1、【三维设计】2015 高中数学 第三章 直线与方程学案 新人教 A版必修 2_3.1直线的倾斜角与斜率31.1 倾斜角与斜率直线的倾斜角提出问题在平面直角坐标系中，直线 l经过点 P.问题 1：直线 l的位置能够确定吗？提示：不能问题 2：过点 P可以作与 l相交的直线多少条？提示：无数条问题 3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同导入新知1.倾斜角的定义：当直线 l与 x轴相交时，取 x轴作为基准， x轴正方向与直线 l向上方向之间所成的角叫做直线 l的倾斜角如图所示，直线 l的倾斜角是 APx，直线 l的倾斜角是 BPx.2倾斜角的范围：直线的倾斜角 的取值范围是 0 18
2、0，并规定与 x轴平行或重合的直线的倾斜角为 0.3倾斜角与直线形状的关系倾斜角 0 0 90 90 90 180直线化解疑难对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件： x轴正向；直线向上的方向；小于 180的非负角(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由 x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对 x轴的倾斜程度(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.直线的斜率提出问题日常生活中，常用坡度(坡度 )表示倾斜程度，例如，升 高 量前 进 量
3、“进 2升 3”与“进 2升 2”比较，前者更陡一些，因为坡度 .32 22问题 1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以问题 2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以问题 3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等导入新知1斜率的定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即 ktan_ .2斜率公式：经过两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)(x1 x2)的直线的斜率公式为 k.当 x1 x2时，直线 P1P2没有斜
4、率y2 y1x2 x13斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度化解疑难1倾斜角 与斜率 k的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是 90时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于 x轴(平行于 y轴或与 y轴重合)(2)直线的斜率也反映了直线相对于 x轴的正方向的倾斜程度当 0 90时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90 180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大2斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是 y2 y1，分母必须是 x2 x1；反过来，如果分子是 y1 y2，分母必须是
5、x1 x2，即 k .y1 y2x1 x2 y2 y1x2 x1(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论直线的倾斜角例 1 (1)若直线 l的向上方向与 y轴的正方向成 30角，则直线 l的倾斜角为( )A30 B60C30或 150 D60或 120(2)下列说法中，正确的是( )A直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 tan B直线的斜率为 tan ，则此直线的倾斜角为 C若直线的倾斜角为
6、 ，则 sin 0D任意直线都有倾斜角 ，且 90时，斜率为 tan 解析 (1)如图，直线 l有两种情况，故 l的倾斜角为 60或 120.(2)对于 A，当 90时，直线的斜率不存在，故不正确；对于 B，虽然直线的斜率为 tan ，但只有 0 180时， 才是此直线的倾斜角，故不正确；对于 C，当直线平行于 x轴时， 0，sin 0，故 C不正确，故选 D.答案 (1)D (2)D类题通法求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与 x轴平行或重合时，倾斜角为 0，当直线与 x轴垂直时，倾斜角为 90.注意直线倾斜角的取值范
7、围是 0 180.活学活用1直线 l经过第二、四象限，则直线 l的倾斜角范围是( )A0，90) B90，180)C(90，180) D(0，180)解析：选 C 直线倾斜角的取值范围是0，180)，又直线 l经过第二、四象限，所以直线 l的倾斜角范围是(90，180)2设直线 l过原点，其倾斜角为 ，将直线 l绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45，得到直线 l1，则直线 l1的倾斜角为( )A 45B 135C135 D当 0 135时为 45，当 135 180时为 135解析：选 D 当 0 135时， l1的倾斜角是 45.当 135 180时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到 l1的倾斜
8、角为 135，故应选 D.直线的斜率例 2 (1)已知过两点 A(4， y)， B(2，3)的直线的倾斜角为 135，则y_；(2)过点 P(2， m)， Q(m,4)的直线的斜率为 1，则 m的值为_；(3)已知过 A(3,1)， B(m，2)的直线的斜率为 1，则 m的值为_解析 (1)直线 AB的斜率 ktan 1351，又 k ，由 1，得 y5. 3 y2 4 3 y2 4(2)由斜率公式 k 1，得 m1.4 mm 2(3)当 m3 时，直线 AB平行于 y轴，斜率不存在当 m3 时， k 1，解得 m0. 2 1m 3 3m 3答案 (1)5 (2)1 (3)0类题通法利用斜率公
9、式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“ x1 x2”，即直线不与 x轴垂直，因为当直线与 x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点 P1， P2的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1与 x2， y1与 y2可以同时交换位置活学活用3(2012河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2 )，则此直线的倾斜角3是( )A30 B45C60 D90解析：选 A 设直线的倾斜角为 ，直线斜率 k ， 2 3 24 1 33tan .33又0 180， 30.直线的斜率的应用例 3 已知实数 x， y满足 y2 x8，且 2 x3，求 的最大值和最小值yx解 如图所示，
10、由于点( x， y)满足关系式 2x y8，且 2 x3，可知点 P(x， y)在线段 AB上移动，并且 A， B两点的坐标可分别求得为A(2,4)， B(3,2)由于 的几何意义是直线 OP的斜率，且 kOA2， kOB ，所以可求得 的最大值为 2，yx 23 yx最小值为 .23类题通法根据题目中代数式的特征，看是否可以写成 的形式，若能，则联想其几何意义y2 y1x2 x1(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题活学活用4点 M(x， y)在函数 y2 x8 的图象上，当 x2,5时，求 的取值范围y 1x 1解： 的几何意义是过 M(x， y)， N(1，1)两点的直线的斜
11、率y 1x 1 y 1x 1点 M在函数 y2 x8 的图象上，且 x2,5，设该线段为 AB且 A(2,4)， B(5，2) kNA ， kNB ，53 16 .16 y 1x 1 53 的取值范围为 ， y 1x 1 16 536.倾 斜 角 与 斜 率 的 关 系典例 已知两点 A(3,4)， B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l与线段 AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围_；直线 l的斜率 k的取值范围_解析 如图，由题意可知 kPA 1， kPB 1，则直4 0 3 1 2 03 1线 l的倾斜角介于直线 PB与 PA的倾斜角之间，又 PB的倾斜角是 45，PA的倾斜角是 13
12、5，直线 l的倾斜角 的取值范围是 45 135；要使 l与线段 AB有公共点，则直线 l的斜率 k的取值范围是 k1 或 k1.答案 45 135 k1 或 k1易错防范1本题易错误地认为1 k1，结合图形考虑， l的倾斜角应介于直线 PB与直线 PA的倾斜角之间，要特别注意，当 l的倾斜角小于 90时，有 k kPB；当 l的倾斜角大于90时，则有 k kPA.2.如图，过点 P的直线 l与直线段 AB相交时，因为过点 P且与 x轴垂直的直线 PC的斜率不存在，而 PC所在的直线与线段 AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即 kPA k kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地
13、判断直线是夹在中间还是在两边成功破障已知直线 l过点 P(3,4)，且与以 A(1,0)， B(2,1)为端点的线段 AB有公共点，求直线 l的斜率 k的取值范围解：直线 PA的斜率 kPA 1，直线 PB的斜率 kPB 3，要使直4 03 1 4 13 2线 l与线段 AB有公共点， k的取值范围为1,3随堂即时演练1关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( )A任一直线都有倾斜角，都存在斜率B倾斜角为 135的直线的斜率为 1C若一条直线的倾斜角为 ，则它的斜率为 ktan D直线斜率的取值范围是(，)解析：选 D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为 90时，斜率不存在所以 A、C 错误；
14、倾斜角为 135的直线的斜率为1，所以 B错误；只有 D正确2已知经过两点(5， m)和( m,8)的直线的斜率等于 1，则 m的值是( )A5 B8C. D7132解析：选 C 由斜率公式可得 1，解之得 m .8 mm 5 1323直线 l经过原点和(1,1)，则它的倾斜角为_解析： kl 1，1 0 1 0因此倾斜角为 135.答案：1354已知三点 A(a,2)， B(3,7)， C(2，9 a)在同一条直线上，实数 a的值为_解析： A、 B、 C三点共线， kAB kBC，即 ， a2 或 .53 a 9a 75 29答案：2 或295已知 A(m， m3)， B(2， m1)，
15、C(1,4)，直线 AC的斜率等于直线 BC的斜率的 3倍，求 m的值解：由题意直线 AC的斜率存在，即 m1. kAC ， kBC . m 3 4m 1 m 1 42 1 3 . m 3 4m 1 m 1 42 1整理得： m1( m5)( m1)，即( m1)( m4)0， m4 或 m1(舍去) m4.课时达标检测一、选择题1给出下列说法，正确的个数是( )若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；一条直线的倾斜角为30；倾斜角为 0的直线只有一条；直线的倾斜角 的集合 |0 180与直线集合建立了一一对应关系A0 B1C2 D3解析：选 A 若两直线的倾斜角为 90，则它们的斜率不
16、存在，错；直线倾斜角的取值范围是0，180)，错；所有垂直于 y轴的直线倾斜角均为 0，错；不同的直线可以有相同的倾斜角，错2过两点 A(4， y)， B(2，3)的直线的倾斜角为 45，则 y( )A B.32 32C1 D1解析：选 C tan 45 kAB ，即 1，所以 y1.y 34 2 y 34 23.如图，设直线 l1， l2， l3的斜率分别为 k1， k2， k3，则 k1， k2， k3的大小关系为( )A k1 k2 k3B k1 k3 k2C k2 k1 k3D k3 k2 k1解析：选 A 根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项 A正确4经过两点 A(2,1)，
17、 B(1， m2)的直线 l的倾斜角为锐角，则 m的取值范围是( )A m1 B m1C1 m1 D m1 或 m1解析：选 C 直线 l的倾斜角为锐角，斜率 k 0，1 m1.m2 11 25(2012广州高一检测)如果直线 l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么 l的斜率的取值范围是( )A0,1 B0,2C. D(0,30，12解析：选 B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限二、填空题6已知 a0，若平面内三点 A(1， a)， B(2， a2)， C(3， a3)共线，则 a_.解析：若平面内三点共线，则 kAB kBC，即 ，整理得 a2
18、2 a10，解a2 a2 1 a3 a23 2得 a1 ，或 a1 (舍去)2 2答案：1 27如果直线 l1的倾斜角是 150， l2 l1，垂足为 B.l1， l2与 x轴分别相交于点C， A， l3平分 BAC，则 l3的倾斜角为_解析：因为直线 l1的倾斜角为 150，所以 BCA30，所以 l3的倾斜角为(9030)30.12答案：308已知实数 x， y满足方程 x2 y6，当 1 x3 时， 的取值范围为_y 1x 2解析： 的几何意义是过 M(x， y)， N(2,1)两点的直线的斜率，因为点 M在函数y 1x 2x2 y6 的图象上，且 1 x3，所以可设该线段为 AB，且
19、A ， B ，由于(1，52) (3， 32)kNA ， kNB ，所以 的取值范围是 .32 12 y 1x 2 ( ， 32 12， )答案： ( ， 32 12， )三、解答题9已知直线 l过点 A(1,2)， B(m,3)，求直线 l的斜率和倾斜角的取值范围解：设 l的斜率为 k，倾斜角为 ，当 m1 时，斜率 k不存在， 90，当 m1 时， k ，3 2m 1 1m 1当 m1 时， k 0，此时 为锐角，0 90，1m 1当 m1 时， k 0，此时 为钝角，1m 190 180.所以 (0，180)， k(，0)(0，)10已知 A(3,3)， B(4,2)， C(0，2)，(
20、1)求直线 AB和 AC的斜率(2)若点 D在线段 BC(包括端点)上移动时，求直线 AD的斜率的变化范围解：(1)由斜率公式可得直线 AB的斜率 kAB .直线 AC的斜率 kAC 2 3 4 3 17 2 30 3.故直线 AB的斜率为 ，直线 AC的斜率为 .53 17 53(2)如图所示，当 D由 B运动到 C时，直线 AD的斜率由 kAB增大到kAC，所以直线 AD的斜率的变化范围是 .17， 5331.2 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行提出问题平面几何中，两条直线平行同位角相等问题 1：在平面直角坐标中，若 l1 l2，则它们的倾斜角 1与 2有什么关系？提示：相等问题 2：
21、若 l1 l2，则 l1， l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在问题 3：若 l1与 l2的斜率相等，则 l1与 l2一定平行吗？提示：不一定可能平行也可能重合导入新知对于两条不重合的直线 l1， l2，其斜率分别为 k1， k2，有 l1 l2k1 k2.化解疑难对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1 l2k1 k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在； l1与 l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时， l1与 l2的倾斜角都是 90，则 l1 l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1 l2k1 k2或 l1， l2斜率都不存在.两条直
22、线垂直提出问题已知两条直线 l1， l2，若 l1的倾斜角为 30， l1 l2.问题 1：上述问题中， l1， l2的斜率是多少？提示： k1 ， k2 .33 3问题 2：上述问题中两直线 l1、 l2的斜率有何关系？提示： k1k21.问题 3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为1 吗？提示：一定导入新知如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即 l1 l2k1k21.化解疑难对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1 l2k1k21 成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在； k10 且k20.(
23、2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l1 l2k1k21 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零两条直线平行的判定例 1 根据下列给定的条件，判断直线 l1与直线 l2是否平行(1)l1经过点 A(2,1)， B(3,5)， l2经过点 C(3，3)， D(8，7)；(2)l1经过点 E(0,1)， F(2，1)， l2经过点 G(3,4)， H(2,3)；(3)l1的倾斜角为 60， l2经过点 M(1， )， N(2，2 )；3 3(4)l1平行于 y轴， l2经过点 P(0，2)， Q(0,5)解
24、 (1)由题意知， k1 ， k2 ，所以直线 l1与直线 l2平5 1 3 2 45 7 38 3 45行或重合，又 kBC ，故 l1 l2.5 3 3 3 43 45(2)由题意知， k1 1， k2 1，所以直线 l1与直线 l2平行或重合， 1 1 2 0 3 42 3kFG 1，故直线 l1与直线 l2重合4 13 2(3)由题意知， k1tan 60 ， k2 ， k1 k2，所以直线 l1与直线3 23 3 2 1 3l2平行或重合(4)由题意知 l1的斜率不存在，且不是 y轴， l2的斜率也不存在，恰好是 y轴，所以l1 l2.类题通法判断两条不重合直线是否平行的步骤活学活用
25、1试确定 m的值，使过点 A(m1,0)， B(5， m)的直线与过点 C(4,3)， D(0,5)的直线平行解：由题意直线 CD的斜率存在，则与其平行的直线 AB的斜率也存在 kAB ， kCD ，由于 AB CD，即 kAB kCD，所以m 0 5 m 1 m 6 m 5 30 4 12 ，得 m2.经验证 m2 时直线 AB的斜率存在，所以 m2.m 6 m 12两条直线垂直的问题例 2 已知直线 l1经过点 A(3， a)， B(a2，3)，直线 l2经过点 C(2,3)，D(1， a2)，如果 l1 l2，求 a的值解 设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2.直线 l2经过点
26、 C(2,3)， D(1， a2)，且 21， l2的斜率存在当 k20 时， a23，则 a5，此时 k1不存在，符合题意当 k20 时，即 a5，此时 k10，由 k1k21，得 1，解得 a6. 3 aa 2 3 a 2 3 1 2综上可知， a的值为 5或6.类题通法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论总之， l1与 l2一个斜率为 0，另一个斜率不存在时， l1 l2；
27、 l1与 l2斜率都存在时，满足 k1k21.活学活用2已知定点 A(1,3)， B(4,2)，以 A、 B为直径作圆，与 x轴有交点 C，则交点 C的坐标是_解析：以线段 AB为直径的圆与 x轴的交点为 C，则 AC BC.设 C(x,0)，则kAC ， kBC ，所以 1，得 x1 或 2，所以 C(1,0)或(2,0) 3x 1 2x 4 3x 1 2x 4答案：(1,0)或(2,0)平行与垂直的综合应用例 3 已知 A(4,3)， B(2,5)， C(6,3)， D(3,0)四点，若顺次连接 A， B， C， D四点，试判定图形 ABCD的形状解 由题意知 A， B， C， D四点在坐
28、标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得 kAB ，5 32 4 13kCD ， kAD 3，0 3 3 6 13 0 3 3 4kBC .3 56 2 12所以 kAB kCD，由图可知 AB与 CD不重合，所以 AB CD.由 kAD kBC，所以 AD与 BC不平行又因为 kABkAD (3)1，13所以 AB AD，故四边形 ABCD为直角梯形类题通法1在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标2证明两直线平行时，仅有 k1 k2是不够的，注意排除两直线重合的情况活学活用3已知 A(1,0)， B(3,2)， C(0,4)，点 D满足
29、AB CD，且 AD BC，试求点 D的坐标解：设 D(x， y)，则 kAB 1， kBC ， kCD ， kDA .因为23 1 4 20 3 23 y 4x yx 1AB CD， AD BC，所以， kABkCD1， kDA kBC，所以Error!解得Error! 即 D(10，6)8.利 用 平 行 或 垂 直 确 定 参 数 值典例 已知直线 l1经过 A(3， m)， B(m1,2)，直线 l2经过点 C(1,2)，D(2， m2)(1)若 l1 l2，求 m的值；(2)若 l1 l2，求 m的值解题流程欲 求 m的 值 ， 需 根 据 l1 l2或 l1 l2列 出 关 于 m
30、的 关 系 式由 直 线 l1过 A、 B两 点 ， 直 线 l2过 C、 D两 点 ， 求 斜 率先求 l2的斜率 由 l1 l2得 k1 k2列关系式检验 由 l1 l2讨论 k20 或 k20，再由 k1k21 得出结论规 范 解 答 由 题 知 直 线 l2的 斜 率 存 在 且 k2 2 m 21 2 m3 . 2分 1 若 l1 l2， 则 直 线 l1的 斜 率 也 存 在 ， 由 k1 k2， 得 2 mm 4 m3， 解 得 m 1或 m 6， 4分 经 检 验 ， 当 m 1或 m 6时 ， l1 l2. 6分 2 若 l1 l2， 当 k2 0 时 ， 此 时 m 0，
31、l1斜 率 存 在 ， 不 符 合 题 意 ； 8分 当 k20 时，直线 l2的斜率存在且不为 0，则直线 l1的斜率也存在，且k1k21，即 1，解得 m3 或 m4，(10 分)m3 2 mm 4所以 m3 或 m4 时， l1 l .(12分)2名师批注处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求 m值，解答过程不严谨处讨论 k20 和 k20 两种情况此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范活学活用已知 A( m3,2)， B(2 m4,4)， C( m， m)， D(3,3m2)，若直线 AB CD，求 m的值解：因为 A， B两点纵坐标不等，所以 AB与 x轴不平行因为 AB
32、 CD，所以 CD与 x轴不垂直，故 m3.当 AB与 x轴垂直时， m32 m4，解得 m1，而 m1 时， C， D纵坐标均为1，所以 CD x轴，此时 AB CD，满足题意当 AB与 x轴不垂直时，由斜率公式得kAB ， kCD .4 2 2m 4 m 3 2 m 1 3m 2 m3 m 2 m 1m 3因为 AB CD，所以 kABkCD1，解得 m1.综上， m的值为 1或1.随堂即时演练1下列说法正确的有( )若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若 l1 l2，则 k1 k2；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；若两条直线的斜率都不存在且
33、两直线不重合，则这两条直线平行A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 A 若 k1 k2，则这两条直线平行或重合，所以错；当两条直线垂直于 x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0时，才有这两条直线垂直，所以错；正确2直线 l1， l2的斜率是方程 x23 x10 的两根，则 l1与 l2的位置关系是( )A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直解析：选 D 设 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1k21.3已知 ABC中， A(0,3)、 B(2，1)， E、 F分别为 AC、 BC的中点，则直线 EF的斜率为_解析：
34、 E、 F分别为 AC、 BC的中点， EF AB. kEF kAB 2. 1 32 0答案：24经过点( m,3)和(2， m)的直线 l与斜率为4 的直线互相垂直，则 m的值是_解析：由题意可知 kl ，又因为 kl ，所以 ，解得 m .14 m 32 m m 32 m 14 145答案：1455判断下列各小题中的直线 l1与 l2的位置关系(1)l1的斜率为10， l2经过点 A(10,2)， B(20,3)；(2)l1过点 A(3,4)， B(3,100)， l2过点 M(10,40)， N(10,40)；(3)l1过点 A(0,1)， B(1,0)， l2过点 M(1,3)， N(
35、2,0)；(4)l1过点 A(3,2)， B(3,10)， l2过点 M(5，2)， N(5,5)解：(1) k110， k2 .3 220 10 110 k1k21， l1 l2.(2)l1的倾斜角为 90，则 l1 x轴 k2 0，40 4010 10则 l2 x轴， l1 l2.(3)k1 1， k2 1， k1 k2.0 11 0 0 32 1又 kAM 2 k1， l1 l2.3 1 1 0(4) l1与 l2都与 x轴垂直， l1 l2.课时达标检测一、选择题1已知过点 P(3,2m)和点 Q(m,2)的直线与过点 M(2，1)和点 N(3,4)的直线平行，则 m的值是( )A1
36、B1C2 D2解析：选 B 因为 MN PQ，所以 kMN kPQ，即 ，解得 m1.4 1 3 2 2 2mm 32以 A(1,1)， B(2，1)， C(1,4)为顶点的三角形是( )A锐角三角形B钝角三角形C以 A点为直角顶点的直角三角形D以 B点为直角顶点的直角三角形解析：选 C 如右图所示，易知 kAB ， kAC 1 12 1 23 ，由 kABkAC1 知三角形是以 A点为直角顶点的直角三角4 11 1 32形3已知点 A(2，5)， B(6,6)，点 P在 y轴上，且 APB90，则点 P的坐标为( )A(0，6) B(0,7)C(0，6)或(0,7) D(6,0)或(7,0)
37、解析：选 C 由题意可设点 P的坐标为(0， y)因为 APB90，所以 AP BP，且直线 AP与直线 BP的斜率都存在又 kAP ， kBP ， kAPkBP1，y 52 y 6 6即 ( )1，解得 y6 或 y7.所以点 P的坐标为(0，6)或(0,7)y 52 y 664若 A(4,2)， B(6，4)， C(12,6)， D(2,12)，则下面四个结论： AB CD； AB AD； AC BD； AC BD中正确的个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 C 由题意得kAB ， kCD ， kAD ， kAC ， kB 4 26 4 35 12 62 12 35 12 22 4 5
38、3 6 212 4 14D 4，所以 AB CD， AB AD， AC BD.12 42 65已知点 A(2,3)， B(2,6)， C(6,6)， D(10,3)，则以 A， B， C， D为顶点的四边形是( )A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析：选 B 如图所示，易知kAB ， kBC0， kCD ， kAD0， kBD ， kAC ，所以34 34 14 34kAB kCD， kBC kAD， kABkAD0， kACkBD ，312故 AD BC， AB CD， AB与 AD不垂直， BD与 AC不垂直所以四边形 ABCD为平行四边形二、填空题6 l1过点 A(m,1)， B(3,
39、4)， l2过点 C(0,2)， D(1,1)，且 l1 l2，则 m_.解析： l1 l2，且 k2 1， k1 1， m0.1 21 0 4 1 3 m答案：07已知直线 l1的倾斜角为 45，直线 l2 l1，且 l2过点 A(2，1)和 B(3， a)，则 a的值为_解析： l2 l1，且 l1的倾斜角为 45， kl2 kl1tan 451，即1，所以 a4.a 13 2答案：48已知 A(2,3)， B(1，1)， C(1，2)，点 D在 x轴上，则当点 D坐标为_时， AB CD.解析：设点 D(x,0)，因为 kAB 40，所以直线 CD的斜率存在 1 31 2则由 AB CD
40、知， kABkCD1，所以 4 1，解得 x9. 2 0 1 x答案：(9,0)三、解答题9当 m为何值时，过两点 A(1,1)， B(2m21， m2)的直线：(1)倾斜角为 135；(2)与过两点(3,2)，(0，7)的直线垂直；(3)与过两点(2，3)，(4,9)的直线平行？解：(1)由 kAB tan 1351，解得 m ，或 m1.m 32m2 32(2)由 kAB ，且 3.m 32m2 7 20 3则 ，解得 m ，或 m3.m 32m2 13 32(3)令 2，m 32m2 9 3 4 2解得 m ，或 m1.3410直线 l1经过点 A(m,1)， B(3,4)，直线 l2经
41、过点 C(1， m)， D(1， m1)，当l1 l2或 l1 l2时，分别求实数 m的值解：当 l1 l2时，由于直线 l2的斜率存在，则直线 l1的斜率也存在，则 kAB kCD，即 ，解得 m3；4 1 3 m m 1 m 1 1当 l1 l2时，由于直线 l2的斜率存在且不为 0，则直线 l1的斜率也存在，则 kABkCD1，即 1，解得 m .4 1 3 m m 1 m 1 1 92综上，当 l1 l2时， m的值为 3；当 l1 l2时， m的值为 .9232 直线的方程32.1 直线的点斜式方程提出问题斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为 x轴，桥塔所在直线
42、为 y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线问题 1：已知某一斜拉索过桥塔上一点 B，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定从一点可引出多条斜拉索问题 2：若某条斜拉索过点 B(0， b)，斜率为 k，则该斜拉索所在直线上的点 P(x， y)满足什么条件？提示：满足 k.y bx 0问题 3：可以写出问题 2中的直线方程吗？提示：可以方程为 y b kx.导入新知1直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线 l过定点 P(x0， y0)，斜率为 k，则把方程y y0 k(x x0)叫做直线 l的点斜式方程，简称点斜式(2)说明：如图所示，过定点 P(x0， y0)，倾斜角是
43、90的直线没有点斜式，其方程为 x x00，或 x x0.2直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线 l的斜率为 k，且与 y轴的交点为(0， b)，则方程y kx b叫做直线 l的斜截式方程，简称斜截式(2)说明：一条直线与 y轴的交点(0， b)的纵坐标 b叫做直线在 y轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程化解疑难1关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点 P(x0， y0)和斜率 k；斜率必须存在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程(2)方程 y y0 k(x x0)与方程 k 不是等价的，前者是整条直线，后者表示去y y0x x0掉点 P(x0， y0)的一条直线(3)当 k取任意实数时，方程 y y0
