1、1.3.1 函数的单调性与导数课时演练促提升A 组1.函数 y=x2-ln x 的单调减区间是( )A.(-1,1) B.(0,1)C.(1,+ ) D.(0,+ )解析:函数 y=x2-ln x 的定义域为(0, + ),y=x-,令 yf(x2) B.f(x1)3 D.a3解析: f (x)=3x2-a,由已知 f(x)0 在( -1,1)上恒成立,a 3 x2在( -1,1)上恒成立 .又 03 x20;x0 时,函数图象先增后减再增,其对应的导数是,先有 f(x)0,再有 f(x)0,因此 D 符合条件 .答案:D5.函数 f(x)=(x2-2x)ex的单调递增区间为 . 解析: f(
2、x)的定义域为 R,f(x)=(x2-2x)ex+(x2-2x)(ex)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex.令 f(x)0,解得 x,所以 f(x)的递增区间为( - ,-),(,+ ).答案:( - ,-),(,+ )6.若函数 f(x)=x3+ax+5 的单调递减区间是( -2,2),则实数 a的值为 . 解析: f(x)=3x2+a,依题意 3x2+a0,解得 -.所以函数的单调递增区间为 .(2)因为 f(x)=ex-ax,所以函数的定义域为 R,f(x)=ex-a.因为 ex0,所以当 a0 时,有 f(x)0 在 R 上恒成立;当 a0 时,由 f(x)0 得
3、 exa,即 xln a.综上,当 a0 时, f(x)的单调增区间为( - ,+ );当 a0 时, f(x)的单调增区间为(ln a,+ ).8.已知函数 f(x)=x2+(x0,常数 aR) .若函数 f(x)在 x2, + )上是单调递增的,求 a 的取值范围 .解: f(x)=2x-.要使 f(x)在2, + )上是单调递增的,则 f(x)0 在 x2, + )上恒成立,即0 在 x2, + )上恒成立 .x 20, 2x3-a0 .a 2 x3在 x2, + )上恒成立 .a 小于 2x3在定义域内的最小值 .x 2, + ),y=2x3是单调递增的,y= 2x3在定义域内的最小值
4、为 16,a 16 .当 a=16 时, f(x)=0( x2, + )有且只有 f(2)=0,a 的取值范围是 a16 .B 组1.函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则( )A.a0 B.ag(x),则当 ag(x)B.f(x)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)g(x)+f(b)解析: f (x)-g(x)0, (f(x)-g(x)0,f (x)-g(x)在 a,b上是增函数, 当 af(a)-g(a),f (x)+g(a)g(x)+f(a).答案:C3.已知函数 f(x)=在( -2,+ )内单调递减,则实数 a 的取值范围为 . 解析: f(x)=,由题意得 f(x)
5、0 在( -2,+ )内恒成立,所以解不等式得 a,但当 a=时,f(x)=0 恒成立,不合题意,应舍去,所以 a 的取值范围是 .答案:4.若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域内的一个子区间( k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k的取值范围是 . 解析:因为 f(x)的定义域为(0, + ),又 f(x)=4x-,由 f(x)=0,得 x=.据题意,解得 1 k1 时, xln(1+x).证明:设 f(x)=x-ln(1+x)(x1),则 f(x)=1-. 当 x1 时, f(x)0,f (x)在(1, + )上是增函数, 当 x1 时, f(x)=x-ln(1+x)f(1)
6、=1-ln 21-ln e=0,f (x)0,即 xln(1+x)(x1).6.已知函数 f(x)=ln x-ax2-2x 存在单调递减区间,求 a 的取值范围 .解:由 f(x)=ln x-ax2-2x,x(0, + ),所以 f(x)=-ax-2.因为 f(x)在(0, + )上存在单调递减区间,所以当 x(0, + )时,-ax-2有解 .设 G(x)=,所以只要 aG(x)min即可 .而 G(x)=-1,所以 G(x)min=-1.所以 a-1,即 a 的取值范围是( -1,+ ).7.已知函数 f(x)=mx3+nx2(m,nR, m0),函数 y=f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线与 x 轴平行 .(1)用关于 m 的代数式表示 n;(2)求函数 f(x)的单调增区间 .解:(1)由已知条件得 f(x)=3mx2+2nx,又 f(2)=0, 3m+n=0,故 n=-3m.(2)n=- 3m,f (x)=mx3-3mx2,f (x)=3mx2-6mx.令 f(x)0,即 3mx2-6mx0,当 m0 时 ,解得 x2,则函数 f(x)的单调增区间是( - ,0)和(2, + );当 m0 时,函数 f(x)的单调增区间是( - ,0)和(2, + );当 m0 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,2) .
