1、第 1 讲 空间几何体1(2014浙江)某几何体的三视图 (单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A72 cm 3 B90 cm 3C108 cm 3 D138 cm 32(2015山东)在梯形 ABCD 中，ABC ，AD BC ，BC2AD2AB 2.将梯形 ABCD2绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D223 43 533(2015课标全国)九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米堆
2、底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( )A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛4(2014江苏)设甲，乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S 2，体积分别为 V1，V 2.若它们的侧面相等，且 ，则 的值是_S1S2 94 V1V21.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一 三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样
3、，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等” 2由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体例 1 (1)(2014课标全国)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的
4、位置，再确定几何体的形状，即可得到结果跟踪演练 1 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧例 2 (1)(2015北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A2 B4 C22 D55 5 5(2)如图，在棱长为 6 的正方体
5、ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别在 C1D1 与 C1B1 上，且C1E4，C 1F3，连接 EF，FB，DE，BD 则几何体 EFC1DBC 的体积为( )A66 B68 C70 D72思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和 (2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差求解时注意不要多算也不要少算跟踪演练 2 (2015四川)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形，设点 M，N，P 分别是AB，BC，
6、B 1C1 的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是_热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径例 3 (1)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA平面ABC，SA2 ，AB 1，AC 2，BAC60，则球 O 的表面积为( )3A4 B12 C16 D64(2)(2015课标全国)已知 A，B 是球 O 的球面上两点， AOB
7、90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A36 B64C144 D256思维升华 三棱锥 PABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)P 可作为长方体上底面的一个顶点，A、B、C 可作为下底面的三个顶点；(2) PABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线跟踪演练 3 在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为 ， ， ，则三棱锥 ABCD 的外接球体积为_.22 32 621一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A16 B8 8
8、2C2 2 8 D4 4 82 6 2 62如图，将边长为 5 的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面2和底面的展开图，则圆锥的体积是( )A. B. 2303 263C. D. 303 6033(2015浙江杭州二中测试) 如图，在正三棱锥 SABC 中，M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB2 ，则正三棱锥 SABC 的外接球的表面积为( )2A6 B12C32 D36提醒：完成作业 专题四 第 1 讲二轮专题强化练专题四第 1 讲 空间几何体A 组 专题通关1(2015哈尔滨模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x的值是( )A2 B.92C
9、. D3322如图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体 ABCDE 的体积为( )A2B.23C.43D.833已知正四棱锥的底面边长为 2a，其侧视图如图所示当正视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为( )A8 B88 2C8 D482 24(2015课标全国)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r 等于( )A1 B2C4 D85三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，SA平面 ABC，ABBC，又SAABBC1，则球 O 的表面积为( )A. B. 32 32C3 D1
10、26有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC 45，ABAD1，DCBC ，则这块菜地的面积为_7(2014山东)一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则3该六棱锥的侧面积为_8如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B 1C 上的点，则三棱锥D1EDF 的体积为_9已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为_10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形(1)求该几何体的
11、体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.B 组 能力提高11把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD平面 CBD，形成三棱锥CABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A. B. C. D.12 22 14 2412如图，侧棱长为 2 的正三棱锥 VABC 中，3AVB BVCCVA40，过 A 作截面AEF，则截面 AEF 的周长的最小值为_13已知矩形 ABCD 的面积为 8，当矩形周长最小时，沿对角线 AC 把ACD 折起，则三棱锥 DABC 的外接球的表面积等于_14如图，在 RtABC 中，ABBC 4，点 E 在线段 AB 上过点 E
12、作 EFBC 交 AC 于点F，将AEF 沿 EF 折起到PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得PEB30.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点 E 在何处时，四棱锥 PEFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥 PEFCB 的体积学生用书答案精析专题四 立体几何与空间向量第 1 讲 空间几何体高考真题体验1B 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示VV 三棱柱 V 长方体 433436187290(cm 3)122C 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半
13、径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV 圆柱 V 圆锥 AB2BC CE2DE13 122 121 .13 533B 由题意知：米堆的底面半径为 (尺) ，体积 V R2h (立方尺)所以堆放的163 13 14 3209米大约为 22(斛) 32091.624.32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1，r 2和 h1，h 2，由 ，S1S2 94得 ，则 .r21r2 94 r1r2 32由圆柱的侧面积相等，得 2r1h12 r2h2，即 r1h1r 2h2，所以 .V1V2 r21h1r2h2 r1r2 32热
14、点分类突破例 1 (1)(1)B (2)B解析 (1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选 B.(2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形跟踪演练 1 (1)D (2)D解析 (1)由俯视图，易知答案为 D.(2)如图所示，点 D1的投影为 C1，点 D 的投影为 C，点 A 的投影为 B，故选 D.例 2 (1)C (2)A解析 (1)该三棱锥的直观图如图所示：过 D 作 DEBC ，交 BC 于 E，连接 AE，则BC2，EC1，AD1，ED2，S 表 S B
15、CDS ACDS ABDS ABC 22 1 1 212 12 5 12 5 12 522 .5(2)如图，连接 DF，DC 1，那么几何体 EFC1DBC 被分割成三棱锥 DEFC 1及四棱锥DCBFC 1，那么几何体 EFC1DBC 的体积为 V 346 (36)13 12 13 1266125466.故所求几何体 EFC1DBC 的体积为 66.跟踪演练 2 124解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1 的直三棱柱，VPA1MNVA 1PMN，又 AA1平面 PMN，VA1PMNV APMN，VAPMN 1 ，13 12
16、12 12 124故 VPA1MN .124例 3 (1)C (2)C解析 (1)在ABC 中，BC2AB 2AC 22AB ACcos 603，AC2AB 2BC 2，即 ABBC，又 SA平面 ABC，三棱锥 SABC 可补成分别以 AB1，BC ，SA2 为长、宽、高的长方体，3 3球 O 的直径 4，12 32 232故球 O 的表面积为 42216.(2)如图，要使三棱锥 OABC 即 COAB 的体积最大，当且仅当点 C 到平面OAB 的距离，即三棱锥 COAB 底面 OAB 上的高最大，其最大值为球 O 的半径 R，则 VOABC 最大 V COAB 最大 SOABR R2R R
17、336，所以 R6，得 S 球 O4R 246 2144，选 C.13 13 12 16跟踪演练 3 6解析 如图，以 AB，AC，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长据题意Error! 解得Error!长方体的对角线长为 ，AB2 AC2 AD2 6三棱锥外接球的半径为 .62三棱锥外接球的体积为 V ( )3 .43 62 6高考押题精练1D 由三视图知，该几何体是底面边长为 2 的正方形，22 22 2高 PD2 的四棱锥 PABCD，因为 PD平面 ABCD，且四边形 ABCD是正方形，易得 BCPC，BAPA
18、，又 PC PD2 CD2 2 ，22 222 3所以 SPCDS PAD 22 2 ，12 2 2SPABS PBC 2 2 2 .12 2 3 6所以几何体的表面积为 4 4 8.6 22A 设圆锥底面半径为 RMO，底面周长2R弧长 FE 2AM，AM4R，OC14R，ACAMMOOC(5 )R，正方形边长5 AC，即 5 (5 )2 2 222 2 22 2R，R ，AM4 ，h ，2 2 AM2 R2 30V R2h 2 .13 13 30 23033B 因为三棱锥 SABC 为正三棱锥，所以 SBAC ，又 AMSB，所以 SB平面 SAC，所以 SBSA ，SB SC ，即 SA
19、，SB，SC 三线两两垂直，且 AB2 ，所以 SASBSC 2，2所以(2R) 23 2212，所以球的表面积 S4R 212，故选 B.二轮专题强化练答案精析专题四 立体几何与空间向量第 1 讲 空间几何体1D 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V 2x3，x 3.131 222D 多面体 ABCDE 为四棱锥 (如图)，利用割补法可得其体积 V4 ，选 D.43 833B 由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其正视图与侧视图相同，设棱锥的高为 h，则 a2h 24.故其正视图的面积为 S 2ahah 2，12 a2 h22即当 ah 时，S 最大，此时该正四棱锥的表面积 S 表
20、 (2a) 24 2a221288 ，故选 B.24B 由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S 4r2r 24r 2r2r(5 4)r 2.又12S1620， (54)r 21620，r 24，r2，故选 B.5C如图，因为 ABBC，所以 AC 是 ABC 所在截面圆的直径，又因为 SA平面 ABC，所以SAC 所在的截面圆是球的大圆，所以 SC 是球的一条直径由题设 SAAB BC1，由勾股定理可求得：SB ，SC ，2 3所以球的半径 R ，32所以球的表面积为 4( )
21、23.326222解析 如图，在直观图中，过点 A 作 AE BC，垂足为 E，则在 RtABE 中， AB1，ABE45，BE .22而四边形 AECD 为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC 1.22由此可还原原图形如图在原图形中，AD 1，A B2，BC 1，22且 ADB C，ABB C，这块菜地的面积为S (ADB C)AB12 (11 )22 .12 22 22712解析 设正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h.由题意，得 6 2 h2 ，13 12 3 3h1，斜高 h 2，12 ?3?2S 侧 6 2212.128.16解析 VD 1EDFVFDD 1E SD1DEAB13
22、111 .1312 169. 332解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为 1，高为 ，母线长为 2 的圆锥的一半，其表3面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和所以，S 22 12 2 .1212 12 12 3 32 310解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为 4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥 EABCD.(1)V (86)464.13(2)四棱锥 EABCD 的两个侧面 EAD，EBC 是全等的等腰三角形，且 BC 边上的高 h1 4 ；42 ?82?2 2另两个侧面 EAB，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高 h2 5.42 ?62?2因此 S2( 64
23、 85)4024 .12 2 12 211C 因为 C 在平面 ABD 上的射影为 BD 的中点 O，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AOCO AC ，所以12 22侧视图的面积等于 SAOC COAO ，故选 C.12 12 22 22 14126解析 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 VABC 展开在一个平面内，如图，则 AA即为截面AEF 周长的最小值，且 AVA340120.在 VAA中，由余弦定理可得 AA6，故答案为 6.1316解析 设矩形的两邻边长度分别为 a，b，则 ab8，此时 2a2b4 8 ，当且仅当ab 2ab2 时等号成立，此时四边形 ABCD 为正方形，其中心到四
24、个顶点的距离相等，均为22，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，这个球的表面积是 42216.14(1)证明 EFBC 且 BCAB，EFAB，即 EFBE ，EFPE.又 BEPEE，EF平面 PBE，又 PB平面 PBE，EFPB.(2)解 设 BEx，PE y ，则 xy4.S PEB BEPEsinPEB12 xy 21.14 14(x y2 )当且仅当 xy2 时，S PEB的面积最大此时，BEPE2.由(1)知 EF平面 PBE，平面 PBE平面 EFCB，在平面 PBE 中，作 POBE 于 O，则PO平面 EFCB.即 PO 为四棱锥 PEFCB 的高又 POPEsin 30 2 1.12SEFCB (24)26.12V PBCFE 612.13
