1、【成才之路】2015-2016 学年高中数学 第二章 随机变量及其分布单元综合检测 新人教 A 版选修 2-3时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2013霍邱二中一模)设随机变量 等可能取值 1、2、3、 n，如果 P( a27)成立的一个必要不充分条件是( )A a1 或 2 B a1 或 2C a2 D a3 52答案 B解析 X N(3,4)， P(Xa27)，(13 a)( a27)23， a1 或 2.故选 B点评 a1 或 2 是充要条件， a2 是充分不必要条
2、件， a 是既不充分也不必3 52要条件5(2015武汉市重点中学高二期末)如果随机变量 B(n， p)，且 E( )7， D( )6，则 p 等于( )A B 17 16C D15 14答案 A解析 如果随机变量 B(n， p)，则 E np， D np(1 p)，又 E( )7， D( )6， np7， np(1 p)6， p .176盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机地抽取 4 个，那么概率是的事件为( )310A恰有 1 只是坏的 B4 只全是好的C恰有 2 只是好的 D至多有 2 只是坏的答案 C解析 X k 表示取出的螺丝钉恰有 k 只为好的，则 P(X k
3、) (k1、2、3、4)Ck7C4 k3C410 P(X1) ， P(X2) ， P(X3) ， P(X4) ，选 C130 310 12 167.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ，则小球落入 A 袋中的概率为12( )A B 18 14C D38 34答案 D解析 小球落入 B 袋中的概率为 P1( )2 ，小球落入 A 袋中的概率12 12 12 14为 P1 P1 .348已知随机变量 服从正态分布 N(3,4)，则 E(
4、2 1)与 D(2 1)的值分别为( )A13,4 B13,8 C7,8 D7,16答案 D解析 由已知 E( )3， D( )4，得 E(2 1)2 E( )17， D(2 1)4 D( )16.9有编号分别为 1、2、3、4、5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个，则取出的编号互不相同的概率为( )A B 521 27C D13 821答案 D解析 从 10 个球中任取 4 个，有 C 210 种取法，取出的编号互不相同的取法有410C 2480 种，所求概率 P .4580210 82110设随机变量 服从分布 P( k) ，( k1、2、3、4、5)， E(3 1)k15
5、m， E( 2) n，则 m n( )A B7 319C D583答案 D解析 E( )1 2 3 4 5 ， E(3 1)3 E( )115 215 315 415 515 113110，又 E( 2)1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 15， m n5.115 215 315 415 51511某次国际象棋比赛规定，胜一局得 3 分，平一局得 1 分，负一局得 0 分，某参赛队员比赛一局胜的概率为 a，平局的概率为 b，负的概率为 c(a、 b、 c0,1)，已知他比赛一局得分的数学期望为 1，则 ab 的最大值为( )A B 13 12C D112 16答案 C解析 由条件知，3 a
6、 b1， ab (3a)b 2 ，等号在13 13 (3a b2 ) 1123a b ，即 a ， b 时成立12 16 1212.一个盒子里装有 6 张卡片，上面分别写着如下 6 个定义域为 R 的函数： f1(x) x， f2(x) x2， f3(x) x3， f4(x)sin x， f5(x)cos x， f6(x)2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数 的数学期望为( )A B 74 7720C D34 73答案 A解析 由于 f2(x)， f5(x)， f6(x)为偶函数， f1(x)， f3(x)， f4(x
7、)为奇函数，所以随机变量 可取 1,2,3,4.P( 1) ，C13C16 12P( 2) ，C13C13C16C15 310P( 3) ，C13C12C13C16C15C14 320P( 4) .C13C12C1C13C16C15C14C13 120所以 的分布列为 1 2 3 4P 12 310 320 120E( )1 2 3 4 .12 310 320 120 74二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上)13(2015福州市高二期末)袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个( n1,2,3,
8、4)现从袋中任取一球， 表示所取球的标号若 a 2， E( )1，则 D( )的值为_.答案 11解析 根据题意得出随机变量 的分布列： 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15E( )0 1 2 3 4 ，12 120 110 320 15 32 a 2， E( )1，1 a 2，即 a2，32 2 2， E( )1，D( ) (0 )2 (1 )2 (2 )2 (3 )2 (4 )2 ，12 32 120 32 110 32 320 32 15 32 114 D( )4 D( )4 11.114故答案为 11.14(2015福州市八县高二期末)一盒子中装有 4 只产品，其中
9、 3 只一等品，1 只二等品，从中取产品两次，每次任取 1 只，做不放回抽样设事件 A 为“第一次取到的是一等品” ，事件 B 为“第二次取到的是一等品” ，则 P(B|A)_.答案 23解析 由条件知， P(A) ， P(AB) ，34 C23C24 12 P(B|A) .P ABP A 2315将一颗骰子连掷 100 次，则点 6 出现次数 X 的均值 E(X)_.答案 503解析 这是 100 次独立重复试验， X B ，(100，16) E(X)100 .16 50316.甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一
10、球放入乙罐，分别以 A1、 A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号) P(B) ；25 P(B|A1) ；511事件 B 与事件 A1相互独立； A1， A2， A3是两两互斥的事件； P(B)的值不能确定，因为它与 A1， A2， A3中究竟哪一个发生有关答案 解析 从甲罐中取出一球放入乙罐，则 A1、 A2、 A3中任意两个事件不可能同时发生，即 A1、 A2、 A3两两互斥，故正确，易知 P(A1) ， P(A2) ， P(A3) ，又 P(B|A1)12 15
11、 310， P(B|A2) ， P(B|A3) ，故对错； P(B) P(A1B) P(A2B) P(A3B)511 411 411 P(A1)P(B|A1) P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B|A3) ，故12 511 15 411 310 411 922错误综上知，正确结论的序号为.三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)(2014甘肃省三诊)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到A、 B、 C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学(1)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率；(2)求甲、乙两人不在
12、同一个社区的概率；(3)设随机变量 为四名同学中到 A 社区的人数，求 的分布列和 E( )的值解析 (1)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 M，那么 P(M) ，A2C24A3 118即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是 .118(2)记甲、乙两人在同一社区为事件 E，那么P(E) ，A3C24A3 16所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P( )1 P(E) .E56(3)随机变量 可能取的值为 1,2.事件“ i(i1,2)”是指有 i 个同学到 A 社区，则 p( 2) .C24A2C24A3 13所以 p( 1)1 p( 2) ，23 的分布列是： 1 2p 23 13 E( )1
13、 2 .23 13 4318(本题满分 12 分)(2015重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取 3 个(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望分析 考查了古典概型的概率以及分布列、数学期望，属于简单题型(1)由古典概型概率公式计算；(2)从含有 2 个豆沙粽的 10 个粽子中取 3 个，据此可得出 X 的可能取值及其概率，列出分布列求得期望解析 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个” ，由古典概型的概率计算
14、公式有P(A) .C12C13C15C310 14(2)X 的可能取值为 0,1,2，且P(X0) ，C38C310 715P(X1) ，C12C28C310 715P(X2) C2C18C310 115综上知， X 的分布列为：X 0 1 2P 715 715 115故 E(X)0 1 2 (个)715 715 115 3519(本题满分 12 分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 A、 B 两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为 A 级时，产品为一等品，其余均为二等品(1)已知甲、乙两种产品每一道工序
15、的加工结果为 A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲 、 P 乙 ；工序概率 产品 第一工序 第二工序甲 0.8 0.85乙 0.75 0.8(2)已知一件产品的利润如表二所示，用 、 分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，求 、 的分布列及 E( )， E( )；等级利润 产品 一等 二等甲 5(万元) 2.5(万元)乙 2.5(万元) 1.5(万元)(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示该工厂有工人 40 名，可用资金 60 万元设 x、 y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)的条件下， x、 y 为何值时，z xE( ) yE(
16、 )最大？最大值是多少？项目产品 工人(名) 资金(万元)甲 8 5乙 2 10解析 (1) P 甲 0.80.850.68，P 乙 0.750.80.6.(2)随机变量 、 的分布列是 5 2.5P 0.68 0.32 2.5 1.5P 0.6 0.4E( )50.682.50.324.2，E( )2.50.61.50.42.1.(3)由题设知Error!即Error! 目标函数为 z xE( ) yE( )4.2 x2.1 y.作出可行域(如图)：作直线 l：4.2 x2.1 y0，将 l 向右上方平移至 l1位置时，直线经过可行域上的点 M，此时 z4.2 x2.1 y 取最大值解方程组
17、Error!得 x4， y4，即 x4， y4 时， z 取最大值， z 的最大值为 25.2.20(本题满分 12 分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，甲对A、乙对 B、丙对 C 各一盘，已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6、0.5、0.5，假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E( )解析 (1)设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F，则 、 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件DE F因为 P(D)0.6， P(E)0
18、.5， P(F)0.5，由对立事件的概率公式知 P( )0.4， P( )0.5， P( )0.5.D E F红队至少两人获胜的事件有： DE ， D F， EF， DEF.F E D由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P P(DE ) P(D F) P( EF) P(DEF)F E D0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由题意知 可能的取值为 0、1、2、3.又由(1)知 F、 E 、 D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，DE D F EF因此 P( 0) P( )0.40.50.50.1
19、，DEFP( 1) P( F) P( E ) P(D )D E DF E F0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35.P( 3) P(DEF)0.60.50.50.15.由对立事件的概率公式得P( 2)1 P( 0) P( 1) P( 3)0.4.所以 的分布列为： 0 1 2 3P 0.1 0.35 0.4 0.15因此 E( )00.110.3520.430.151.6.21(本题满分 12 分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分) 1 2 3 4 5频率 0
20、.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时(1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望分析 (1)由表中所给出的数值，第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务应分三种情况，逐一列出后求出其概率(2)从已知条件知， X 的值为 0 人，1 人，2 人三种情况，特别当 x1 时要注意再进行分类讨论解析 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得 Y 的分布列如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4
21、分钟开始办理业务” ，则事件 A 对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1 分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟所以 P(A) P(Y1) P(Y3) P(Y3) P(Y1) P(Y2) P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22.(2)解法一： X 所有可能的取值为 0,1,2.X0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，所以 P(X0) P(Y2)0.5；X1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客
22、办理业务所需的时间超过 1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟，所以 P(X1) P(Y1) P(Y1) P(Y2)0.10.90.40.49；X2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟，所以 P(X2) P(Y1) P(Y1)0.10.10.01；所以 X 的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01E(X)00.510.4920.010.51.22(本题满分 14 分)(2015江西省质量监测)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：老板根据销售量给予店员奖励，具体奖励规定如下表销售量 X 个 X100 100 X15
23、0 150 X200 X200奖励金额(元) 0 50 100 150(1)求在未来连续 3 天里，店员共获得奖励 150 元的概率；(2)记未来连续 2 天，店员获得奖励 X 元，求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X)解析 (1)由频率分布直方图得店员一天获得 50 元、100 元、150 元的概率分别是0.3,0.2,0.1，不得奖励的概率是 0.4，所以未来连续 3 天里，店员共获得奖励 150 元的概率P0.3 3A 0.30.20.4C 0.420.10.219；3 13(2)X 可能取值有 0,50,100,150,200,250,300.P(X0)0.4 20.16， P(X50)20.40.30.24.P(X100)0.3 220.40.20.25， P(X150)20.40.120.30.20.20.P(X200)0.2 220.30.10.10，P(X250)20.20.10.04，P(X300)0.1 20.01，所以随机变量 X 的分布列是：X 0 50 100 150 200 250 300P(X) 0.16 0.24 0.25 0.20 0.10 0.04 0.01E(X)00.16500.241000.251500.202000.102500.043000.01100(或 E(X)2(00.4500.31000.21500.1)100)
