1、第十九章 含参变量的积分1 含参变量的正常积分1求下列极限：（1） ；120limdx（2） ；2cos（3） 120lix解（1）由于 在 上连续，故 在 连),(f 1,12)(dxI1,续，所以，2)0(limli 1010120 xdIdx（2）由于 在 上连续，故 在 连续，所xfcos),(2,cos)(dI2,0以，38)0(lili 2020 xIxd（3） ， 1221212 1dxdx由于 在 上连续，故 在 连续，所以，),(f ,0)(xI 1,041)(lim1lim02002 dIdx而对 ， 有， ， ，因此Rx02 12x， ，01li02dx0li12d因而，
2、 02102120 1limlimlim xxx 41d2求 ，其中：)(F（1） ；2xyde（2） ；xcosin12)(（3） ；xbadyF)sin()(（4） xttf0),(2解（1） 352222)( )( xxyxxxy edeede （2） )(sin)(cos1222 i11cosin F xexeye xxxy inssi2（3） )(si()(sin()co()( xazbdxba= in1i1xaxx（4） xt dtfdsfdtsfF020 ),(),(),()(223设 为连续函数，f，xfhF02)(1)( 求 )(xF解 由于 ，所以， xx dufdfdh0
3、2202 )()(1)( (232 xx ufuf，)(0)2(3)(512(3)231)( 22 xffhxffxffhF 注记 该题的函数应为 （这从该教材第二版亦可得到印证） ，hdF0)1( 则，xhh dufxfdx 0202 )(1)()( 所以， hxh ffufhF0202 )()()(1)(，hxx dfd)()2(1)()()()( 22 xfhfxfhxff 4研究函数 的连续性，其中 是 上连续且为正的函数102)()(dxyfyF)(xf1,0解 当 时，被积函数在相应的闭矩形上是连续的，因此 在 连续当 时， )(yF00y0)(F而 时，设 为 在 上的最小值，则
4、 由于ym)(xf1,00m，而 ，ydxyyF1arctn02 21arctnli0y故有 若存在，必然 或不存在，因而 在 时间断)(li0y )(0)(li0Fy)(F05应用积分号下求导法求下列积分：（1） （ ） ；202)sinl(dxa1a（2） ；)(co（3） ；0,ssil(022bxbx（4） )1(tan)rc20ad解（1）设 ，则有202sinl)(xI 202202sin)il(dxadaxa )1arctn1(rcta1)sin1si( 22220 x，12a即cadaI )1ln(1)( 22的确定较为困难，可如下进行c )l()sil()ln()( 2202
5、2dxaaI1lnsi1l 2202 adx，adxa1ln)si1ln(2202令 ， ，又 ，所以，all 1sin022ax，0)i1ln()l(22a，)(0)1ln()l()si1ln()sin1l( 2202202202 adxadxdxa ，即 lc lln)l()(2aI（2）设 ，则02cos1lndxa 02202cos1)()( dxaaxI 022022 cos1)(1)1( dxadxa，222022 )()1arctn()(1)( xa 所以， l0)( 2dIaI （3）将 看作参变量， 认为是常数，记 可先设 ，b022)cossinl()(dxbxaI 0a，
6、则0b 20 20222 cossin)cossinl()( dxbxadxbxaaI若 ，则 ，若 作代换 ，得bdbIi)(20 t 022022 )(11)( abtdattaI，ba)(11(2 220 2222 badtbtatba所以， ，而 ，于是cdaI)ln()( cI)ln(l) ln2l(babaI若 或 ，则可以 或 代替 或 ，因而总有 0ab 2ln)(baI（4）记 ，令 ，当 时， 无定义，20tan)rc()(dxI xaftnrc(),(,0f但 ， ，故补充定义 ， ，则 在axfx,lim0 0),(li2fx f,0),2(ff连续（ ） ，从而 在
7、连续,2,b1)(aI1,20 ,0,)( ,tn),(2xxfa显然 在 点不连续，但 分别在 和 连续，故有)0,(xfa2),(fa ),1(,)1,0(,， 或 2020 tn1),(dxdxfIa ,a,令 ，txan 0222022 )1)()1)()( dtatatatI， 或 )()()(0222 dtt 0,)1,(积分之， ；1)ln()(caI),0(， 22因为 在 连续，故 ，得 ，从而得)(aI1, )(lim)(li)(00aIaII021c， |)1ln(sg2)(aaI1|6应用积分交换次序求下列积分：（1） ；)0,(ln0bdxab（2） ),(l)1si
8、(0ab解（1） bababaybayab ydyxdxdx |)1ln(ln101010 ln)l()l(（2） baybayab dxxdxdxx 101010 )sin(lsilln)si(记 ，则10i)yIy )1()cos(ln)1sin(l)1sin(l( 100 dxxxydx yy )()i(l)co(l)()co(l 101210 y yy，)()1(1sinl() 202 Iydxy所以， ，因此，)1()2yI)1(arctn1)()(lnsi 210 badydyIxxbabab 7设 为可微函数，试求下列函数的二阶导数：f（1） ；xdyfF0)()(（2） )ba
9、ba解（1） ， (2)()(0xfyfx )(2)(3xffF（2） badF,)( ,)(,)(bxdyxf bxadyffbaxba,)( ,)(,)(bxdyf bxayffxFbaxba bxorafbxfx,0,)(2,0)(2,)(8证明： 102102)()( dydyd证明 10 1021022102 )()( dyxxx，4|arctn1102d 10 0222102 )( dxyxydxyd，4|arctn11002 d所以， 02102)()( xyyxd9设 ，问是否成立10lndxyF1002ln)(dxyxF解 ，所以，lnl)0(101xd 11ln)l( 01
10、022102 dxyxyyyFy，)0(21arctn2)1ln(arct1ln02 yyxyy 即 ，同样 ，因此 不存在，而2)0(F)0(F)(F，0ln11002102 dxyxdyx因此， 不成立1002l)(yFy10设，20cos)in()(dxexFx求证 2)(xF证明 ，函数 在矩形域 连续，R0 )sico(),(sxexfx 2,01,)(00x sin)si()in(s),( cocoef xxx 亦在矩形域 连续，故由积分号下求导数可得2,0100 0 coscos20 00 sin)i()sin(),()( dxexedxfxF xxx（ ）200cos20cos
11、 i)i()in(1 dexx 0 200cos200cos0 )in()ins(1|)i( 0xexx20cosini0 dex，当 时，显然 0x 0si)(220 F由 的任意性， ，因此， ，而 ，所以，RxCxF)( 2)0(dF211设 为两次可微函数， 为可微函数，证明函数)(xf )(xatxdztxfatftxu )(21)()(21),( 满足弦振动方程 22xut及初始条件， )(0,(fxu)(0,t证明 ，21)(21 atxatfatfxu ，)()(2 ttxtxftf 21)()(1 atxtatfatftu ，)()(2xxxa2)()( atxtatftft
12、u 所以， )()()()(2 txtxtxftxfat ，2)()(21)()(1 xuatatatftf 即满足弦振动方程又，)()()()0,( fdzxfxux，212xfat 即满足初始条件2 含参变量的广义积分1证明下列积分在指定的区间内一致收敛：（1） （ ） ；02)cos(dyx0ax（2） ；)()02（3） ；)(1bxadyex（4） （ ， ） ；cospx0（5） )(1in02dxp证明（1）因为当 时， ，有0a,y，2221)cos(yax而 收敛，由 M 判别法， 在 是一致收敛的dya02102)(dy0（2）因为， ， 成立),(x),y，221cos(
13、yx而 收敛，由 M 判别法， 在 一致收敛021dy02)(dx（3）因为 ， ，成立,bax),1y，yMybayx ee,mx其中 ， 而 收敛，所以 在 一致收敛0,ma1dM1dxbxa（4）用 Abel 判别法已知 收敛（见第十一章3 习题 3（3） ） ，又对每一个1cosyp，函数 关于 是单调函数，且 ， ，有 ，由 Abel 判别),0xxye ),0x),11xye法知 1cosdyepxy在 一致收敛),0（5）由于 收敛（见 p56-11.1-例 10） ，又对每一个 ，函数 是单02sindx ),0ppx1调减函数，且 ， ，有 ，由 Abel 判别法， 在),0
14、x),0p1px )0(1sin02pdx一致收敛),02讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：（1） ；)0(20dxe（2） ，y（i） ， （ii） ；)(,abx ,0bx（3） ，de2)(（i） ， （ii） ；（4） )0(sin0)1(2xyyx解（1） ，当 时)0(2(00)(0 222 duexdedexx 积分为 ，由于 ，故 ：Alimlim0222 euexeuAoAo 0， ，使得有 ，因此积分非一致收敛200002Axd（2）积分对于每一个定值 是收敛的x当 时， ；当 时 x0dye 1|00xyxye（i） ，由于 ，故 ，使当)(,ab aAAxyde 1
15、ln,0a时，就有 ，于是，在区间 上积分一致收敛0A0aAxye )(,b（ii）由于 时， 1A，故 ，对于足够小的 值， ，故在1:00x0Axe上，积分 不一致收敛,b0dyxe（3）对任意固定的 ，积分 都收敛，且（作代换 ）dxe2)( txte22)(（i）取正数 充分大，使得 ，显然，当 时，对一切 ，有RRbaRxba，22)()(0Rxxe而积分 收敛，由 M 判别法，积分 在 一致收0)()( 22 dedxeRxR dxe2)(ba敛（ii） ，有 ，故当 充分大时，A tdteAAx 222limli)(，0)(2x由此可知 在 非一致收敛，因而 在 更非一致0)(2
16、dxedxe2)(收敛（4） ，有A，)0(sini 0)1( 2222 xtedtexyeAxyx因此，积分 在 非一致收敛0)(sn2d03设 在 连续， 当 ， 时皆收敛，且 求证：tf0)(tftabba关于 在 一致收敛0)(dt,ba证明 1100 )()()( dtftdtfttft ba由于 收敛，因而，对 一致收敛， 当 固定时，对 在 单调，且1a ,t1,0，因此，由 Abel 判别法，积分 在 一致收敛t 1010)()(tfttfta ,ba又因为 收敛，故对 亦一致收敛， 当 固定时，对 在 单调递减，1)(dtftb ,bbt,且 ，由 Abel 判别法，积分 在
17、 一致收敛bt 11 )()(dtftdtft ,因此， 在 上一致收敛0)(tft,a4讨论下列函数在指定区间上的连续性：（1） ， ；02)(dyxF),(x（2） ， ；01)(yx3（3） ， 02)(sin)(dxFxx )2,0(解（1）当 时，0x ,0,2,arctn)(1)( 00202 xxyxyddyxF 而 ，因此， 在 连续，在 间断（第一类间断点） )0()(x（2）因为，)1(,11222 yyyxxx而当 时，无穷积分 收敛， 在 是常义积分，因而 在3x12dyx10)(dFx3)(xF有意义， ，当 时， ，有00b),b，222 111bxxx yyy而
18、收敛，因而 在 一致收敛，因此， 在12dyb02dyx),b021)(dxyxF连续，由 的任意性可知， 在 连续),0x),3(x(xF3（3） ， 22202)(sin)(sin( dyydyFxxxx所以， ， ，使得 ，当 时，有,00 2,， ， )2(1)(1)(1)(sin22 yyyyxxx 1,0(y， ， 1212 )()()(si yyyxxx ),及 均收敛，所以 及10)2(dy112)()dy202)(sindxx均在 一致收敛，因而 在 一致收敛22)(sindxyx 2,02)(sindyyxx 2,因此， 在 连续，因而在 连续，由 的任意性，知F, ),0
19、(在 连续)(x,05若 在 上连续，含参变量广义积分)(yf),cbacdyxf),()(在 收敛，在 时发散，证明 在 不一致收敛),baxxI,ba证明 目的在于证明： ， ， 及 ，使得0A0A,bax （1）0 ),(dyxf因为 ),(),(),(),( AAA ybfybfyxfdyxf， ),(),(),(AA dfxfdf因此，若能证明 ， ， 及 ，0c0,ba， ， （2）02),( Adybf 0 ),(),(Adyfyxf则（1）式即可得到剩下的问题在于证明（2） 因 发散，故 ， ， ，使得0cdybf),(0c00A02),( Adybf但 在 连续，从而在有界闭
20、区域 ， 上一致连续，02),(yxf),cba bxay于是对上述 中 ， ，当 ， 且 ，10 xy,a时，有,Ay，Ayxff 0),(),(从而 时，有 ，由此推得bx Aybfxf 0),(),(0 ),(),(Adybfxf6含参变量的广义积分 在 一致收敛的充要条件是：对任一趋于cyf,)(,a的递增数列 （其中 ） ，函数项级数nA1 11 )(),(nnAxudyxf在 上一致收敛,ba证明 必要性 在 一致收敛，故 ， ，当 时，cdyxfI),()(,ba0cA0有，Af),(对 一致地成立,bax对任意递增数列 ： ，首先，nA)(1c nkAnn dyxfdyxfxu
21、111 ),(lim),)(， 成立,(li IffcAc ,ba其次，由于 单调递减趋于 ，故对上述 ， 满足 ，因此当 时，n cA0N0ANn，因此，有0ANn，nk AnAnk dyxfdyxfxu),(),()(1一致地成立，因此级数 在 上一致收敛于 ,bax1)(n,ba)(I充分性采用反证法若不然，设对任一趋于 的递增数列 （其中 ） ，函数项级数nAc1在 上一致收敛，但广义积分 在 不一致11),()(nAn dyxfxu,bacdyxf),()(,ba收敛，因此 ， ， ， ，使得 0cA0,bax00),(Adyxf取 ， ， ，使得 ；1)1(0cA)1(2 12取
22、， ， ，使得 ；)2( )(03,2x03),(Ayxf取 ， ， ，使得 ；2)3(0 )(4A3ba4d如此一直下去得到一列单调递增序列 （令 ） ，且 和一列nC1 )(nn，使得,baxn，01),(nAdyxf即函数项级数 在 非一致收敛，矛盾！11),)(nnyfxu,ba因此， 在 一致收敛cdfI,7用上题的结论证明含参变量广义积分 在 的积分交换次序定理（定cdyxfI),()(,ba理 1912）和积分号下求导数定理（定理 1913） 证明 积分交换次序定理 设 在 上连续，且含参变量的广义积分),(yxf),bacdyxfI(在 上一致收敛，则,ba，cbaba xyf
23、dxI),()(即 c dyf,由于 在 一致收敛 对任意递增趋于 的数列 （ ） ，函cyxfI),()(bnAc1数项级数 在 一致收敛于 ，由已知条件， 在11 )(,nnAxudf ,a)(xI),(yxf上连续，因而亦在 上连续，故 在 连续，),cba ,1nAb1,nAndfu,ba因此利用函数项级数和函数的逐项积分定理，有 111 1 ),(),()()( nAbanbaAnbaba n xyfdyxfdxudxI cbaAcbannkAba dxyfdxyfdxyfn ),(),(lim),(lim11积分号下求导数定理 设 和 都在 上连续，若 在,f,fx,cf,上收敛，
24、 在 上一致收敛，则 在 可导，且,bacxdyf),(bacdyxfI)()(,ba，cxdyfI,)(即 cxyfd)(,由于 在 上收敛，故对任意趋于 的递增函数列 （ ） ，级数cyxf),(,banAC1在 上收敛于 ，又 在 上一致收敛，故函数11(,nnAudf ,)(xIcxdyf),(,ba项级数 在 上一致收敛，用函数项级数和函数的逐项求导定理，知11 )(),(nnAxxyf ,ba cxnAxn dyfdyfuI ),(),()()(118利用微分交换次序计算下列积分：（1） （ 为正整数， ） ；012)()(nnaxdaI 0a（2） （ ， ） ；0simeb0b
25、（3） ( )0in2xda解（1）由于积分 对一切 在 上一致收敛，得020a0，)()()1( 1020202 aIxddxxda 由 的任意性，知上式对一切 成立同理对积分 逐次求导，得0aa02，)(!1()(!)1(0202 aInaxdnxdnn 但，3202)(dax，5323202 1)(1( aadaxd 用数学归纳法，可得，12102!)() nnnx所以，)21()21(1 !)(!2)() nnnn aaaI （2）当 时， ，下设 0m0simxdebx 由于 ，因此 不是瑕点，从而当 ， 时，被积函数在0sinli0xebaxx 0ab内连续（ 的函数值理解为极限值
26、 0） ，又由于，)(sinxemxebaxbax而积分 收敛，由比较判别法，积分 收敛1dxebax 0sinmdxba当 时，积分 是一致收敛的事实000 i)sin( xedmxeaab上，由 立即得到此结论于是 在)(sin0xemeaax 0sin)(mdxIbxa时可以在积分号下求导数，得0，20sin)( amxdeaIa由 的任意性知，上式对一切 均成立，从而0a，caIrt)(2其中 为待定常数，令 ，则得 所以，cbambcan0mbartn)0()ctrtartsin 20 mxdex（3） 0000 cos2sin21)(sin21sin 2222 bxdeabxeae
27、bxdabxde xaaco2设 ，由于 与 都是 ，0cos)(2xebIax xeas2 xebxeaaxsi)cos(22上的连续函数，且此时， ，22saxaxb22sinaxax而积分 与 都收敛，因此积分 与 均在02dxea02de0co2bde0sin2bxdea上一致收敛，从而可以在积分号下求导数所以，),(，)(2sin)(02 IaxebIa解得， ，其中 是待定常数但 ，得abceI42)(c 1)(0dIxababax eebIad 4240 222 )(sin 9利用对参数的积分法计算下列积分：（1） （ ， ） ；022xebax0（2） （ ， ） 0sinmd
28、bxaab解（1） batxabtxbxax detdee000 2222 batxatxt 002221)(1tdbab lnlnl（2） batxbatxbxa mdedeme 000 sisinsin（ ，batdtmtbaba 22 )(rctnrtrctrc )0而 时， ，这也可以归结到前面最终答案中 的情形，所以，00sinxdebax mabmxdebax 20 )(arctnsin10利用 计算 Laplace 积分0)1(221dyxx021cosdxL和 1in解 先计算 021cosdxL若 ，则 ，故下设 2arctn1002xdx 0 00)(02 cososcs
29、2xdedyyex yx， 0)2(0)4(04 221 ttetdye tty 其中第四个等号应用了 8（3）中 的结果下面计算)(bI0)2(dtet设 ，则 时， ，ut2t0u2ut，)(1t从而有 ，代入得duududt 2122eteI ut 2)(0)( 2 )2(210)2(2)2( duueduu （前者作负代换）)( 02)2(02)2( euu， 2020)2(0)2(1 2 edededuuu所以， eedteLt 20)2(再计算 显然21sinx 00020 21cosco dueduedxudu sgn)1(0,)(2,20 edue11利用 计算 Fresnel
30、 积分)0(102xyx，002sin1sindxdF和 0021 cocoxx解 在积分 的两端乘以 ，再在 上积分，则得021dyexxsin10x.10210 isinxxyx ded由于 ，而 收敛，故积分 对 一致收敛，从202sinyxxye02yex02sinxy10x而可以进行积分顺序的交换，得 0420 1010210 1)cosi(sini dyyedxdyx xxyxyx 04042cos1i2 200 dyexx，0410421sin21yexdxxx上述等式右端的诸积分分别对 ， 都是一致收敛的( ， ，10120yxe21yx且 及 均收敛)于是，它们分别是 ( ，
31、 )的连续0421dy04110,x01函数，从而令 ，可在积分号下取极限，得0x， 0410421040 cossin212sin 2111 dyexdyexydd xx且由于上式右端后两个积分均不超过积分 故)(211021 yx， ，1042dyex )(01041 xdyex令 取极限，1x， 2212sin040 yddx所以， 2i21sin00xdx同理可得， cos012利用已知积分，2sin0dx202dxe计算下列积分：（1） ；dx024sin（2） ；0coiy（3） （ ） ；02dxea0（4） （ ） ；)(2cb（5） （ ） dxea)(20解（1） 0340
32、4024 cosinsin)1(sinsin dxxxddxx0cos)3ins(002sin14i2123 dx4)(s)(si0 xdx（2） 00 1ini1cosin dyyy )si()si(00xx1,0,2,1,021, xxor（3）由于 ，所以， 200 222 )(deadexed axaaa2002 42xaax （4） abtcabxacbacbxacbxa dededede 240)2(404)2(0)( 2222 )1()( 042004 222 uacbabtatacb )(120422abucabdee（5） ， 02)(20)()( 22 dxxdxaaaa设
33、 ，令 ，则 时，0)()(eIxau ， ， ，代入uux42)4(212axduaudx4212，得)(aI duauedxeaa 4212)4(0)( 2)44(2102)4(02)4( 22 duaueduaue aa（前者作负代换）)( 02)4(02)4( 22 auau，aauede40)4(2所以， aaaxa 242)(2 13求下列积分：（1） ；0costdtet（2） 02)ln(x解（1）引入参变量 ，考虑含参变量的积分 ，则要求的积分为)0(0cos1)(tdteIt.)(I由于 ， ： ，函数 及 均在0bttetcos1 tettett cos)cs1(上连续，
34、且 在 一致收敛，(M 判别法. ，),bdet0cos),b btt)，故在点 ，有，11sinccos)( 2020 tt etdeI由 的任意性，上式 对一切 成立所以， ，再由012 0cI)ln()(2，即知cII)(lim)(，)1ln(2)(I因此，2l)(cos10Itdtet（2）引入参变量 ： ，考虑含参变量的积分 ，则要求的0021)ln()(dxI积分为 由于 在 连续，且当 ( 为任何有)1(I 21)ln(),(xf),0,10限正数)时一致收敛事实上，当 时，10，212)ln()ln(xx)0(x而 收敛( )，于是 是 上的连续函数由021)ln(dxl(li
35、m2123x )(I1的任意性知， 当 时连续而1)I0，)1)(21)ln( 22xx由于当 时，有10，)1)(2)(2202xx)(而积分 收敛，于是 在 时是一致收02021)(dx022)(d10敛的从而，1)1)()(0202 xxI由 及 的任意性知，上式对一切 均成立所以，001 ( )，cI)ln()(令 取极限，注意到 在 连续，可得 ，所以，0 cII)(lim0(因此，)1ln()(I2ln)1(1)ln(02Idx14证明：（1） 在 （ ）上一致收敛；0)ln(dyx,1b（2） 在 （ ）上一致收敛y证明（1）显然， ，瑕积分 是收敛的，且 ， 时，,bx10)l
36、n()(dyxI ,1bx1,0y，而积分 收敛，由 M 判别法，知 在 上一致收敛)ln()l(byx10)ln(dy10)l(（2） ，积分 收敛( 时是常义积分， 时是,10yx,()1(,y瑕点为 的 积分)且 时， ，而 收敛，由 M 判别法知 在0p,(byb)110bxd0yxd一致收敛,(b13 Euler 积分1利用 Euler 积分计算下列积分：（1） ；041xd（2） ；02（3） ；13)(d（4） ；axx022)0(a（5） ；46cosind（6） ；041x（7） （ 为正整数） ；2en（8） ；0cos3xd（9） （ 为正整数） ；20in（10） （
37、为正整数， ） 11)(ldxxmn1m解（1）令 ，则 ， ，t44tdt3)21,(764)21,3(4)21,(4)1(410230 dttxd3518)()21(356)2,1(5764（2） 8)(1)(8),()1( 202102 dxdx（3）令 ，则 ， ，t212tt )23,5()1(2)1()1()( 024023023103 dtttdtdxxdx3465)2(5（4）令 ，则 ， ，所以，uax2uaxduax )23,()1(2)( 402410212022 aduad4424 3)()(8aa（5）令 ，则 时， ； 时， ，tx2sin1t0xt 5123),7
38、(21)(2cosi0352046 dttxd（6）先作代换 ， ， 414ttxt43041x04td再令 ， ， ，因此，ut1tdut2)( 1024304304 )(1)(1duutdxd2)1(43)43,1()1(4043 du（这里用到了 函数的余元公式 ，参见陈纪修等数学分析0sin)(xx（下册）P377-379，高等教育出版社 2000 年 4 月） （7）令 则 ， ，有,2txtdtx211021002 2!)()( ntntnxn eede（8） 02020 sin1sincos3 xdxdx 102141022 )()()(i dtdttt),(4)(4210213uut)1()43()43( 2（9） )21,()1(21sinsi 0202220 nduutdttxd nnn!)(1)1(2nn（10） 0)1(01101)(ln dueeduexdx mnumumnntnt )(!)()()(012将下列积分用 Euler 积分表示，并求出积分的存在域：（1）
