1、第二章 5 第 2 课时函数的奇偶性一、选择题1下列说法中不正确的是( )A图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B奇函数的图像一定过原点C偶函数的图像若不经过原点，则它与 x 轴交点的个数一定是偶数个D图像关于 y 轴呈轴对称的函数一定是偶函数答案 B解析 奇函数的图像不一定过原点，如 y ，故应选 B.1x2已知函数 f(x) x4，则其图像( )A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于原点对称 D关于直线 y x 对称答案 B解析 f( x) x4 f(x)，函数 f(x)为偶函数，其图像关于 y 轴对称3下列表示具有奇偶性的函数的图像可能是( )答案 B4(2014新课标)设函数
2、 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A f(x)g(x)是偶函数 B| f(x)|g(x)是奇函数C f(x)|g(x)|是奇函数 D| f(x)g(x)|是奇函数答案 C解析 本题考查复合函数的奇偶性函数 f(x)是奇函数，则函数| f(x)|是偶函数，所以选项 A 得到的函数是奇函数；选项 B、D 是偶函数；所以选 C，一个奇函数和一个偶函数的积在其公共的定义域内是奇函数5函数 f(x) x1，若 f(a)2，则 f( a)( )3xA2 B2C1 D4答案 D解析 令 g(x) x，则 g(x)为奇函数3x f(a)
3、 g(a)12， g(a)3. f( a) g( a)1 g(a)14，故选 D.6设 f(x)是奇函数，且在(0，)内是增加的，又 f(3)0，则 f(x)3B x|x3D x|30 时 f(3) f(3)0，又 f(x)在(0，)内是增加的， x(0,3)时 f(x)0 时， x0， f( x) x(1 x) f(x)； f( x) f(x)故 f(x)是奇函数(5)解法 1：函数的定义域为实数集 R，且f( x) f(x) 1 x2 x 11 x2 x 1 1 x2 x 11 x2 x 1 1 x2 2 x 1 2 1 x2 2 x 1 2 1 x2 1 2 x2 0， 2x 2x21
4、x2 2 f( x) f(x)，故 f(x)在 R 上是奇函数解法 2：当 x0 时， f(x)0，此时f xf x1 x2 x 11 x2 x 11 x2 x 11 x2 x 1 1 x2 x 1 1 x2 x 1 1 x2 x 1 1 x2 x 1 1， 1 x2 2 x 1 2 1 x2 2 x 1 2 2x2x即 f( x) f(x)当 x0 时， f(0)0 f(0) f(x)在 R 上为奇函数10已知函数 y f(x)是 R 上的偶函数，且在(，0上是减少的，若 f(a) f(2)，求实数 a 的取值范围解析 解法 1：因为 y f(x)在 R 上为偶函数，且在(，0上是减少的，所
5、以 y f(x)在0，)上为增加的当 a0 时，因为 f(a) f(2)，所以 a2.当 a0 时，因为 f(x)为偶函数，所以 f(2) f(2)又因为 f(a) f(2)，所以 f(a) f(2)而 f(x)在(，0上为减少的，所以 a2.由可得 a2 或 a2.解法 2：因为 f(x)在 R 上为偶函数且在(，0上为减少的，所以 y f(x)在0，)上是增加的因此由 f(|a|) f(a) f(2)得| a|2，解得 a2 或 a2.即 a 的取值范围为 a2 或 a2.一、选择题1(2014湖南高考)已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x) g(x)
6、 x3 x21，则 f(1) g(1)( )A3 B1C1 D3答案 C解析 f(x) g(x) x3 x21， f( x) g( x) x3 x21，又 f(x)为偶函数， g(x)为奇函数， f(x) g(x) x3 x21，由得 f(x) x21， g(x) x3， f(1)2， g(1)1， f(1) g(1)1.2已知定义域为 R 的函数 f(x)在(2，)上是增加的，且函数 y f(x2)为偶函数，则下列结论不成立的是( )A f(0)f(1) B f(0)f(2)C f(1)f(2) D f(1)f(3)答案 D解析 函数 y f(x2)为偶函数，令 g(x) f(x2)， g(
7、 x) f( x2) g(x) f(x2)， f(x2) f(2 x)，函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称，又函数 f(x)在(2，)上是增加的，在(，2)上为减函数，利用距对称轴 x2 的远近可知，f(0)f(1)， f(0)f(2)， f(1)f(2)， f(1) f(3)二、填空题3已知 f(x)是奇函数，且当 x0 时， f(x)2 x21，那么 f(1)_.答案 1解析 f(x)是奇函数， f(1) f(1)(21 21)1.4设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x2) f(x)，又知当 0x1 时， f(x) x，则 f(7.5)的值为_答案 0.5解析 f(x2)
8、 f(x)， f(7.5) f(5.52) f(5.5) f(3.52) f(3.5) f(1.52) f(1.5) f(0.52) f(0.5)，又 f(x)为奇函数， f(0.5) f(0.5)0.5.三、解答题5设定义在2,2上的偶函数 f(x)在区间2,0上单调递减，若 f(1 m)f(m)，求实数 m 的取值范围分析 已知条件较多，充分利用已知条件： f(1 m)f(m)，则 f(|1 m|)f(|m|)解析 因为 f(x)在2,2上为偶函数， f(1 m)f(m)所以Error! 即Error!解得 m2.126(1)函数 y f(x)是偶函数，且在(，0上是增加的，试比较 f(
9、)与 f(1)的78大小；(2)已知 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，且 f(x) g(x) x2 x2，求 f(x)， g(x)的表达式解析 (1)1 ，且函数 y f(x)在(，0上是增加的，78 f(1) f( )78又 y f(x)是偶函数， f(1) f(1) f(1)f( )78(2)由 f(x) g(x) x2 x2，得 f( x) g( x) x2 x2. f(x)为偶函数， g(x)为奇函数， f(x) g(x) x2 x2.得 2f(x)2 x24， f(x) x22.得 2g(x)2 x， g(x) x.7已知函数 f(x) (a、 b、 cZ)是奇函数，并且 f(
10、1)2， f(2)3，求ax2 1bx ca、 b、 c.分析 根据定义，应使 f(x) f( x)0 对定义域内的任意 x 恒成立的式子即为恒等式解析 f(x)为奇函数， f( x) f(x)，即 ，ax2 1 bx c ax2 1bx c 0， ax2 1 bx c bx c bx c bx c即 0.2c ax2 1 bx c bx c ax21 不恒为 0， c0.又 f(1)2， 2. a12 b.a 1b又 f(2)3， 3.4a 12b 0将 2b a1 代入上式 3，得 0.4a 1a 1 a 2a 11 a2， aZ， a0，或 a1.而 a0， b 与 bZ 矛盾，故舍之12 a1， b1， c0.
