1、【优化设计】2015-2016 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入测评 A 新人教 A 版选修 2-2 (基础过关卷)(时间:90 分钟 满分:100 分)第 卷(选择题 共 40 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设 z1=3-4i,z2=-2+3i,则 z1-z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析:由已知,得 z1-z2=3-4i-(-2+3i)=5-7i,则 z1-z2在复平面内对应的点为(5, -7),故选 D.答案:D2.若复数 z
2、满足(3 -4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( )A.-4 B.-C.4 D.解析: (3-4i)z=|4+3i|,z= i.故 z 的虚部为,选 D.答案:D3.设 a 是实数,且是实数,则 a 等于( )A. B.1 C. D.2解 析:i,由题意可知 =0,即 a=1.答案:B4.复数 =a+bi(a,bR,i 是虚数单位),则 a2-b2的值为( )A.-1 B.0C.1 D.2解析: =-i=a+bi,所以 a=0,b=-1,所以 a2-b2=0-1=-1.答案:A5.已知 =2+i,则复数 z=( )A.-1+3i B.1-3iC.3+i D.3-i解析: = 2+i,=
3、(1+i)(2+i)=1+3i,z= 1-3i.答案:B6.复数 z1=,z2=2-i3分别对应复平面内的点 P,Q,则向量对应的复数是( )A. B.-3-i C.1+i D.3+i解析: z 1=(-i)2=-1,z2=2+i, 对应的复数是 z2-z1=2+i-(-1)=3+i.故选 D.答案:D7.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,mR, z2=3-2i,则“ m=1”是“ z1=z2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析: m=1 时, z1=3-2i=z2,故“ m=1”是“ z1=z2”的充分条件 .由 z1=z2,得 m
4、2+m+1=3,且 m2+m-4=-2,解得 m=-2 或 m=1.故选 A.答案:A8.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi,则复数 z 等于( )A.2-2i B.2+2iC.-2+2i D.-2-2i解析: b 2+(4+i)b+4+ai=0,b 2+4b+4+(a+b)i=0,z= 2-2i.答案:A9.若 1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则( )A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1解析:因为 1+i 是实系数方程的一个复数根,所以 1-i 也是方程的根,则 1
5、+i+1-i=2=-b,(1+i)(1-i)=3=c,解得 b=-2,c=3.答案:B10.定义运算 =ad-bc,则符合条件 =4+2i 的复数 z 为( )A.3-i B.1+3iC.3+i D.1-3i解析:由定义知 =zi+z,得 zi+z=4+2i,即 z=3-i.答案:A第 卷(非选择题 共 60 分)二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分 .把答案填在题中的横线上)11.复数 z=(m-1)+(m+2)i 对应的点在直线 y=2x 上,则实数 m 的值是 . 解析:复数 z 对应的点的坐标为( m-1,m+2),又该点在直线 y=2x 上,故 m+2=2(m
6、-1),解得 m=4.答案:412.已知 a,bR,i 是虚数单位 .若( a+i)(1+i)=bi,则 a+bi= . 解析:由( a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,得解方程组,得 a=1,b=2,则 a+bi=1+2i.答案:1 +2i13.已知复数 z1=3-i,z2是复数 -1+2i 的共轭复数,则复数的虚部等于 . 解析:,其虚部为 .答案:14.若关于 x 的方程 x2+(2-i)x+(2m-4)i=0 有实数根,则纯虚数 m= . 解析:设 m=bi(bR,且 b0),方程 的实根为 x0,则 +(2-i)x0+(2bi-4)i=0,即( +2x0-2b)-(x0+
7、4)i=0,即解得 x0=-4,b=4.故 m=4i.答案:4i15.下面四个命题: 0 比 -i 大; 两个复 数当且仅当其和为实数时,互为共轭复数;x+y i=1+i 的充要条件为 x=y=1; 任何纯虚数的平方都是负实数 .其中错误命题的序号是 .解析: 实数与虚数不能比较大小; 两个复数互为共轭复数时其和为实数,但是两个复数的和为实数时,这两个复数不一定是共轭复数; x+y i=1+i 的充要条件为 x=y=1 是错误的,因为没有表明 x,y 是否是实数; 若 z=bi(b0)为纯虚 数,则 z2=-b20,故 均是错误命题, 是正确的 .答案: 三、解答题(本大题共 5 小题,共 4
8、0 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题 6 分)复平面内有 A,B,C 三点,点 A 对应的复数是 3+i,向量对应的复数是 -2-4i,向量对应的复数是 -4-i,求 B 点对应的复数 .解:因为向量对应的复数是 -2-4i,向量对应的复数是 -4-i,所以表示的复数是(4 +i)-(2+4i)=2-3i,故对应的复数为(3 +i)+(2-3i)=5-2i,所以 B 点对应的复数为 5-2i.17.(本小题 6 分)已知复数 z 满足 |z|=1+3i-z,求的值 .解:设 z=a+bi(a,bR),|z|= 1+3i-z,- 1-3i+a+bi=0,即解得 z=
9、- 4+3i,= 3+4i.18.(本小题 8 分)已知 z=1+i,a,b 为实数 .(1)若 =z2+3-4,求 | |;(2)若 =1-i,求 a,b 的值 .解:(1)因为 =z2+3-4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,所以 | |=.(2)由条件 =1-i,得 =1-i,即 =1-i.所以( a+b)+(a+2)i=1+i,所以解得19.(本小题 10 分)已知 z=m+3+3i,其中 mC,且为纯虚数;(1)求 m 对应点的轨迹;(2)求 |z|的最大值、最小值 .解:(1)设 m=x+yi(x,yR),则, 为纯虚数, 即m 对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为 3
10、的圆,除去( -3,0),(3,0)两点 .(2)由(1)知 |m|=3,由已知 m=z-(3+3i),|z- (3+3i)|=3.z 所对应的点 Z 在以(3,3)为圆心,以 3 为半径的圆上 .由图形可知 |z|的最大值为 |3+3i|+3=9;最小值为 |3+3i|-3=3.20.(本小题 10 分)设 z1是虚数, z2=z1+是实数,且 -1 z21 .(1)求 |z1|的值以及 z1的实 部的取值范围;(2)若 = ,求证: 为纯虚数 .(1)解:设 z1=a+bi(a,bR,且 b0),则 z2=z1+=a+bi+i.因为 z2是实数, b0,于是有 a2+b2=1,即 |z1|=1,还可得 z2=2a.由 -1 z21,得 -12 a1,解得 - a,即 z1的实部的取值范围是 .(2)证明: =- i.因为 a, b0,所以 为纯虚数 .
