】已知 lg xlg y 2lg(x2y)，求 的值2logy解：由已知，可得 lg(xy)lg(x2y) 2，从而有 xy( x2y )2，整理得 x25xy4y 20，即(xy )(x4y )0从而可得 xy 或 x4y但由 x0，y0，x 2y0， 可得
22、x2y0，于是 xy 应舍去故 x4y，即 因此 4logllog()辨误区 解对数方程易出现的错误 在处理与对数有关的问题时，必须注意“真数大于零”这一条件，否则会出现错误例如，本题若不注意“真数大于零” ，则会出现两个结果：4 和 0【 例 82】解方程 lg2xlg x 230解：原方程可 化为 lg2x2lg x30设 lg xt，则有 t22t30，解得 t1 或 t3，于是 lg x1 或 3，解得 或 1 000经检验 ，1 000 均符合题意，0因此原方程的根是 ，或 x1 000辨误区 lg2x 与 lg x2 的区别 本题中，易混淆 lg2x 和 lg x2的区别，lg 2
23、x 表示 lg x 的平方，即 lg2x(lg x )2，而 lg x22lg x9对数运算的实际应用对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛，其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式)，在此基础上进行一些实际求值计算时要注意利用 “指、对互化”把对数式化成指数式另一类是先建立指数函数应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边进行取对数运算【例 9】抽气机每次抽出容器内空气的 60%，要使容器内的空气少于原来的 0.1%，则至少要抽几次？(lg 20.301 0)解：设至少抽 n 次可使容器内空气少于原来的 0.1%，则 a(160%) n 0.1%a(设原先容器中的空气体积为 a)，即 0.4n0.001，两边取常用对数得 nlg 0.4lg 0.001，所以 n 7.5lg0.1342l故至少需要抽 8 次点技巧 求数值较大的指数的方法 利用对数计算是常用的方法，一般的方法是对等式(或不等式) 两边取常用对数或自然对数，再用计算器或计算机进行对数的计算
